Скалярное произведение векторов: определения, координаты, угол
Скалярное произведение — та операция, после которой векторы перестают быть «стрелочками на рисунке» и начинают работать как инструмент. Именно через него проверяют перпендикулярность, находят углы в треугольнике и вычисляют длины, ничего не измеряя линейкой. В Tutor-Math мы проходим эту тему сразу после действий с векторами на плоскости, и почти всегда первый вопрос девятиклассника одинаков: «а что мы вообще получили в результате?». Ответ на него — половина понимания темы, с него и начнём.
Определение через модули и косинус угла
Скалярным произведением двух ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi,\]
где \(\varphi\) — угол между векторами, \(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ\). Если хотя бы один из векторов нулевой, скалярное произведение считают равным нулю.
Обозначают скалярное произведение точкой — \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), или просто \(\vec{a}\,\vec{b}\). Угол между векторами откладывают от общего начала: чтобы его увидеть, векторы нужно свести в одну точку. Это важно, потому что вектор свободно переносится по плоскости, и угол между двумя стрелками, нарисованными в разных углах листа, определяют именно после такого сведения.
Результат скалярного произведения — число, а не вектор. Это главное, что стоит запомнить с первой минуты. Мы берём два вектора, а получаем обычный действительный скаляр: у него нет ни направления, ни стрелки над буквой. Поэтому записи вроде «\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) направлено так же, как \(\vec{a}\)» лишены смысла, а само название операции — «скалярное» — прямо на это намекает.
Скалярное произведение в координатах
Второе определение — рабочее. Именно им пользуются в задачах, потому что оно не требует знать угол.
Если \(\vec{a}(x_1;y_1)\) и \(\vec{b}(x_2;y_2)\), то
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2.\]
То есть перемножаем первые координаты, перемножаем вторые и складываем результаты. Никаких вычитаний, никакого «накрест» — это типичная путаница с другими формулами. Если вектор задан двумя точками, координаты сначала находят как разность «конец минус начало»: для \(A(x_A;y_A)\) и \(B(x_B;y_B)\) имеем \(\vec{AB}(x_B-x_A;\;y_B-y_A)\). Подробнее об этом — в статье про координаты на плоскости.
Оба определения описывают одно и то же число. Приравняв их, получаем формулу для косинуса угла, к которой ещё вернёмся:
\[\cos\varphi=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}.\]
Знак произведения: острый угол или тупой
Модули векторов всегда положительны, поэтому знак всего выражения \(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi\) определяет только косинус. А косинус на промежутке от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) ведёт себя предсказуемо. Отсюда — правило, позволяющее ответить об угле, даже не вычисляя его:
- \(\vec{a}\cdot\vec{b} > 0\) — угол острый (\(\varphi < 90^\circ\));
- \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\) — угол прямой (векторы перпендикулярны);
- \(\vec{a}\cdot\vec{b} < 0\) — угол тупой (\(\varphi > 90^\circ\)).
В задачах вида «определите вид угла \(A\) треугольника» этого достаточно: считаем одно произведение и смотрим на знак. Вычислять сам угол не нужно.
Условие перпендикулярности — главное применение
Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
\[\vec{a}\perp\vec{b}\iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad\text{то есть}\qquad x_1x_2+y_1y_2=0.\]
Причина проста: \(\cos 90^\circ = 0\), а модули ненулевых векторов в ноль обратиться не могут. Значит, произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен косинус.
Это самое ценное, что даёт тема. Проверка перпендикулярности превращается в одно умножение и одно сложение — без построений, без транспортира, без теорем. Через это условие доказывают, что треугольник прямоугольный, что четырёхугольник — прямоугольник или ромб, находят неизвестную координату вектора, составляют уравнение прямой, перпендикулярной данной. Если в условии задачи есть слово «перпендикулярны» и есть координаты — почти наверняка нужно скалярное произведение.
Угол между векторами
Когда нужно не просто «острый или тупой», а конкретное значение, работает формула косинуса. Порядок действий всегда один: скалярное произведение → оба модуля → подстановка → \(\arccos\).
Напомним, что модуль вектора по координатам вычисляют как \(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\) — это просто теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \(x_1\) и \(y_1\). Если же угол ищут в треугольнике со сторонами, а не с векторами, часто удобнее оказывается теорема косинусов: формально эти два подхода эквивалентны, и теорему косинусов даже можно вывести из скалярного произведения.
Скалярный квадрат и связь с модулем
Особый случай — когда вектор умножают сам на себя. Угол между вектором и им же равен \(0^\circ\), а \(\cos 0^\circ = 1\), поэтому
\[\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot 1=|\vec{a}|^2.\]
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: \(\vec{a}^{\,2}=|\vec{a}|^2\). Отсюда \(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^{\,2}}\).
