Касательная к окружности: определение, свойства, признак, примеры задач
Касательная — это та тема, после которой задачи на окружность внезапно становятся решаемыми. Причина проста: касательная создаёт на чертеже прямой угол, а прямой угол — это теорема Пифагора, тригонометрия и подобие. Ученики часто заучивают формулировку «касательная перпендикулярна радиусу» и не пользуются ею, потому что не видят, где именно этот радиус нужно провести. На занятиях в Tutor-Math мы начинаем с обратной стороны: сначала учимся строить радиус в точку касания, и только потом вспоминаем теорию. Ниже — тот же порядок.
Взаимное расположение прямой и окружности
Всё начинается с одного числа — расстояния от центра окружности до прямой. Это не «расстояние до какой-то точки прямой», а длина перпендикуляра, опущенного из центра \( O \) на прямую. Обозначим его \( d \), радиус — \( R \). Возможны ровно три случая.
Если \( d > R \) — прямая и окружность не имеют общих точек. Если \( d = R \) — прямая и окружность имеют ровно одну общую точку (прямая является касательной). Если \( d < R \) — прямая и окружность имеют две общие точки (прямая является секущей).
Логика наглядная. Ближайшая к центру точка прямой — это основание перпендикуляра \( H \). Если \( OH > R \), вся прямая вне окружности; если \( OH = R \), точка \( H \) лежит на окружности, а остальные точки прямой — за её пределами; если \( OH < R \), точка \( H \) внутри круга, и прямая пересекает окружность дважды. Базовые понятия — радиус, хорда, дуга — разобраны в статье окружность и круг.
Практический вывод: в любой задаче про прямую и окружность первым действием считайте \( d \) и сравнивайте с \( R \). Это отвечает на вопрос «сколько общих точек» без всяких уравнений.
Определение касательной
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.
Формально важно именно количество общих точек: у секущей их две, у касательной — одна, у посторонней прямой — ни одной.
Главное свойство: касательная перпендикулярна радиусу
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Если прямая \( AB \) касается окружности с центром \( O \) в точке \( A \), то \( OA \perp AB \), то есть \( \angle OAB = 90^\circ \).
Доказательство от противного занимает две строки. Пусть радиус \( OA \) не перпендикулярен касательной. Тогда опустим из центра перпендикуляр \( OH \) на эту прямую, причём \( H \ne A \). Перпендикуляр короче наклонной, значит \( OH < OA = R \). Но \( OH < R \) означает, что прямая — секущая, то есть имеет две общие точки с окружностью. Это противоречит определению касательной. Следовательно, \( H = A \) и \( OA \perp AB \).
Теперь самое важное — почему именно это свойство является главным рабочим инструментом темы. Прямой угол — самый ценный объект в планиметрии. Как только вы провели радиус в точку касания, у вас бесплатно появился прямоугольный треугольник, в котором:
- радиус \( OA = R \) — один катет;
- отрезок касательной \( AM \) от точки касания до внешней точки \( M \) — второй катет;
- расстояние \( OM \) от центра до внешней точки — гипотенуза.
Отсюда сразу работает теорема Пифагора:
\[ OM^2 = R^2 + AM^2, \qquad AM = \sqrt{OM^2 - R^2}. \]
Правило-памятка: увидел слово «касательная» — проведи радиус в точку касания. Не раздумывая, зачем. В большинстве задач именно этот отрезок и оказывается ключом: он превращает хаотичный чертёж в прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами.
Признак касательной (обратное утверждение)
Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая — касательная к окружности.
Это обратный ход той же мысли: если \( OA \perp \ell \) и точка \( A \) лежит на \( \ell \), то \( OA \) — перпендикуляр из центра на прямую, то есть \( d = OA = R \), а это и есть случай касания.
Признак нужен, когда требуется что-то доказать, а не вычислить. Схема доказательства всегда одна: провести радиус в предполагаемую точку касания и показать, что угол прямой — либо посчитать расстояние от центра до прямой и показать, что оно равно \( R \).
Отрезки касательных, проведённых из одной точки
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной внешней точки, равны: если \( MA \) и \( MB \) — касательные из точки \( M \), где \( A \) и \( B \) — точки касания, то \( MA = MB \). Кроме того, луч \( MO \) является биссектрисой угла \( AMB \).
Доказательство: прямоугольные треугольники \( OAM \) и \( OBM \) имеют общую гипотенузу \( OM \) и равные катеты \( OA = OB = R \), значит они равны. Отсюда \( MA = MB \) и \( \angle AMO = \angle BMO \).
Это свойство — основа всех задач про вписанную окружность. Она касается всех трёх сторон треугольника, поэтому из каждой вершины выходят два равных отрезка касательных \( x \), \( y \), \( z \), а стороны записываются как \( x+y \), \( y+z \), \( z+x \). Сами отрезки равны \( p - a \), где \( p \) — полупериметр, а \( a \) — противолежащая сторона. Подробнее о вписанных и описанных окружностях — в статье вписанная и описанная окружность.
