Векторы на плоскости: действия и координаты
Вектор — первое понятие школьной математики, в котором величина имеет не только размер, но и направление. Именно из-за этого девятиклассники спотыкаются: «сложить» здесь означает приложить одну стрелку к концу другой. Но как только появляются координаты, вся геометрия векторов превращается в арифметику с парами чисел. В Tutor-Math мы намеренно проходим тему дважды — сначала геометрически, потом в координатах — потому что именно связь между этими двумя языками даёт понимание, а не заученные правила.
Что такое вектор
Определение. Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом.
Вектор с началом в \(A\) и концом в \(B\) обозначают \(\vec{AB}\); используют и одну маленькую букву: \(\vec{a}\), \(\vec{b}\). Порядок букв принципиален: \(\vec{AB}\) и \(\vec{BA}\) — разные векторы, у них одинаковая длина, но противоположные направления.
Модулем (длиной) вектора \(\vec{AB}\) называют длину отрезка \(AB\). Обозначение: \(|\vec{AB}|\).
Отдельно стоит нулевой вектор \(\vec{0}\), у которого начало совпадает с концом: модуль равен нулю, направление считают неопределённым. Он появляется как результат вычислений, например \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\).
Вектор задаётся направлением и длиной, а не положением
Это главная идея темы, и именно её чаще всего пропускают. Отрезок \(AB\) — конкретное множество точек: перенесли его — получили другой отрезок. С вектором всё иначе.
Определение. Два ненулевых вектора называют равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Обратите внимание: в определении нет ни слова о том, где вектор расположен. Параллельно перенесённый вектор — это тот же самый вектор. Поэтому равные векторы могут лежать в разных концах листа, не иметь ни одной общей точки — и всё равно быть равными.
Практическое следствие: вектор можно отложить от любой точки, и такой вектор единственный. Именно поэтому в координатах вектор описывается одной парой чисел, а не четырьмя координатами двух точек.
Противоположными называют векторы, имеющие одинаковую длину, но противоположные направления. Вектор, противоположный \(\vec{a}\), обозначают \(-\vec{a}\). В частности, \(\vec{BA}=-\vec{AB}\).
Коллинеарные векторы
Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы бывают двух типов: сонаправленные (обозначают \(\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}\)) — направления совпадают, и противоположно направленные (\(\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}\)) — направления противоположны. Длины при этом могут быть любыми: коллинеарность ничего не говорит о модуле. Не путайте её с равенством — равные векторы коллинеарны, сонаправлены и одинаковой длины.
Сложение векторов: правило треугольника
Правило треугольника. Чтобы сложить \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), отложите \(\vec{a}\) от произвольной точки \(A\), а затем от его конца \(B\) отложите \(\vec{b}\). Вектор от начала первого до конца второго и есть сумма: \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).
Правило работает для любых двух векторов и естественно распространяется на несколько (правило многоугольника): откладываем их цепочкой, и сумма — это вектор от начала первого до конца последнего. Если цепочка замкнулась, сумма равна \(\vec{0}\).
Правило параллелограмма
Правило параллелограмма. Отложите \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) от одной точки и достройте параллелограмм. Сумма \(\vec{a}+\vec{b}\) — это диагональ параллелограмма, выходящая из той же точки.
Это то же самое сложение, просто другая картинка: правило параллелограмма удобно, когда оба вектора уже заданы от общей точки (силы, скорости в физике). Ограничение одно — для коллинеарных векторов параллелограмма не получится, там остаётся правило треугольника.
Сложение векторов обладает теми же свойствами, что и сложение чисел: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\) и \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).
Вычитание векторов
Определение. Разность \(\vec{a}-\vec{b}\) — это сумма \(\vec{a}\) с вектором, противоположным \(\vec{b}\): \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\).
Есть и более быстрый геометрический способ: отложите \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) от общей точки \(O\). Тогда \(\vec{a}-\vec{b}\) идёт от конца \(\vec{b}\) к концу \(\vec{a}\):
\[\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA}\]
Проверка правилом треугольника: \(\vec{OB}+\vec{BA}=\vec{OA}\), значит \(\vec{BA}=\vec{OA}-\vec{OB}\). Направление «от вычитаемого к уменьшаемому» — типичное место ошибки.