Это мостик между «числовой» операцией и длиной. Он позволяет считать модуль суммы или разности векторов, не переходя к координатам. Например, если \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=4\), а угол между ними \(60^\circ\), то \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot4\cdot0{,}5=6\), и
\[|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})^2=\vec{a}^{\,2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^{\,2}=9+12+16=37,\]
то есть \(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}\approx 6{,}08\). Обратите внимание: формула квадрата суммы работает точно так же, как в алгебре, — и это не совпадение, а следствие свойств, которые идут дальше.
Свойства скалярного произведения
- Переместительное: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\).
- Распределительное: \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\).
- Сочетательное относительно числового множителя: \((k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\).
- Скалярный квадрат неотрицателен: \(\vec{a}^{\,2}=|\vec{a}|^2\ge 0\), причём нулю он равен только для нулевого вектора.
Первые три свойства означают, что скобки с векторами раскрывают по привычным правилам алгебры. Но есть предел: сочетательного свойства для трёх векторов не существует. Выражение \((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}\) — это число, умноженное на вектор, то есть вектор, коллинеарный \(\vec{c}\); а \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\) — вектор, коллинеарный \(\vec{a}\). Это разные объекты, и запись \(\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\vec{c}\) без скобок смысла не имеет.
Пример 1. Произведение по координатам и вид угла
Даны \(\vec{a}(3;-2)\) и \(\vec{b}(4;5)\). Найти \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) и определить, острый или тупой угол между векторами.
По координатной формуле: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot4+(-2)\cdot5=12-10=2\).
Число положительное, значит угол острый. Для контроля можно найти и само значение: \(|\vec{a}|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\), \(|\vec{b}|=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\), поэтому \(\cos\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}}=\dfrac{2}{\sqrt{533}}\approx 0{,}0866\), откуда \(\varphi\approx 85^\circ\) — действительно острый, хотя и почти прямой.
Ответ: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\); угол острый.
Пример 2. Произведение по определению
Известно, что \(|\vec{a}|=6\), \(|\vec{b}|=5\), а угол между векторами \(120^\circ\). Найти \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).
Здесь координат нет, поэтому работаем первым определением. \(\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}\), значит
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=6\cdot5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-15.\]
Отрицательный результат согласуется с правилом знаков: угол \(120^\circ\) тупой.
Ответ: \(-15\).
Пример 3. Условие перпендикулярности
При каком значении \(x\) векторы \(\vec{a}(4;-3)\) и \(\vec{b}(x;8)\) перпендикулярны?
Условие перпендикулярности: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\). Составляем уравнение:
\[4\cdot x+(-3)\cdot 8=0,\qquad 4x-24=0,\qquad x=6.\]
Проверка: при \(x=6\) имеем \(\vec{b}(6;8)\), тогда \(4\cdot6+(-3)\cdot8=24-24=0\) — условие выполняется.
Ответ: \(x=6\).
Пример 4. Угол между векторами
Найти угол между \(\vec{a}(2;2)\) и \(\vec{b}(0;-3)\).
Шаг 1. Скалярное произведение: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot0+2\cdot(-3)=-6\). Знак отрицательный — уже ясно, что угол тупой.
Шаг 2. Модули: \(|\vec{a}|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(|\vec{b}|=\sqrt{0+9}=3\).
Шаг 3. Косинус:
\[\cos\varphi=\frac{-6}{2\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{-6}{6\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Шаг 4. \(\varphi=\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=135^\circ\).
Ответ: \(135^\circ\).
Пример 5. Раскрытие скобок
Известно, что \(|\vec{a}|=2\), \(|\vec{b}|=3\), угол между ними \(60^\circ\). Вычислить \((\vec{a}+2\vec{b})\cdot(3\vec{a}-\vec{b})\).
Сначала найдём \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot3\cdot\cos 60^\circ=2\cdot3\cdot0{,}5=3\).
Теперь раскрываем скобки по распределительному свойству, помня, что \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\) и \(\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}|^2\):
\[(\vec{a}+2\vec{b})(3\vec{a}-\vec{b})=3\vec{a}^{\,2}-\vec{a}\vec{b}+6\vec{b}\vec{a}-2\vec{b}^{\,2}=3|\vec{a}|^2+5\,\vec{a}\vec{b}-2|\vec{b}|^2.\]
Подставляем: \(3\cdot4+5\cdot3-2\cdot9=12+15-18=9\).
Ответ: \(9\).
