Синус, косинус и тангенс острого угла

Синус, косинус и тангенс острого угла: решение прямоугольных треугольников

В восьмом классе геометрия делает шаг, который многим даётся тяжело: вместо «найти сторону по теореме Пифагора» появляется связь между сторонами и углами. Три отношения — синус, косинус и тангенс — позволяют по двум известным элементам прямоугольного треугольника восстановить все остальные. На занятиях в Tutor-Math мы сразу закрепляем, откуда берётся каждое из этих отношений, потому что именно путаница «что на что делить» съедает большинство баллов на контрольной. Разберём тему полностью: определения, таблица значений, основное тождество и все три типа задач на решение треугольника.

Определения трёх отношений

Рассматриваем прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). Сторона \(AB\) — гипотенуза (обозначим \(c\)), стороны \(BC\) и \(AC\) — катеты (\(a\) и \(b\)). Возьмём острый угол \(A\). Относительно него катет \(a = BC\) называют противолежащим (лежит напротив угла), а катет \(b = AC\) — прилежащим (образует этот угол вместе с гипотенузой).

Определение. Для острого угла \(\alpha\) прямоугольного треугольника:

синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе;
косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе;
тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

\[\sin\alpha = \frac{a}{c},\qquad \cos\alpha = \frac{b}{c},\qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}.\]

Принципиально важно: эти отношения зависят только от величины угла, а не от размеров треугольника. Два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны по двум углам, а в подобных треугольниках отношения соответствующих сторон одинаковы — это прямое следствие подобия треугольников. Поэтому \(\sin 30^\circ\) равен \(0{,}5\) и в треугольнике с гипотенузой \(2\) см, и в треугольнике с гипотенузой \(200\) км.

Как не перепутать: рабочая мнемоника

Самая частая ошибка восьмиклассника — взять не тот катет. Вот три опоры, которые это закрывают.

• Знаменатель задаёт «косую». У синуса и косинуса внизу всегда гипотенуза, у тангенса — катет. Если в задаче гипотенуза вообще не упомянута, работает тангенс.
• «Ко» — это «рядом». В слове косинус приставка «ко» напоминает об угле, который катет образует, то есть о прилежащем катете. Синус — наоборот, «сторона напротив».
• Тангенс — это синус, делённый на косинус. Если забыли определение тангенса, выведите его: \(\dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b}\). Формула \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) работает всегда.

Вторая по распространённости ошибка — забыть, что «противолежащий» и «прилежащий» определяются относительно конкретного угла. Один и тот же катет для одного острого угла противолежащий, а для другого — прилежащий. Отсюда полезное соотношение: для двух острых углов прямоугольного треугольника \(\alpha + \beta = 90^\circ\), и поэтому \(\sin\alpha = \cos\beta\), \(\cos\alpha = \sin\beta\).

И третье, что стоит усвоить на уровне рефлекса: катет всегда короче гипотенузы, значит

\[0 < \sin\alpha < 1,\qquad 0 < \cos\alpha < 1.\]

Если в решении получился синус \(1{,}4\) — это не «почти правильно», это гарантированная арифметическая ошибка. У тангенса же ограничений сверху нет: он может быть любым положительным числом.

Таблица значений для 30°, 45° и 60°

Эти три угла нужно знать наизусть — они встречаются почти в каждой экзаменационной задаче.

\[ \begin{array}{c|c|c|c} \alpha & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\ \hline \sin\alpha & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \hline \cos\alpha & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[4pt] \hline \operatorname{tg}\alpha & \dfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \end{array} \]

Запоминать механически не обязательно — у таблицы простая логика. Строка синуса читается как \(\dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\): под корнем идут \(1, 2, 3\). Строка косинуса — тот же набор в обратном порядке, потому что \(\cos 30^\circ = \sin 60^\circ\). Тангенс получаем делением: \(\operatorname{tg}30^\circ = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) после освобождения от иррациональности в знаменателе (подробнее — в статье про квадратный корень).

Микропример на применение: \(\sin 30^\circ\cdot\cos 60^\circ + \operatorname{tg}45^\circ\cdot\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} + 1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} = 1\).

Основное тригонометрическое тождество

Тождество. Для любого острого угла \(\alpha\) выполняется \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Запись \(\sin^2\alpha\) означает \((\sin\alpha)^2\) — это стандартное сокращение, а не «синус от \(\alpha^2\)».

Доказательство умещается в одну строку и опирается на теорему Пифагора. Подставим определения:

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1,\]

так как по теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2\). Фактически основное тождество — это та же теорема Пифагора, только поделённая на \(c^2\).

Практическая ценность: зная одну из функций угла, можно найти две другие, не вычисляя сам угол. Из тождества \(\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}\) (корень берём положительный, так как для острого угла косинус положителен), далее \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Что значит «решить прямоугольный треугольник»

Решить треугольник — найти все неизвестные стороны и углы. Прямой угол уже известен, поэтому достаточно двух дополнительных элементов, среди которых хотя бы одна сторона. Возможны три случая.

