Степень с целым отрицательным показателем
В 7 классе показатель степени был натуральным числом и означал простую вещь: сколько раз повторяется множитель. В 8 классе показатель вдруг становится нулём или отрицательным — и большинство учеников тут же переходит в режим «запомню правило». На самом деле никто ничего не выдумывал: и \(a^0\), и \(a^{-n}\) появились как единственно возможное продолжение уже известных свойств. В этой статье разберём, откуда они берутся, как с ними считать и зачем это нужно в физике и химии. Репетиторы Tutor-Math начинают эту тему именно с вопроса «почему», потому что зазубренное правило рассыпается на первой же контрольной.
Что уже известно: степень с натуральным показателем
Напомним базу. Для натурального \(n\) запись \(a^n\) означает произведение \(n\) одинаковых множителей:
\[ a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{множителей}} \]И выполняются пять свойств:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a^m)^n=a^{mn} \] \[ (ab)^n=a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]Обратите внимание на второе свойство: в 7 классе оно работало только при условии \(m>n\). Иначе показатель получался нулевым или отрицательным, а такие степени ещё не были определены. Именно эта «дыра» и закрывается в 8 классе. Если базовые свойства подзабылись, сначала стоит повторить степень с натуральным показателем — дальше всё строится на ней.
Нулевой показатель: почему \(a^0=1\)
Возьмём частное двух одинаковых степеней, например \(\frac{5^3}{5^3}\). Посчитаем его двумя способами.
- Во-первых, любое ненулевое число, делённое само на себя, даёт единицу: \(\frac{125}{125}=1\).
- Во-вторых, по свойству частного степеней: \(\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0\).
Оба вычисления верны, значит их результаты обязаны совпадать: \(5^0=1\). Никакого произвола здесь нет — это единственное значение, при котором свойство \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) продолжает работать и при \(m=n\).
Определение. Для любого числа \(a\ne 0\) считают, что \(a^0=1\).
Примеры: \(7^0=1\), \((-3)^0=1\), \(\left(\frac{2}{9}\right)^0=1\), \((1{,}75)^0=1\).
А почему нельзя \(a=0\)? Повторим рассуждение для нуля: \(0^0\) должен был бы равняться \(\frac{0^3}{0^3}=\frac{0}{0}\), а деление на ноль не имеет смысла. Есть и вторая причина. Для любого \(a\ne 0\) верно \(a^0=1\), то есть «хочется» положить \(0^0=1\). Но для любого натурального \(n\) верно \(0^n=0\), то есть «хочется» положить \(0^0=0\). Два естественных рассуждения дают разные ответы — поэтому выражение \(0^0\) считают неопределённым.
Определение степени с отрицательным показателем
Продолжим ту же логику дальше. Рассмотрим \(\frac{5^3}{5^5}\). По свойству частного это \(5^{3-5}=5^{-2}\). А прямым сокращением:
\[ \frac{5^3}{5^5}=\frac{5\cdot 5\cdot 5}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}=\frac{1}{5\cdot 5}=\frac{1}{5^2} \]Значит, чтобы свойство сохранилось, приходится принять \(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\). Отсюда общее определение.
Определение. Если \(a\ne 0\) и \(n\) — натуральное число, то \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \] То есть степень с отрицательным показателем — это единица, делённая на степень с противоположным (положительным) показателем.
Условие \(a\ne 0\) обязательно и не является формальностью: при \(a=0\) в знаменателе оказывается ноль. Выражения \(0^{-1}\), \(0^{-5}\) не имеют смысла — так же, как \(\frac{1}{0}\).
Несколько значений для ощущения:
\[ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \qquad 10^{-4}=\frac{1}{10\,000}=0{,}0001 \qquad (-5)^{-2}=\frac{1}{(-5)^2}=\frac{1}{25} \]Знак результата определяется только основанием и чётностью показателя, как и раньше: \((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}\). Отрицательный показатель сам по себе знак не меняет — он «переворачивает» число. Если тема знаков и модуля ещё не доведена до автоматизма, полезно повторить положительные и отрицательные числа и модуль.
Свойства: всё старое работает дальше
Главное преимущество такого определения в том, что никакого нового набора правил учить не нужно. Все пять свойств степени остаются в силе, но теперь уже для любых целых показателей \(m\) и \(n\), а не только натуральных (при условии \(a\ne 0\), \(b\ne 0\)):
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a^m)^n=a^{mn} \] \[ (ab)^n=a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]Разница только в том, что показатели теперь складываются, вычитаются и умножаются по правилам действий с целыми числами — со знаками. Например:
\[ 3^{-2}\cdot 3^{5}=3^{-2+5}=3^{3}=27 \qquad \frac{7^{-3}}{7^{-8}}=7^{-3-(-8)}=7^{5} \] \[ (2^{-3})^{-2}=2^{(-3)\cdot(-2)}=2^{6}=64 \]Ещё одно удобное следствие определения — правило переброски множителя через дробную черту:
\[ \frac{1}{a^{-n}}=a^{n} \qquad \frac{a^{-m}}{b^{-n}}=\frac{b^{n}}{a^{m}} \]Простыми словами: множитель с отрицательным показателем можно перенести из числителя в знаменатель (или наоборот), изменив знак показателя на противоположный.