Тот же факт даёт критерий для четырёхугольника: в четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны, \( AB + CD = BC + AD \).
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.
Это предельный случай теоремы о вписанном угле: если вершина вписанного угла скользит по окружности и сливается с концом хорды, одна сторона угла превращается в касательную. Удобное в задачах следствие: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с противоположной стороны. Сама теорема о вписанном угле разобрана в статье вписанный угол.
Касание двух окружностей
Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку. Касание внешнее, если окружности лежат по разные стороны от общей касательной: тогда \( d = R + r \). Касание внутреннее, если одна окружность лежит внутри другой: тогда \( d = |R - r| \). Здесь \( d \) — расстояние между центрами.
Ключевое и одинаковое в обоих случаях: точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Именно поэтому расстояние между центрами так просто выражается через радиусы. При внешнем касании точка касания лежит между центрами, при внутреннем — по одну сторону от обоих.
Например, окружности радиусов \( 8 \) и \( 3 \) касаются внешним образом при \( d = 11 \) и внутренним при \( d = 5 \). Если \( 5 < d < 11 \), они пересекаются в двух точках; вне этого промежутка общих точек нет.
Пример 1. Сколько общих точек и какая хорда
Радиус окружности \( R = 10 \) см. Сколько общих точек с окружностью имеет прямая, удалённая от центра на \( 6 \) см, на \( 10 \) см, на \( 13 \) см? Для первого случая найти длину хорды.
Сравниваем \( d \) и \( R \): \( 6 < 10 \) — две точки (секущая); \( 10 = 10 \) — одна точка (касательная); \( 13 > 10 \) — общих точек нет.
Хорда: перпендикуляр \( OH = 6 \) из центра на секущую делит хорду \( AB \) пополам. В прямоугольном треугольнике \( OHA \) гипотенуза \( OA = R = 10 \), катет \( OH = 6 \):
\[ AH = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8, \qquad AB = 2 \cdot 8 = 16. \]
Ответ: две точки, одна точка, ни одной; хорда \( AB = 16 \) см.
Пример 2. Длина отрезка касательной
Из точки \( M \), удалённой от центра окружности на \( 13 \) см, проведена касательная. Радиус окружности \( 5 \) см. Найти отрезок касательной \( MA \).
Проводим радиус \( OA \) в точку касания. По главному свойству \( \angle OAM = 90^\circ \), поэтому треугольник \( OAM \) прямоугольный с гипотенузой \( OM \):
\[ MA = \sqrt{OM^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12. \]
Проверка: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \) — равенство выполняется.
Ответ: \( MA = 12 \) см.
Пример 3. Две касательные из одной точки
Из точки \( M \) к окружности радиуса \( 5 \) см проведены две касательные \( MA \) и \( MB \). Расстояние \( OM = 10 \) см. Найти угол между касательными и расстояние \( AB \).
В прямоугольном треугольнике \( OAM \) катет \( OA = 5 \) вдвое меньше гипотенузы \( OM = 10 \), значит
\[ \sin \angle AMO = \frac{OA}{OM} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \qquad \angle AMO = 30^\circ. \]
Луч \( MO \) — биссектриса угла \( AMB \), поэтому \( \angle AMB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \). Длина касательной:
\[ MA = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}. \]
Треугольник \( AMB \) равнобедренный (\( MA = MB \)) с углом при вершине \( 60^\circ \), значит он равносторонний, и \( AB = MA = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \) см.
Ответ: \( \angle AMB = 60^\circ \), \( AB = 5\sqrt{3} \) см.
Пример 4. Вписанная окружность и отрезки касательных
В треугольник со сторонами \( AB = 13 \), \( BC = 14 \), \( CA = 15 \) вписана окружность. Найти отрезки, на которые точки касания делят стороны.
Обозначим через \( x \), \( y \), \( z \) отрезки касательных из вершин \( A \), \( B \), \( C \) соответственно. Поскольку касательные из одной точки равны:
\[ x + y = 13, \qquad y + z = 14, \qquad z + x = 15. \]
Сложим все три равенства: \( 2(x+y+z) = 42 \), то есть \( x+y+z = 21 = p \) — полупериметр. Теперь вычитаем по очереди:
\[ x = 21 - 14 = 7, \qquad y = 21 - 15 = 6, \qquad z = 21 - 13 = 8. \]
Подстановка обратно: \( 7 + 6 = 13 \), \( 6 + 8 = 14 \), \( 8 + 7 = 15 \) — все три условия выполняются. Общее правило видно сразу: отрезок касательной из вершины равен \( p \) минус противолежащая сторона.
Ответ: \( 7 \) и \( 6 \) на стороне \( AB \), \( 6 \) и \( 8 \) на \( BC \), \( 8 \) и \( 7 \) на \( CA \).
