Уравнение прямой и уравнение окружности
В 9 классе геометрия впервые становится алгеброй: прямая и окружность перестают быть рисунками и превращаются в уравнения, которые можно решать. Это тот момент, когда задача «пересекает ли прямая окружность» сводится к одному вычислению вместо аккуратного чертежа. На занятиях в Tutor-Math мы проходим эту тему именно как инструмент: два уравнения, три приёма — и половина задач по координатной геометрии закрывается механически. Разберём оба уравнения, условия параллельности и перпендикулярности и самый трудный технический момент темы — выделение полного квадрата.
Общее уравнение прямой
Любую прямую на координатной плоскости можно задать уравнением первой степени относительно \(x\) и \(y\).
Общее уравнение прямой:
\[ax+by+c=0,\qquad a^2+b^2\neq 0.\]
Точка \(M(x_0;y_0)\) лежит на прямой тогда и только тогда, когда \(ax_0+by_0+c=0\).
Условие \(a^2+b^2\neq 0\) означает, что коэффициенты \(a\) и \(b\) не могут быть нулями одновременно — иначе никакой прямой не получится. Три частных случая стоит знать наизусть:
- если \(b=0\), получаем \(x=-\dfrac{c}{a}\) — вертикальная прямая;
- если \(a=0\), получаем \(y=-\dfrac{c}{b}\) — горизонтальная прямая;
- если \(c=0\), прямая проходит через начало координат, так как точка \((0;0)\) удовлетворяет уравнению.
Общее уравнение определяется неоднозначно: умножив обе части на любое отличное от нуля число, получим ту же самую прямую. Уравнения \(3x-4y+12=0\) и \(6x-8y+24=0\) описывают одно и то же множество точек. О самой системе координат и расстоянии между точками — в статье координаты на плоскости.
Уравнение с угловым коэффициентом
Если \(b\neq 0\), то есть прямая не вертикальна, из общего уравнения можно выразить \(y\).
Уравнение с угловым коэффициентом: \(y=kx+l\), где \(k=-\dfrac{a}{b}\) — угловой коэффициент, а \(l=-\dfrac{c}{b}\) — ордината точки пересечения с осью \(Oy\).
Число \(k\) равно тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\). Практически оно показывает, на сколько изменится \(y\), если \(x\) увеличить на единицу. Подробнее о поведении графика в зависимости от \(k\) — в статье про линейную функцию. Главное ограничение: вертикальная прямая \(x=5\) углового коэффициента не имеет вообще, её невозможно записать в виде \(y=kx+l\).
Пример 1. Записать прямую \(3x-4y+12=0\) в виде с угловым коэффициентом и найти точки пересечения с осями.
Выражаем \(y\): переносим \(3x\) и \(12\) вправо, получаем \(-4y=-3x-12\), делим обе части на \(-4\):
\[y=\frac{3}{4}x+3.\]
Значит \(k=\dfrac{3}{4}\), \(l=3\). Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\) имеем \(y=3\), точка \((0;3)\). Пересечение с осью \(Ox\): при \(y=0\) получаем \(3x+12=0\), откуда \(x=-4\), точка \((-4;0)\). Проверка подстановкой в исходное уравнение: \(3\cdot 0-4\cdot 3+12=0\) и \(3\cdot(-4)-4\cdot 0+12=0\) — оба равенства верны.
Ответ: \(y=\frac{3}{4}x+3\); точки \((0;3)\) и \((-4;0)\).
Уравнение прямой по двум точкам
Через две различные точки проходит ровно одна прямая, поэтому две точки всегда однозначно задают её уравнение.
Если \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) и \(x_1\neq x_2\), то угловой коэффициент
\[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\]
а само уравнение удобно записывать как \(y-y_1=k(x-x_1)\).
Если же \(x_1=x_2\), прямая вертикальна и её уравнение просто \(x=x_1\) — никаких дробей считать не нужно.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки \(A(-1;2)\) и \(B(3;10)\).