Пример 6. Углы треугольника по координатам вершин
Даны \(A(1;2)\), \(B(5;4)\), \(C(3;-2)\). Доказать, что треугольник \(ABC\) прямоугольный, и найти угол \(B\).
Угол \(A\) образуют векторы, выходящие из вершины \(A\):
\(\vec{AB}(5-1;\;4-2)=(4;2)\), \(\vec{AC}(3-1;\;-2-2)=(2;-4)\).
\[\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\cdot2+2\cdot(-4)=8-8=0.\]
Произведение равно нулю, значит \(\vec{AB}\perp\vec{AC}\) и угол \(A\) прямой — треугольник прямоугольный.
Для угла \(B\) берём векторы из вершины \(B\): \(\vec{BA}(1-5;\;2-4)=(-4;-2)\) и \(\vec{BC}(3-5;\;-2-4)=(-2;-6)\).
\(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=(-4)(-2)+(-2)(-6)=8+12=20\); \(|\vec{BA}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\), \(|\vec{BC}|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}\).
\[\cos B=\frac{20}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{40}}=\frac{20}{\sqrt{800}}=\frac{20}{20\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad B=45^\circ.\]
Результат логичен: катеты \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=2\sqrt{5}\) равны, значит треугольник равнобедренный прямоугольный, а острые углы в нём по \(45^\circ\). Такие соотношения подробно разобраны в материале про тригонометрию прямоугольного треугольника.
Ответ: угол \(A=90^\circ\), угол \(B=45^\circ\).
Типичные ошибки
- Записывают результат как вектор. Стрелка над ответом, фраза «вектор \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)» — грубая ошибка. Результат всегда число.
- Путают формулу с координатами других действий. При сложении векторов координаты складывают по отдельности и в результате выходит вектор \((x_1+x_2;\,y_1+y_2)\); при скалярном умножении координаты перемножают и суммируют в одно число. Это разные операции с разными по природе результатами.
- Не сводят векторы к общему началу. Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) — это не угол \(B\) треугольника, а смежный с ним. Для угла \(B\) нужны \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) — оба из вершины \(B\).
- Берут координаты как «начало минус конец». Направление вектора переворачивается, знак произведения тоже, и острый угол «становится» тупым. Всегда конец минус начало.
- Считают, что из \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) следует равенство нулю одного из векторов. Для чисел это так, для векторов — нет: нулевое произведение ненулевых векторов означает лишь перпендикулярность.
- Сокращают на вектор. Из \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) не следует \(\vec{b}=\vec{c}\): достаточно, чтобы \(\vec{a}\) был перпендикулярен \(\vec{b}-\vec{c}\).
- Теряют знак косинуса тупого угла. \(\cos 120^\circ=-0{,}5\), а не \(0{,}5\) — половина ошибок в задачах «по определению» именно здесь.
Вывод
Скалярное произведение — компактная операция с большим радиусом действия: два определения, одно условие перпендикулярности, одна формула угла. Если держать в голове, что результат — число, и что его знак сразу сообщает о виде угла, большинство задач темы решаются в две строки. Проблемы обычно начинаются не с формул, а с мелочей: не тот порядок точек в векторе, не из той вершины взяты направления, потерянный минус в косинусе.
Если эти мелочи постоянно съедают баллы, самый быстрый способ их убрать — разобрать несколько задач вместе с преподавателем, который видит, где именно ломается логика. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: за одну встречу мы пройдём оба определения, условие перпендикулярности и типовые форматы задач ГИА и НМТ.
Почему результат скалярного произведения — число, а не вектор?
Потому что по определению это произведение трёх чисел: двух модулей и косинуса угла. Модуль — число, косинус — число, значит и результат число. В координатной записи это видно ещё яснее: \(x_1x_2+y_1y_2\) — сумма двух произведений, то есть один скаляр без всякого направления.
Как быстро проверить перпендикулярность векторов?
Вычислить \(x_1x_2+y_1y_2\). Если получился ноль — векторы перпендикулярны; если нет — не перпендикулярны. Это работает для любых ненулевых векторов и не требует ни построения, ни нахождения угла.
Что означает отрицательное скалярное произведение?
Что угол между векторами тупой, то есть больше \(90^\circ\). Модули всегда положительны, поэтому знак всего выражения задаёт только косинус, а он отрицателен именно на промежутке от \(90^\circ\) до \(180^\circ\).
Можно ли скалярно умножить три вектора?
Нет. После первого умножения \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) получается число, а число с вектором скалярно не умножают — число умножают на вектор, получая снова вектор. Поэтому \((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}\) и \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\) — разные векторы, а запись без скобок некорректна.