Пример 5. Угол между касательной и хордой
К окружности в точке \( A \) проведена касательная. Угол между касательной и хордой \( AB \) равен \( 65^\circ \). Найти дугу \( AB \) внутри этого угла, центральный угол \( \angle AOB \) и углы треугольника \( AOB \).
Дуга равна удвоенному углу: \( 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ \). Центральный угол опирается на ту же дугу, поэтому \( \angle AOB = 130^\circ \).
Треугольник \( AOB \) равнобедренный, так как \( OA = OB = R \), значит углы при основании:
\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 130^\circ}{2} = 25^\circ. \]
Контроль: угол между касательной и радиусом \( OA \) должен быть прямым, и действительно \( 65^\circ + 25^\circ = 90^\circ \).
Ответ: дуга \( 130^\circ \), \( \angle AOB = 130^\circ \), углы при основании по \( 25^\circ \).
Пример 6. Касание двух окружностей и общая касательная
Две окружности радиусов \( 5 \) см и \( 3 \) см касаются внешним образом. Найти расстояние между центрами и длину отрезка общей внешней касательной между точками касания.
При внешнем касании \( d = R + r = 5 + 3 = 8 \) см.
Пусть касательная касается окружностей в точках \( A \) и \( B \). Радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \) перпендикулярны ей, значит параллельны между собой. Опустим из \( O_2 \) перпендикуляр на \( O_1A \); получим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( O_1O_2 = 8 \) и катетом \( R - r = 2 \):
\[ AB = \sqrt{d^2 - (R-r)^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \approx 7{,}75 \text{ см}. \]
Контроль через общую формулу для внешнего касания: \( AB = 2\sqrt{Rr} = 2\sqrt{5 \cdot 3} = 2\sqrt{15} \) — тот же результат.
Ответ: \( d = 8 \) см, \( AB = 2\sqrt{15} \approx 7{,}75 \) см.
Типичные ошибки
- Берут расстояние не до той точки. В правиле \( d \) — это длина перпендикуляра из центра на прямую, а не расстояние до произвольной точки прямой. Из-за этого «прямая не пересекает окружность» пишут там, где она её пересекает.
- Проводят радиус не в точку касания. Перпендикулярность гарантирована только для радиуса, проведённого именно в точку касания. Любой другой радиус к касательной не перпендикулярен.
- Путают катет с гипотенузой. В треугольнике «центр — точка касания — внешняя точка» гипотенуза это \( OM \) (расстояние до центра), а радиус и касательная — катеты. Формула \( AM = \sqrt{OM^2 - R^2} \), а не наоборот.
- Используют свойство вместо признака. Чтобы доказать касание, нужен признак: показать, что \( d = R \) или что радиус перпендикулярен. Ссылаться на свойство касательной, ещё не доказав, что прямая касательная, — логическая ошибка.
- Забывают про второй случай касания окружностей. Условие «окружности касаются» без уточнения допускает и \( d = R + r \), и \( d = |R - r| \). Часто в задаче нужны оба ответа.
- Берут не ту дугу в угле между касательной и хордой. Работает дуга, лежащая внутри угла. Для второй дуги ответ будет другим: вместо \( 130^\circ \) получится \( 230^\circ \).
Вывод
Вся тема держится на одном прямом угле. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания — это не абстрактный факт, а способ получить прямоугольный треугольник с радиусом и отрезком касательной в катетах. Дальше работает Пифагор. Остальное — три случая расположения по сравнению \( d \) и \( R \), равенство отрезков касательных из одной точки и две формулы касания окружностей: \( d = R + r \) и \( d = |R - r| \).
Если задачи на окружность до сих пор кажутся набором случайных чертежей, это вопрос практики под присмотром. Запишитесь на пробное занятие — разберём вашу задачу и поставим привычку проводить радиус в точку касания первым действием.
Чем касательная отличается от секущей?
Количеством общих точек с окружностью. Касательная имеет ровно одну общую точку, секущая — две. Через расстояние от центра до прямой: у касательной \( d = R \), у секущей \( d < R \). Если \( d > R \), прямая не имеет с окружностью общих точек вообще.
Сколько касательных можно провести к окружности из одной точки?
Зависит от расположения точки. Из точки вне окружности — ровно две, и отрезки этих касательных равны между собой. Из точки на самой окружности — ровно одну. Из точки внутри круга — ни одной.
Как доказать, что прямая является касательной к окружности?
Двумя способами. Первый: найти расстояние от центра до прямой и показать, что оно равно радиусу. Второй (признак касательной): показать, что прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Оба способа равносильны.
Как найти расстояние между центрами касающихся окружностей?
Точка касания всегда лежит на линии центров, поэтому расстояние выражается через радиусы. При внешнем касании \( d = R + r \), при внутреннем \( d = |R - r| \). Если в условии не сказано, какое именно касание, рассматривайте оба случая.