Сначала угловой коэффициент:
\[k=\frac{10-2}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2.\]
Теперь подставляем точку \(A\) в формулу \(y-y_1=k(x-x_1)\): \(y-2=2(x+1)\), раскрываем скобки: \(y=2x+4\). В общем виде это \(2x-y+4=0\).
Проверка обеими точками: для \(A(-1;2)\) имеем \(2\cdot(-1)-2+4=0\); для \(B(3;10)\) имеем \(2\cdot 3-10+4=0\). Обе точки действительно лежат на прямой.
Ответ: \(y=2x+4\), или \(2x-y+4=0\).
Параллельность и перпендикулярность
Два условия, которые нужно знать без раздумий. Оба формулируются через угловые коэффициенты невертикальных прямых \(y=k_1x+l_1\) и \(y=k_2x+l_2\).
Параллельность: прямые параллельны тогда и только тогда, когда \(k_1=k_2\) (и \(l_1\neq l_2\), иначе это одна и та же прямая).
Перпендикулярность: прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(k_1k_2=-1\), то есть \(k_2=-\dfrac{1}{k_1}\).
Условие перпендикулярности требует, чтобы ни один из коэффициентов не был нулём. Горизонтальная прямая \(y=3\) имеет \(k=0\), и перпендикулярная к ней — вертикальная \(x=c\), у которой углового коэффициента нет. Формула \(k_1k_2=-1\) этот случай не описывает, его рассматривают отдельно.
Пример 3. Через точку \(M(6;-1)\) провести прямую, параллельную прямой \(y=-3x+5\), и прямую, перпендикулярную к ней.
Параллельная. Угловой коэффициент тот же: \(k=-3\). Ищем \(l\) из условия прохождения через \(M\): \(-1=-3\cdot 6+l\), откуда \(-1=-18+l\) и \(l=17\). Уравнение: \(y=-3x+17\).
Перпендикулярная. Из условия \(k_1k_2=-1\) имеем \(-3\cdot k_2=-1\), то есть \(k_2=\dfrac{1}{3}\). Подставляем \(M\): \(-1=\dfrac{1}{3}\cdot 6+l\), то есть \(-1=2+l\) и \(l=-3\). Уравнение: \(y=\dfrac{1}{3}x-3\).
Проверка: обе прямые проходят через \(M\) — подстановка \(x=6\) даёт \(-18+17=-1\) и \(2-3=-1\). Произведение коэффициентов \(-3\cdot\dfrac{1}{3}=-1\), условие перпендикулярности выполнено.
Ответ: параллельная — \(y=-3x+17\); перпендикулярная — \(y=\frac{1}{3}x-3\).
Уравнение окружности
Окружность — это множество всех точек плоскости, удалённых от центра на одинаковое расстояние. Записав эту фразу через формулу расстояния между двумя точками, сразу получим уравнение.
Уравнение окружности с центром \(C(a;b)\) и радиусом \(R\):
\[(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\]
Если центр в начале координат, уравнение упрощается до \(x^2+y^2=R^2\).
Самая частая ошибка начинается просто с чтения: в уравнении \((x-3)^2+(y+4)^2=25\) центр имеет координаты \((3;-4)\), а не \((3;4)\) и не \((-3;4)\). Знаки в скобках противоположны координатам центра. И справа стоит \(R^2\), а не \(R\): здесь радиус равен 5, а не 25. О самой окружности как геометрической фигуре — в статье окружность и круг.
Пример 4. Составить уравнение окружности с центром \(C(-2;5)\), проходящей через точку \(A(1;1)\).
Радиус — это расстояние \(CA\):
\[R^2=(1-(-2))^2+(1-5)^2=3^2+(-4)^2=9+16=25,\qquad R=5.\]
Подставляем координаты центра и \(R^2\) в общую формулу: \((x+2)^2+(y-5)^2=25\).
Проверка: точка \(A(1;1)\) даёт \((1+2)^2+(1-5)^2=9+16=25\) — лежит на окружности. Контрольные точки \((3;5)\) и \((-2;10)\), удалённые от центра на 5 вдоль осей, тоже удовлетворяют уравнению.
Ответ: \((x+2)^2+(y-5)^2=25\), \(R=5\).