• Даны катет и гипотенуза. Угол ищем через синус или косинус, второй катет — по теореме Пифагора.
• Даны два катета. Угол ищем через тангенс, гипотенузу — по теореме Пифагора.
• Даны катет и острый угол. Второй острый угол — это \(90^\circ\) минус данный; стороны выражаем через синус, косинус или тангенс.

Полезно держать в голове две производные формулы, экономящие время: катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла (\(a = c\sin\alpha\)), и катет равен второму катету, умноженному на тангенс противолежащего угла (\(a = b\operatorname{tg}\alpha\)).

Примеры с решением

Пример 1. Катеты прямоугольного треугольника равны \(6\) и \(8\). Найти синус, косинус и тангенс обоих острых углов.

Сначала гипотенуза: \(c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\). Пусть \(\alpha\) — угол, противолежащий катету \(6\). Тогда противолежащий катет равен \(6\), прилежащий \(8\):

\[\sin\alpha = \frac{6}{10} = 0{,}6,\qquad \cos\alpha = \frac{8}{10} = 0{,}8,\qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{6}{8} = 0{,}75.\]

Для второго острого угла \(\beta\) катеты меняются ролями: противолежащий \(8\), прилежащий \(6\), поэтому \(\sin\beta = 0{,}8\), \(\cos\beta = 0{,}6\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\). Проверка тождеством: \(0{,}6^2+0{,}8^2 = 0{,}36+0{,}64 = 1\).

Ответ: \(\sin\alpha = 0{,}6\), \(\cos\alpha = 0{,}8\), \(\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75\); \(\sin\beta = 0{,}8\), \(\cos\beta = 0{,}6\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{4}{3}\).

Пример 2. Известно, что \(\sin\alpha = 0{,}6\), угол \(\alpha\) острый. Найти \(\cos\alpha\) и \(\operatorname{tg}\alpha\).

Записываем \(0{,}6 = \dfrac{3}{5}\) и применяем основное тождество:

\[\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.\]

Поскольку угол острый, косинус положителен, поэтому \(\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\). Тангенс: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).

Ответ: \(\cos\alpha = 0{,}8\), \(\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75\).

Пример 3 (катет и гипотенуза). Гипотенуза равна \(10\) см, один из катетов — \(5\) см. Решить треугольник.

Катет \(a = 5\) противолежит углу \(\alpha\), гипотенуза \(c = 10\), значит \(\sin\alpha = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\). По таблице это угол \(\alpha = 30^\circ\). Второй острый угол: \(\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Второй катет находим двумя способами — они должны совпасть. По теореме Пифагора: \(b = \sqrt{10^2-5^2} = \sqrt{100-25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\). Через косинус: \(b = c\cos\alpha = 10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\). Оба пути дали \(5\sqrt{3}\approx 8{,}66\) см.

Ответ: \(\alpha = 30^\circ\), \(\beta = 60^\circ\), второй катет \(5\sqrt{3}\approx 8{,}66\) см.

Пример 4 (два катета). Катеты равны \(7\) см и \(7\sqrt{3}\) см. Решить треугольник.

Гипотенуза не дана — работаем через тангенс. Пусть \(\alpha\) противолежит меньшему катету:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{7}{7\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

По таблице \(\alpha = 30^\circ\), тогда \(\beta = 60^\circ\). Гипотенуза: \(c = \sqrt{7^2+\left(7\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{49+147} = \sqrt{196} = 14\) см. Проверка: \(\sin 30^\circ\) должен равняться \(\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\) — совпадает.

Ответ: \(\alpha = 30^\circ\), \(\beta = 60^\circ\), гипотенуза \(14\) см.

Пример 5 (катет и острый угол). В прямоугольном треугольнике катет равен \(6\) см, а противолежащий ему острый угол — \(60^\circ\). Найти гипотенузу и второй катет.

Из определения синуса \(\sin 60^\circ = \dfrac{6}{c}\), отсюда

\[c = \frac{6}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\approx 6{,}93\ \text{см}.\]

Второй катет — через тангенс: \(\operatorname{tg}60^\circ = \dfrac{6}{b}\), поэтому \(b = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) см. Контроль по Пифагору: \(6^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 36+12 = 48\), и \(\left(4\sqrt{3}\right)^2 = 16\cdot 3 = 48\) — равенство выполняется.

Ответ: гипотенуза \(4\sqrt{3}\approx 6{,}93\) см, второй катет \(2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) см.

Пример 6 (практическая задача). Ученик стоит в \(12\) м от дерева и видит его вершину под углом \(60^\circ\) к горизонту. Глаза наблюдателя на высоте \(1{,}7\) м. Какова высота дерева?

