Таблица производных и правила дифференцирования
Производная — инструмент, без которого не обойтись ни в задачах на касательную, ни в исследовании функции, ни в физике. Но чтобы им пользоваться, нужны две вещи: таблица производных элементарных функций и пять правил дифференцирования. Всё остальное — комбинации этих двух наборов. В этой статье мы соберём таблицу целиком, разберём каждое правило и особенно подробно — цепное, потому что именно оно каждый год съедает больше всего баллов. Ученики Tutor-Math доводят эту технику до автоматизма, и вы тоже сможете.
Если само понятие производной пока выглядит туманно, сначала прочитайте статью об определении производной и её геометрическом смысле — здесь мы считаем, что предел разностного отношения уже знаком.
Что такое дифференцирование
Производной функции \(f(x)\) в точке \(x\) называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}. \]Операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Считать этот предел каждый раз — пустая трата времени. Его один раз вычислили для всех базовых функций, а результат записали в таблицу. Дальше мы пользуемся таблицей плюс правилами.
Таблица производных элементарных функций
Это тот минимум, который должен быть в памяти. Везде \(C\) — постоянная, \(n\) — произвольный действительный показатель, \(a > 0\), \(a \neq 1\).
Постоянная и степенная функция:
\[ \begin{array}{ll} (C)' = 0, & (x)' = 1, \\[6pt] (x^n)' = n x^{n-1}, & \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}, \\[10pt] \left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. & \end{array} \]Показательная и логарифмическая:
\[ \begin{array}{ll} (e^x)' = e^x, & (a^x)' = a^x \ln a, \\[10pt] (\ln x)' = \dfrac{1}{x}, & (\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}. \end{array} \]Тригонометрические:
\[ \begin{array}{ll} (\sin x)' = \cos x, & (\cos x)' = -\sin x, \\[10pt] (\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}, & (\operatorname{ctg} x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}. \end{array} \]Обратные тригонометрические:
\[ \begin{array}{ll} (\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, & (\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \\[10pt] (\operatorname{arctg} x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}, & (\operatorname{arcctg} x)' = -\dfrac{1}{1 + x^2}. \end{array} \]Обратите внимание на закономерность: в каждой паре функция с приставкой ко- (косинус, котангенс, арккосинус, арккотангенс) даёт минус. Это удобная страховка от ошибки в знаке. Подробнее о самих функциях — в статье о тригонометрических функциях, а про \(\ln x\) и \(\log_a x\) — в материале о логарифмической функции.
Правила дифференцирования
Пусть \(u = u(x)\) и \(v = v(x)\) — дифференцируемые функции, \(k\) — постоянная. Тогда:
1. Производная суммы: \((u \pm v)' = u' \pm v'\).
2. Постоянный множитель: \((k u)' = k \cdot u'\).
3. Производная произведения: \((u v)' = u' v + u v'\).
4. Производная частного: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}\), где \(v \neq 0\).
5. Сложная функция (цепное правило): \(\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
Первые два правила интуитивны: производная линейна. А вот третье и четвёртое ломают интуицию — производная произведения не равна произведению производных. В правиле частного критичен порядок слагаемых в числителе: сначала \(u'v\), затем минус \(uv'\). Переставите — получите ответ с противоположным знаком.
Цепное правило: алгоритм «внешняя — внутренняя»
Это главная трудность темы, поэтому разберём медленно. Сложная функция — это функция, «вложенная» в другую функцию. Например, в выражении \(\sin(3x^2 + 5)\) есть два действия: сначала считаем \(3x^2 + 5\), потом от результата берём синус.
Внутренняя функция — та, что выполняется первой (то, что «внутри» скобок или под знаком корня либо логарифма). Внешняя — та, что применяется последней к уже готовому результату.
Производная сложной функции: производная внешней, вычисленная от внутренней, умноженная на производную внутренней.