Выделение полного квадрата — главная техническая сложность
В задачах окружность часто задают не в каноническом виде, а раскрытым уравнением: \(x^2+y^2+px+qy+r=0\). Чтобы увидеть центр и радиус, нужно свернуть его обратно — выделить полный квадрат отдельно по \(x\) и отдельно по \(y\).
Приём. Чтобы дополнить \(x^2+px\) до полного квадрата, прибавляют и вычитают \(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2\):
\[x^2+px=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2.\]
Правило коротко: берём половину коэффициента при \(x\) — это и есть второе число в скобках; квадрат этой половины затем вычитаем, чтобы выражение не изменилось.
Пример 5. Найти центр и радиус окружности \(x^2+y^2+10x-4y-7=0\).
Группируем слагаемые с \(x\) и слагаемые с \(y\), свободный член переносим вправо:
\[(x^2+10x)+(y^2-4y)=7.\]
Половина от 10 — это 5, поэтому \(x^2+10x=(x+5)^2-25\). Половина от \(-4\) — это \(-2\), поэтому \(y^2-4y=(y-2)^2-4\). Подставляем:
\[(x+5)^2-25+(y-2)^2-4=7.\]
Переносим числа вправо: \((x+5)^2+(y-2)^2=7+25+4=36\).
Итак, центр \(C(-5;2)\), радиус \(R=\sqrt{36}=6\).
Проверка. Раскроем полученную форму обратно: \((x+5)^2+(y-2)^2-36=x^2+10x+25+y^2-4y+4-36=x^2+y^2+10x-4y-7\) — совпало с исходным выражением. Дополнительно подставим точку \((1;2)\), которая должна лежать на окружности: в каноническом уравнении \(36+0=36\), в исходном \(1+4+10-8-7=0\). Оба равенства верны.
Ответ: центр \((-5;2)\), радиус \(R=6\).
Важное замечание: если после переноса вправо получается отрицательное число, окружности не существует вообще. Если получается ноль — уравнение задаёт единственную точку, свой же «центр». Оба случая встречаются в задачах с параметром.
Взаимное расположение прямой и окружности
Здесь работает одно сравнение. Обозначим \(d\) — расстояние от центра окружности до прямой, \(R\) — радиус.
Если \(d > R\) — общих точек нет; если \(d=R\) — прямая касательная (одна общая точка); если \(d < R\) — прямая секущая (две общие точки).
Расстояние от точки \(M(x_0;y_0)\) до прямой \(ax+by+c=0\):
\[d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
Альтернативный путь — решить систему из уравнений прямой и окружности. Подставив \(y\) из уравнения прямой в уравнение окружности, получим квадратное уравнение: два корня означают секущую, один — касательную, ни одного — отсутствие общих точек. Например, для окружности \(x^2+y^2=25\) и прямой \(y=x+1\) подстановка даёт \(x^2+(x+1)^2=25\), то есть \(2x^2+2x-24=0\), или \(x^2+x-12=0\), откуда \(x=3\) и \(x=-4\). Общие точки — \((3;4)\) и \((-4;-3)\); проверка: \(9+16=25\) и \(16+9=25\). Прямая секущая.
Пример 6. Определить взаимное расположение окружности \(x^2+y^2-2x-4y-4=0\) и прямой \(3x+4y-26=0\). Если общая точка есть — найти её.
Шаг 1. Выделяем полные квадраты: \((x^2-2x)+(y^2-4y)=4\), далее \((x-1)^2-1+(y-2)^2-4=4\), то есть
\[(x-1)^2+(y-2)^2=9.\]
Центр \(C(1;2)\), радиус \(R=3\).
Шаг 2. Расстояние от центра до прямой:
\[d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2-26|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8-26|}{5}=\frac{15}{5}=3.\]
Поскольку \(d=R=3\), прямая касается окружности.