Строим прямоугольный треугольник: горизонтальный катет — расстояние до дерева \(12\) м, вертикальный катет \(h\) — часть дерева выше уровня глаз, угол между гипотенузой (лучом зрения) и горизонталью равен \(60^\circ\). Вертикальный катет противолежит этому углу, горизонтальный прилежит, значит работает тангенс:

\[h = 12\cdot\operatorname{tg}60^\circ = 12\sqrt{3}\approx 20{,}78\ \text{м}.\]

Это ещё не ответ: к найденной величине нужно прибавить высоту глаз, потому что треугольник «начинается» на уровне \(1{,}7\) м, а не от земли. Полная высота: \(20{,}78 + 1{,}7 = 22{,}48\) м.

Ответ: около \(22{,}5\) м.

Важно: это тригонометрия только прямоугольного треугольника

Всё описанное выше работает только для прямоугольного треугольника. Определение синуса как «противолежащий катет разделить на гипотенузу» просто не имеет смысла там, где нет ни катетов, ни гипотенузы. Это типичный источник ошибок: ученик видит в задаче угол \(30^\circ\) в произвольном треугольнике и механически пишет \(\sin 30^\circ = \dfrac{a}{c}\).

Для произвольного треугольника работают другие инструменты, и их изучают в девятом классе: теорема синусов связывает стороны с синусами противолежащих углов, а теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на случай непрямого угла. Обе опираются на те же синус и косинус, но формулируются совершенно иначе. Восьмикласснику достаточно запомнить границу: нет прямого угла — определения через катеты не применяем. Обе теоремы, кстати, входят в перечень ключевых теорем геометрии для ГИА и ВНО.

Типичные ошибки

• Перепутаны катеты. Самое распространённое: взять прилежащий катет вместо противолежащего. Перед вычислением всегда подписывайте на чертеже, какой катет противолежит именно тому углу, который ищете.
• Гипотенуза в знаменателе тангенса. В тангенсе гипотенуза не участвует вообще: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}\), обе стороны — катеты.
• Синус больше единицы. Результат \(\sin\alpha = 1{,}25\) означает, что катет получился длиннее гипотенузы, — проверьте, не перепутаны ли стороны.
• Путаница \(\sin 30^\circ\) и \(\cos 30^\circ\). \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), а \(\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Проверяйте логикой: больше угол — больше синус, значит \(\sin 60^\circ > \sin 30^\circ\).
• Запись \(\sin^2\alpha\) как \(\sin(\alpha^2)\). Показатель \(2\) относится к значению синуса, а не к углу.
• Потерянная высота глаз в практических задачах. Тангенс даёт только вертикальный катет — часть высоты над уровнем наблюдения. Если угол измеряли с высоты роста, её нужно прибавить.
• Применение определений к непрямоугольному треугольнику. Без прямого угла нужны теоремы синусов и косинусов, а не отношения катетов.

Вывод

Тема держится на трёх определениях, одной таблице и одном тождестве. Синус и косинус делят катет на гипотенузу (противолежащий и прилежащий соответственно), тангенс делит катет на катет. Значения для \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) стоит знать наизусть, а \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) — это переодетая теорема Пифагора. Дальше всё сводится к трём сценариям решения треугольника, и каждое решение можно проконтролировать Пифагором.

Если ребёнок «знает формулы, но не видит, какую взять», проблема почти всегда в чертеже, а не в памяти. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: преподаватель за одну встречу поставит навык правильно размечать треугольник — и задачи этого раздела перестанут быть лотереей.

Частые вопросы

Почему синус угла не зависит от размеров треугольника?

Потому что два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны по двум углам, а в подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны. Увеличив треугольник вдвое, мы удваиваем и катет, и гипотенузу, а их отношение не меняется. Именно поэтому синус, косинус и тангенс — характеристики угла, а не фигуры.

Может ли синус острого угла равняться \(1{,}5\)?

Нет. Синус — это отношение катета к гипотенузе, а катет в прямоугольном треугольнике всегда короче гипотенузы. Поэтому \(0 < \sin\alpha < 1\) и \(0 < \cos\alpha < 1\) для любого острого угла. Значение больше единицы — сигнал об ошибке в вычислениях. Тангенс же может быть любым положительным числом: например, \(\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}\approx 1{,}73\).

Сколько элементов нужно знать, чтобы решить прямоугольный треугольник?

Два, кроме прямого угла, и хотя бы один из них должен быть стороной. Двух углов недостаточно: по ним треугольник определяется лишь с точностью до подобия, то есть размеры остаются неизвестными. Рабочие комбинации: катет и гипотенуза, два катета, катет и острый угол, гипотенуза и острый угол.

Чем тригонометрия 8 класса отличается от теорем синусов и косинусов?

В восьмом классе синус, косинус и тангенс определены через стороны прямоугольного треугольника — это отношения катетов и гипотенузы. Теорема синусов и теорема косинусов (девятый класс) работают в произвольном треугольнике и связывают стороны с углами иначе. Определения через катеты к произвольному треугольнику не применяют — там просто нет гипотенузы.