Рабочий алгоритм из четырёх шагов:
- Шаг 1. Спросите себя: «Какое действие я выполню последним, если подставлю конкретное число вместо \(x\)?» Это и есть внешняя функция.
- Шаг 2. Обозначьте внутреннюю функцию буквой \(t\). Теперь выражение имеет вид простой табличной функции от \(t\).
- Шаг 3. Продифференцируйте внешнюю функцию по таблице, не трогая содержимое \(t\): внутри остаётся то же самое выражение, что и было.
- Шаг 4. Умножьте результат на производную внутренней функции \(t'\).
Для \(y = \sin(3x^2 + 5)\): последним действием является синус, значит внешняя — \(\sin t\), внутренняя — \(t = 3x^2 + 5\). Производная внешней: \(\cos t = \cos(3x^2+5)\). Производная внутренней: \(t' = 6x\). Вместе \(y' = 6x\cos(3x^2 + 5)\).
Если вложений три и больше — правило применяется столько раз, сколько слоёв, и все производные перемножаются. Разворачивайте строго снаружи внутрь, слой за слоем.
Пример 1. Многочлен: сумма, постоянный множитель, степень
Найти производную \(y = 4x^5 - 3x^4 + 2x - 9\).
Дифференцируем каждое слагаемое отдельно (правило суммы), постоянные множители выносим:
\[ y' = 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 4x^3 + 2 \cdot 1 - 0 = 20x^4 - 12x^3 + 2. \]Производная свободного члена \(-9\) равна нулю — это постоянная.
Ответ: \(y' = 20x^4 - 12x^3 + 2\).
Пример 2. Производная произведения
Найти производную \(y = x^3 \cos x\).
Здесь \(u = x^3\), \(v = \cos x\), значит \(u' = 3x^2\), \(v' = -\sin x\). По правилу произведения:
\[ y' = 3x^2 \cdot \cos x + x^3 \cdot (-\sin x) = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x. \]Выносим общий множитель \(x^2\).
Ответ: \(y' = x^2(3\cos x - x\sin x)\).
Пример 3. Производная частного
Найти производную \(y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}\).
Берём \(u = 2x - 1\), \(v = x^2 + 3\), тогда \(u' = 2\), \(v' = 2x\):
\[ y' = \frac{2(x^2 + 3) - (2x - 1)\cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}. \]Раскрываем числитель: \(2x^2 + 6 - 4x^2 + 2x = -2x^2 + 2x + 6\). Значит
\[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2(x^2 - x - 3)}{(x^2+3)^2}. \]Знаменатель \(x^2 + 3\) никогда не равен нулю, поэтому производная существует на всей числовой прямой.
Ответ: \(y' = \dfrac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}\).
Пример 4. Цепное правило в чистом виде
Найти производную \(y = (3x^2 + 4)^5\).
Последним действием является возведение в пятую степень, значит внешняя функция — \(t^5\), внутренняя — \(t = 3x^2 + 4\).
- Производная внешней: \((t^5)' = 5t^4 = 5(3x^2+4)^4\) — содержимое скобок не меняем.
- Производная внутренней: \(t' = 6x\).
Ответ: \(y' = 30x(3x^2 + 4)^4\).
Пример 5. Двойное вложение
Найти производную \(y = \ln(\cos 4x)\).
Здесь три слоя: \(4x\), затем косинус, затем логарифм. Разворачиваем снаружи внутрь:
- Внешняя — логарифм: \((\ln t)' = \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{\cos 4x}\).
- Следующий слой — косинус: \((\cos 4x)' = -\sin 4x \cdot (4x)' = -4\sin 4x\).
Ответ: \(y' = -4\operatorname{tg} 4x\).
Пример 6. Комбинация нескольких правил
Найти производную \(y = \dfrac{\ln 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) при \(x > 0\).
Здесь работают сразу три правила: частного и дважды цепное. Обозначим \(u = \ln 2x\), \(v = \sqrt{x^2+1}\).
Производная числителя: \(u' = \dfrac{1}{2x}\cdot 2 = \dfrac{1}{x}\).