Умножение вектора на число
Определение. Произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число \(k \neq 0\) называют вектор \(k\vec{a}\), у которого \(|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|\), причём \(k\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{a}\) при \(k > 0\) и \(k\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{a}\) при \(k < 0\).
То есть число растягивает или сжимает вектор, а отрицательное ещё и разворачивает его. Если \(k=0\) или \(\vec{a}=\vec{0}\), произведение равно \(\vec{0}\). Обратите внимание на модуль в формуле длины: длина не бывает отрицательной, поэтому там именно \(|k|\).
Признак коллинеарности. Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) (где \(\vec{a}\neq\vec{0}\)) коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число \(k\) такое, что \(\vec{b}=k\vec{a}\).
Координаты вектора
Теперь переходим на язык координат — именно здесь тема становится простой. О системе координат подробнее — в статье про координаты на плоскости.
Правило. Если \(A(x_1;\ y_1)\) и \(B(x_2;\ y_2)\), то координаты вектора \(\vec{AB}\) вычисляют как разность координат конца и начала: \[\vec{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1)\]
Здесь сразу видна идея «вектор не привязан к месту»: если перенести обе точки на один и тот же вектор, разности не изменятся. Поэтому два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты — проверка сводится к сравнению двух пар чисел.
Модуль вектора через координаты
Если \(\vec{a}=(x;\ y)\), то, достроив прямоугольный треугольник с катетами \(|x|\) и \(|y|\), по теореме Пифагора получим:
\[|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Для вектора, заданного точками, это то же самое, что и формула расстояния между точками:
\[|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Подкоренное выражение всегда неотрицательно; если корень не извлекается нацело, ответ оставляют в виде корня — об этом есть в статье про квадратный корень.
Действия с векторами в координатах
Все три операции в координатах выполняют покоординатно. Пусть \(\vec{a}=(x_1;\ y_1)\), \(\vec{b}=(x_2;\ y_2)\), \(k\) — число. Тогда:
\[\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2;\ y_1+y_2)\] \[\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2;\ y_1-y_2)\] \[k\vec{a}=(kx_1;\ ky_1)\]
Именно поэтому координаты так любят на контрольных: вместо построений — три строчки арифметики. Выражение вроде \(2\vec{a}-3\vec{b}\) вычисляют в обычном порядке: сначала умножение на числа, потом вычитание.
Условие коллинеарности в координатах
Из признака \(\vec{b}=k\vec{a}\) в координатах имеем \(x_2=kx_1\) и \(y_2=ky_1\). Исключив \(k\), получаем удобный критерий без деления:
Условие коллинеарности. Векторы \(\vec{a}=(x_1;\ y_1)\) и \(\vec{b}=(x_2;\ y_2)\) коллинеарны тогда и только тогда, когда \[x_1y_2-x_2y_1=0\]
Форму с пропорцией \(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{y_2}{y_1}\) тоже используют, но она ломается, когда какая-то из координат равна нулю. Записывайте условие через произведения — оно работает всегда. Знак \(k\) показывает тип коллинеарности: при \(k > 0\) векторы сонаправлены, при \(k < 0\) — противоположно направлены.
Пример 1. Координаты вектора и его модуль
Даны точки \(A(-2;\ 3)\) и \(B(4;\ -5)\). Найти координаты и модули векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BA}\).
Из координат конца вычитаем координаты начала:
\[\vec{AB}=(4-(-2);\ -5-3)=(6;\ -8)\]
\[|\vec{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]
Теперь меняем роли точек:
\[\vec{BA}=(-2-4;\ 3-(-5))=(-6;\ 8)\]
\[|\vec{BA}|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}=10\]
Координаты противоположны по знакам, модули одинаковы — так и должно быть для противоположных векторов.
Ответ: \(\vec{AB}=(6;\ -8)\), \(|\vec{AB}|=10\); \(\vec{BA}=(-6;\ 8)\), \(|\vec{BA}|=10\).
Пример 2. Действия с векторами в координатах
Даны \(\vec{a}=(6;\ 1)\) и \(\vec{b}=(2;\ -2)\). Найти \(\vec{a}+\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\), \(|\vec{a}-\vec{b}|\) и \(|2\vec{a}-3\vec{b}|\).