Степень дроби с отрицательным показателем
Отдельный случай, который встречается в задачах чаще всего. Применим определение к дроби \(\frac{a}{b}\):
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]Правило. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести её в соответствующую положительную степень: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}, \quad a\ne 0,\ b\ne 0 \]
Например, \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{2}\right)^{3}=\frac{125}{8}=15{,}625\), а \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}\). Десятичную дробь перед этим удобно перевести в обыкновенную: \(0{,}2=\frac{1}{5}\), поэтому \(0{,}2^{-2}=5^2=25\). Здесь пригодятся навыки из статей об обыкновенных дробях и десятичных дробях.
Стандартный вид числа
Вот где отрицательные показатели перестают быть школьной абстракцией. В физике и химии постоянно появляются числа, которые неудобно и опасно писать десятичной дробью — легко потерять ноль.
Стандартным видом числа называют запись \(a\cdot 10^{k}\), где \(1\le a<10\), а \(k\) — целое число. Число \(k\) называют порядком числа.
Правило перевода простое: запятую переносят так, чтобы перед ней осталась ровно одна ненулевая цифра, и считают, на сколько разрядов её сдвинули. Сдвиг влево даёт положительный порядок, сдвиг вправо — отрицательный:
\[ 384\,000\,000=3{,}84\cdot 10^{8} \qquad 0{,}00047=4{,}7\cdot 10^{-4} \qquad 0{,}000000025=2{,}5\cdot 10^{-8} \]Реальные величины:
- Масса электрона — примерно \(9{,}109\cdot 10^{-31}\) кг. В обычной записи это ноль, запятая и тридцать нулей перед цифрами \(9109\). Записать такое без ошибки практически невозможно.
- Заряд электрона — \(1{,}602\cdot 10^{-19}\) Кл.
- Диаметр атома — порядка \(10^{-10}\) м, то есть \(0{,}1\) нанометра. Именно поэтому \(10^{-10}\) м имеет собственное название — ангстрем.
- Длина волны зелёного света — около \(5\cdot 10^{-7}\) м.
Действия со стандартным видом выполняют отдельно для чисел и отдельно для степеней десятки. Например:
\[ (3\cdot 10^{-5})\cdot(4\cdot 10^{8})=(3\cdot 4)\cdot 10^{-5+8}=12\cdot 10^{3}=1{,}2\cdot 10^{4} \]Последний шаг важен: \(12\cdot 10^{3}\) — ещё не стандартный вид, потому что \(12>10\). Нужно «поправить» первый множитель и увеличить порядок на единицу.
Примеры с решением
Пример 1. Вычислить \(2^{-3}+3^{-1}\).
- По определению: \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\), \(3^{-1}=\frac{1}{3}\).
- Общий знаменатель \(24\): \(\frac{1}{8}=\frac{3}{24}\), \(\frac{1}{3}=\frac{8}{24}\).
- Складываем: \(\frac{3}{24}+\frac{8}{24}=\frac{11}{24}\).
Ответ: \(2^{-3}+3^{-1}=\frac{11}{24}\).
Пример 2. Вычислить \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}-\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}\).
- Переворачиваем первую дробь: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}\).
- Переворачиваем вторую: \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}=\frac{9}{1}=9\).
- Вычитаем: \(\frac{9}{4}-9=\frac{9}{4}-\frac{36}{4}=-\frac{27}{4}=-6{,}75\).
Ответ: \(-\frac{27}{4}=-6{,}75\).
Пример 3. Вычислить \(\dfrac{(3^{-2})^{2}\cdot 3^{5}}{3^{-3}}\).
- Внутренняя степень: \((3^{-2})^{2}=3^{(-2)\cdot 2}=3^{-4}\).
- Умножение в числителе: \(3^{-4}\cdot 3^{5}=3^{-4+5}=3^{1}\).
- Деление: \(\frac{3^{1}}{3^{-3}}=3^{1-(-3)}=3^{4}=81\).
Ответ: \(81\).
Пример 4. Упростить выражение \(\dfrac{a^{-3}b^{5}}{a^{-7}b^{2}}\) и записать без отрицательных показателей (\(a\ne 0\), \(b\ne 0\)).