Шаг 3. Точка касания лежит на перпендикуляре, опущенном из центра на прямую. Решив систему из двух уравнений, получим единственное решение \(\left(\dfrac{14}{5};\dfrac{22}{5}\right)\). Проверка: на прямой \(3\cdot\dfrac{14}{5}+4\cdot\dfrac{22}{5}-26=\dfrac{42+88-130}{5}=0\); на окружности \(\left(\dfrac{14}{5}-1\right)^2+\left(\dfrac{22}{5}-2\right)^2=\dfrac{81}{25}+\dfrac{144}{25}=\dfrac{225}{25}=9\). Оба условия выполнены.
Ответ: прямая касательная, точка касания \(\left(\frac{14}{5};\frac{22}{5}\right)\).
Свойства касательной, в частности её перпендикулярность радиусу в точке касания, подробно разобраны в статье касательная к окружности.
Типичные ошибки
- Знаки координат центра. Из уравнения \((x+2)^2+(y-5)^2=25\) записывают центр \((2;-5)\) вместо \((-2;5)\). В скобках стоят числа, противоположные координатам центра.
- Радиус вместо квадрата радиуса. Справа в уравнении стоит \(R^2\). Увидев 25, пишут \(R=25\), хотя \(R=5\).
- Забытое вычитание при выделении квадрата. Записывают \(x^2+10x=(x+5)^2\), теряется \(-25\), и радиус получается неверным. Прибавили квадрат половины — обязательно вычтите его.
- Знак в половине коэффициента. Для \(y^2-4y\) половина равна \(-2\), поэтому получается \((y-2)^2\), а не \((y+2)^2\).
- Перевёрнутое условие перпендикулярности. Пишут \(k_2=\dfrac{1}{k_1}\), забывая минус. Правильно \(k_2=-\dfrac{1}{k_1}\).
- Деление на ноль в формуле углового коэффициента. Для точек \(A(2;1)\) и \(B(2;7)\) знаменатель \(x_2-x_1\) нулевой: прямая вертикальна, её уравнение \(x=2\).
- Модуль в формуле расстояния. В числителе \(|ax_0+by_0+c|\) модуль обязателен — расстояние не бывает отрицательным.
Вывод
Вся тема держится на двух формулах — \(ax+by+c=0\) для прямой и \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) для окружности — и трёх приёмах: вычисление углового коэффициента по двум точкам, выделение полного квадрата и сравнение \(d\) с \(R\). Если эти три действия доведены до автоматизма, задачи координатной геометрии решаются за несколько строк. Больше всего практики требует именно выделение полного квадрата: там теряется больше всего баллов из-за одной потерянной цифры.
Если окружность каждый раз «не сходится» или путаются условия параллельности и перпендикулярности, приходите на пробное занятие — разберём ваши задачи пошагово и закрепим алгоритм на примерах вашего уровня.
Как быстро перейти от общего уравнения прямой к угловому коэффициенту?
Выразить \(y\). Из уравнения \(ax+by+c=0\) при \(b\neq 0\) получаем \(y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\), то есть \(k=-\dfrac{a}{b}\). Если \(b=0\), прямая вертикальна и углового коэффициента не имеет вообще.
Зачем выделять полный квадрат в уравнении окружности?
Чтобы увидеть центр и радиус. В раскрытом виде \(x^2+y^2+px+qy+r=0\) они не читаются, а после свёртки до \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) центр и радиус видны сразу. Это стандартный первый шаг почти в каждой задаче об окружности, заданной раскрытым уравнением.
Как определить, сколько общих точек у прямой и окружности?
Сравнить расстояние \(d\) от центра до прямой с радиусом \(R\): при \(d > R\) общих точек нет, при \(d=R\) одна (касательная), при \(d < R\) две (секущая). Второй способ — подставить \(y\) из уравнения прямой в уравнение окружности и посмотреть на дискриминант полученного квадратного уравнения.
Можно ли условием \(k_1k_2=-1\) пользоваться всегда?
Нет. Оно работает только для невертикальных прямых с ненулевыми угловыми коэффициентами. Пара «горизонтальная \(y=c\) и вертикальная \(x=d\)» тоже перпендикулярна, но у вертикальной прямой углового коэффициента нет, поэтому формула к ней не применяется.