Складываем и вычитаем покоординатно:
\[\vec{a}+\vec{b}=(6+2;\ 1+(-2))=(8;\ -1)\]
\[\vec{a}-\vec{b}=(6-2;\ 1-(-2))=(4;\ 3)\]
\[|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\]
Для последнего выражения сначала умножаем на числа: \(2\vec{a}=(12;\ 2)\), \(3\vec{b}=(6;\ -6)\). Тогда
\[2\vec{a}-3\vec{b}=(12-6;\ 2-(-6))=(6;\ 8)\]
\[|2\vec{a}-3\vec{b}|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]
Ответ: \((8;\ -1)\); \((4;\ 3)\); \(5\); \(10\).
Пример 3. Проверка коллинеарности и неизвестная координата
а) Коллинеарны ли \(\vec{p}=(4;\ -6)\) и \(\vec{q}=(-6;\ 9)\)?
\[x_1y_2-x_2y_1=4\cdot 9-(-6)\cdot(-6)=36-36=0\]
Условие выполняется — векторы коллинеарны. Найдём коэффициент: \(-6=k\cdot 4\), откуда \(k=-1{,}5\); проверяем вторую координату: \(-1{,}5\cdot(-6)=9\) — совпадает. Поскольку \(k < 0\), векторы противоположно направлены.
б) Коллинеарны ли \(\vec{r}=(3;\ 5)\) и \(\vec{s}=(6;\ 9)\)?
\[3\cdot 9-6\cdot 5=27-30=-3\neq 0\]
Не коллинеарны. Ловушка: первые координаты относятся как \(1:2\), а вторые — нет, так что «на глаз» ошибиться легко.
в) При каком \(m\) векторы \(\vec{u}=(3;\ m)\) и \(\vec{v}=(-6;\ 10)\) коллинеарны?
\[3\cdot 10-(-6)\cdot m=0 \Rightarrow 30+6m=0 \Rightarrow m=-5\]
Проверка: \(\vec{u}=(3;\ -5)\), и действительно \(-2\vec{u}=(-6;\ 10)=\vec{v}\).
Ответ: а) коллинеарны, противоположно направлены; б) не коллинеарны; в) \(m=-5\).
Пример 4. Четвёртая вершина параллелограмма
Даны три вершины параллелограмма \(ABCD\): \(A(1;\ 2)\), \(B(4;\ 6)\), \(C(16;\ 11)\). Найти вершину \(D\) и периметр.
В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны и равны, а порядок обхода вершин даёт равенство векторов \(\vec{AB}=\vec{DC}\). Сначала
\[\vec{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;\ 4)\]
Пусть \(D(x;\ y)\). Тогда \(\vec{DC}=(16-x;\ 11-y)\), и из равенства соответствующих координат:
\[16-x=3,\quad 11-y=4 \Rightarrow x=13,\ y=7\]
Итак, \(D(13;\ 7)\). Проверка через вторую пару сторон: \(\vec{AD}=(12;\ 5)\) и \(\vec{BC}=(12;\ 5)\) — равны, параллелограмм настоящий.
Длины сторон: \(|\vec{AB}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), \(|\vec{BC}|=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\). Периметр:
\[P=2(5+13)=36\]
Ответ: \(D(13;\ 7)\), \(P=36\).
Пример 5. Вектор заданной длины и направления
Дан \(\vec{a}=(3;\ -4)\). Найти вектор \(\vec{m}\), сонаправленный с \(\vec{a}\), длиной 15, и вектор \(\vec{n}\), противоположно направленный к \(\vec{a}\), длиной 10.
Сначала модуль исходного вектора: \(|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).
Искомый вектор имеет вид \(k\vec{a}\), причём \(|k\vec{a}|=|k|\cdot 5\). Для \(\vec{m}\): \(|k|\cdot 5=15\), откуда \(|k|=3\); сонаправленность означает \(k > 0\), поэтому \(k=3\):
\[\vec{m}=3\vec{a}=(9;\ -12),\qquad |\vec{m}|=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\]
Для \(\vec{n}\): \(|k|\cdot 5=10\), значит \(|k|=2\); противоположное направление даёт \(k=-2\):
\[\vec{n}=-2\vec{a}=(-6;\ 8),\qquad |\vec{n}|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]
Ответ: \(\vec{m}=(9;\ -12)\), \(\vec{n}=(-6;\ 8)\).