Производная знаменателя: \(v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).
\[ y' = \frac{\dfrac{1}{x}\sqrt{x^2+1} - \ln 2x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2 + 1}. \]Приводим числитель к общему знаменателю \(x\sqrt{x^2+1}\):
\[ \frac{1}{x}\sqrt{x^2+1} - \frac{x\ln 2x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2 + 1 - x^2 \ln 2x}{x\sqrt{x^2+1}}. \]Делим на \(x^2+1\), складывая степени корня в знаменателе:
\[ y' = \frac{x^2 + 1 - x^2\ln 2x}{x\,(x^2+1)^{3/2}}. \]Ответ: \(y' = \dfrac{x^2 + 1 - x^2\ln 2x}{x\,(x^2+1)^{3/2}}\).
Типичные ошибки
- Производная произведения как произведение производных. Запись \((uv)' = u'v'\) — самая частая ошибка темы. Проверьте на \(y = x \cdot x = x^2\): настоящая производная \(2x\), а «произведение производных» дало бы \(1\).
- Забытый множитель из внутренней функции. \((\sin 5x)' = 5\cos 5x\), а не \(\cos 5x\). Если внутри не просто \(x\), множитель обязателен.
- Изменение содержимого скобок. В \(\big((3x^2+4)^5\big)'\) степень понижается, но само выражение \(3x^2+4\) остаётся нетронутым. Запись \(5(6x)^4\) — грубая ошибка.
- Переставленные слагаемые в правиле частного. Правильно \(u'v - uv'\), а не наоборот. Мнемоника: «числитель штрихуем первым».
- Путаница \((x^n)'\) и \((a^x)'\). У степенной функции переменная в основании: \(n x^{n-1}\). У показательной переменная в показателе: \(a^x \ln a\). Сравните \((x^3)' = 3x^2\) и \((3^x)' = 3^x\ln 3\).
- Производная постоянной. Ученики часто «дифференцируют» \(-9\) как \(-9\) или пишут \(1\). Производная любого числа равна нулю.
- Потерянный минус у косинуса и котангенса. Механическая, но очень дорогая ошибка в задачах на экстремумы.
Вывод
Таблица производных плюс пять правил закрывают практически все школьные задачи на дифференцирование. Ключ к уверенности — не зубрёжка, а распознавание структуры выражения: сумма это, произведение, частное или вложение. Как только структура определена, остаётся чистая техника. Дальше эти навыки понадобятся в теме применение производной к исследованию функции.
Если цепное правило до сих пор ощущается как лотерея — приходите на пробное занятие. За одну встречу мы разберём алгоритм «внешняя — внутренняя» на ваших задачах и построим план подготовки.
Сколько формул из таблицы производных нужно знать наизусть?
Все приведённые выше — примерно шестнадцать. На экзамене таблицы не выдают. На практике чаще всего встречаются степенная, показательная, логарифмическая, синус и косинус; обратные тригонометрические нужны реже, но попадаются в заданиях повышенной сложности.
Как понять, что функция сложная?
Подставьте вместо \(x\) конкретное число и проследите порядок действий на калькуляторе. Если действий больше одного и они выполняются последовательно, а не параллельно — функция сложная. Действие, выполненное последним, и есть внешняя функция.
Можно ли не пользоваться правилом частного?
Да. Любое частное \(\dfrac{u}{v}\) можно записать как произведение \(u \cdot v^{-1}\) и применить правило произведения вместе с цепным. Результат будет тот же, но обычно это требует больше преобразований. Правило частного быстрее, поэтому его стоит выучить.
Что делать, если в выражении сразу несколько правил?
Двигайтесь сверху вниз по структуре. Сначала определите главную операцию всего выражения — именно её правило применяйте первым. Производные отдельных частей считайте как подзадачи, при необходимости выписывая их отдельно. Так даже громоздкое выражение распадается на несколько простых шагов.