- Отдельно для \(a\): \(a^{-3-(-7)}=a^{-3+7}=a^{4}\).
- Отдельно для \(b\): \(b^{5-2}=b^{3}\).
- Перемножаем: \(a^{4}b^{3}\).
Ответ: \(a^{4}b^{3}\).
Пример 5. Вычислить \(\dfrac{6\cdot 10^{-4}}{3\cdot 10^{-9}}\) и записать в стандартном виде.
- Делим числовые множители: \(6:3=2\).
- Делим степени десятки: \(\frac{10^{-4}}{10^{-9}}=10^{-4-(-9)}=10^{5}\).
- Получили \(2\cdot 10^{5}\); условие \(1\le 2<10\) выполнено, значит это уже стандартный вид (обычной записью — \(200\,000\)).
Ответ: \(2\cdot 10^{5}=200\,000\).
Типичные ошибки
- Путают \(a^{-n}\) и \(-a^{n}\). Это разные вещи: \(2^{-3}=\frac{1}{8}\), а \(-2^{3}=-8\). Отрицательный показатель означает переворачивание (переход к обратному числу), а не смену знака. Проверка на одном примере спасает от половины ошибок в теме.
- Забывают условие \(a\ne 0\). Записи \(0^{-2}\) и \(0^{0}\) не имеют смысла. В заданиях с буквами (например \(x^{-3}\)) обязательно указывают область допустимых значений: \(x\ne 0\).
- Теряют знак показателя при делении. В \(\frac{7^{-3}}{7^{-8}}\) вычитание даёт \(-3-(-8)=+5\), а не \(-11\) и не \(-5\). Скобки вокруг отрицательного показателя писать обязательно.
- Переворачивают дробь, но не возводят в степень. \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}\) — это \(\left(\frac{5}{2}\right)^{3}=\frac{125}{8}\), а не \(\frac{5}{2}\).
- Считают, что \(a^{-n}\) всегда отрицательно. Нет: \(2^{-3}=\frac{1}{8}>0\). Знак зависит от основания, а не от показателя.
- Останавливаются на \(12\cdot 10^{3}\). Это верное число, но не стандартный вид — первый множитель должен быть от \(1\) до \(10\).
- Считают порядок «по количеству нулей». В \(0{,}00047\) нулей после запятой три, а порядок \(-4\): считать нужно сдвиг запятой до первой значащей цифры.
Вывод
Вся тема держится на одной идее: определения \(a^0=1\) и \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) выбраны не случайно, а так, чтобы уже известные свойства степени работали дальше без исключений. Поэтому нового учить почти нечего — нужно лишь уверенно действовать с целыми числами в показателях и не забывать про \(a\ne 0\). Практическая награда приходит сразу: стандартный вид числа делает читаемыми величины от массы электрона до расстояний между звёздами, а дальше тот же аппарат ведёт к логарифмам в старшей школе.
Если примеры на свойства степени до сих пор требуют подглядывания в тетрадь, дело обычно не в теме 8 класса, а в пробеле ниже — действия с дробями или со знаками. Репетиторы Tutor-Math сначала находят этот пробел и только потом строят тему. Запишитесь на пробное занятие: оно начинается с диагностики реальных ошибок ребёнка, а не с пересказа учебника.
Вопросы и ответы
Почему \(a^0=1\), а не \(0\)?
Потому что только такое значение согласуется со свойством частного степеней. Частное \(\frac{5^3}{5^3}\) равно \(1\) как число, делённое само на себя, и одновременно равно \(5^{3-3}=5^0\). Значит \(5^0=1\). Это не отдельное правило, а следствие уже известных свойств.
Почему выражение \(0^0\) не имеет значения?
Потому что два естественных рассуждения дают разные ответы. С одной стороны, \(a^0=1\) для всех \(a\ne 0\), и хочется положить \(0^0=1\). С другой — \(0^n=0\) для всех натуральных \(n\), и хочется положить \(0^0=0\). Противоречие не разрешается, поэтому в школьной математике \(0^0\) считают неопределённым.
Является ли \(2^{-3}\) отрицательным числом?
Нет. \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\) — положительное число, меньшее единицы. Отрицательный показатель означает переход к обратному числу, а не смену знака. Отрицательным результат будет лишь тогда, когда отрицательно само основание при нечётном показателе: \((-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\).
Как быстро записать число в стандартном виде?
Перенести запятую так, чтобы слева от неё осталась одна ненулевая цифра, и посчитать количество разрядов сдвига. Сдвиг влево даёт положительный порядок, вправо — отрицательный. Например, \(0{,}00047=4{,}7\cdot 10^{-4}\), а \(384\,000\,000=3{,}84\cdot 10^{8}\).