Пример 6. Равные векторы в разных местах плоскости
Даны \(A(-3;\ 1)\), \(B(0;\ 5)\), \(C(2;\ -2)\), \(D(5;\ 2)\). Доказать, что \(\vec{AB}=\vec{CD}\).
Вычисляем координаты обоих векторов:
\[\vec{AB}=(0-(-3);\ 5-1)=(3;\ 4)\]
\[\vec{CD}=(5-2;\ 2-(-2))=(3;\ 4)\]
Соответствующие координаты совпадают, значит векторы равны. Их модули, разумеется, тоже одинаковы: \(|\vec{AB}|=|\vec{CD}|=\sqrt{9+16}=5\).
Самое важное здесь — отрезки \(AB\) и \(CD\) не имеют ни одной общей точки и лежат в разных частях плоскости, но векторы равны, потому что совпадают длина и направление: \(CD\) — это просто параллельно перенесённый \(AB\).
Ответ: \(\vec{AB}=\vec{CD}=(3;\ 4)\), оба модуля равны 5.
Типичные ошибки
- Путают порядок точек. Пишут \(\vec{AB}=(x_1-x_2;\ y_1-y_2)\), то есть вычитают конец из начала. Правило одно: конец минус начало.
- Считают, что векторы в разных местах плоскости не могут быть равными. Могут. Вектор задаётся только длиной и направлением; положение в определение не входит.
- Отождествляют коллинеарность с равенством. Векторы \((1;\ 2)\) и \((-5;\ -10)\) коллинеарны, но ни равны, ни даже сонаправлены.
- Путают направление разности. Пишут \(\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{AB}\). На самом деле \(\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA}\) — вектор идёт от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
- Забывают модуль числа. Пишут \(|k\vec{a}|=k|\vec{a}|\) и для \(k=-3\) получают отрицательную длину. Правильно \(|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|\).
- Складывают модули вместо векторов. Из \(|\vec{a}|=3\) и \(|\vec{b}|=4\) не следует \(|\vec{a}+\vec{b}|=7\): это так только для сонаправленных векторов.
- Делят на нулевую координату. В пропорции \(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{y_2}{y_1}\) знаменатель может быть равен нулю. Форма \(x_1y_2-x_2y_1=0\) от этого застрахована.
Вывод
Векторы держатся на двух вещах. Первая — понимание, что вектор есть длина плюс направление, а не «стрелка в конкретном месте». Вторая — координатный аппарат: \(\vec{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1)\), \(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\), покоординатные действия и условие \(x_1y_2-x_2y_1=0\). Освоив их, вы без труда пойдёте дальше — к скалярному произведению и углам между векторами.
Если ребёнок путает \(\vec{AB}\) и \(\vec{BA}\) или не видит разницы между коллинеарностью и равенством, пробел узкий и закрывается за несколько занятий. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: преподаватель проверит базу по координатам и закроет именно то место, где ломается понимание.
Частые вопросы
Могут ли равные векторы лежать в разных местах плоскости?
Да. В определении равенства векторов речь идёт только о длине и направлении — положение там не упоминается. Поэтому вектор \(\vec{AB}\) с точками \(A(-3;\ 1)\), \(B(0;\ 5)\) и вектор \(\vec{CD}\) с точками \(C(2;\ -2)\), \(D(5;\ 2)\) равны: оба имеют координаты \((3;\ 4)\), хотя отрезки не имеют общих точек.
Чем коллинеарные векторы отличаются от равных?
Коллинеарные лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но их длины и направления могут отличаться. Равные — это частный случай коллинеарных: одинаковая длина плюс одинаковое направление. Например, \((1;\ 2)\) и \((-5;\ -10)\) коллинеарны, но не равны.
Когда лучше использовать правило треугольника, а когда параллелограмма?
Правило треугольника универсально: оно работает всегда, в том числе для коллинеарных векторов и для суммы нескольких векторов цепочкой. Правило параллелограмма удобно, когда оба вектора уже отложены от одной точки, но для коллинеарных векторов оно неприменимо — параллелограмм не строится.
Как проверить коллинеарность, если одна из координат равна нулю?
Используйте условие \(x_1y_2-x_2y_1=0\) — оно не содержит деления и работает при любых координатах. Например, для \((0;\ 3)\) и \((0;\ -7)\) получаем \(0\cdot(-7)-0\cdot 3=0\), то есть векторы коллинеарны, хотя пропорцию здесь записать невозможно.
