Логарифмическая функция и её график

Логарифмическая функция и её график

Логарифмическая функция появляется в 11 классе после того, как ученик уже умеет считать логарифмы отдельных чисел. Разница принципиальная: одно дело — найти \(\log_2 8\), совсем другое — понять, как ведёт себя \(\log_2 x\) сразу для всех допустимых \(x\). Именно здесь ученики чаще всего буксуют: формулы знают, а график нарисовать не могут. На занятиях в Tutor-Math мы строим эту тему от показательной функции — потому что логарифмическая является её зеркальным отражением, и если увидеть это один раз, заучивать уже почти нечего.

Определение логарифмической функции

Определение. Логарифмической называют функцию вида \(y = \log_a x\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\).

\[ y = \log_a x, \qquad a > 0,\ a \ne 1 \]

Число \(a\) называют основанием функции. Ограничения на него — не прихоть учебника, а прямое следствие того, что такое логарифм числа. Запись \(\log_a x\) означает показатель степени, в который нужно возвести \(a\), чтобы получить \(x\). Поэтому:

• при \(a = 1\) степень \(1^t\) всегда равна \(1\), и равенство \(1^t = x\) не имеет решения ни при каком \(x \ne 1\);
• при \(a < 0\) степень с произвольным действительным показателем просто не определена (попробуйте вычислить \((-4)^{0{,}5}\));
• при \(a = 0\) нуль в любой степени даёт нуль, и никакое другое значение получить невозможно.

Итак, остаются ровно два рабочих случая: \(a > 1\) и \(0 < a < 1\). Они дают разные по поведению графики, и именно на этом различии держится половина задач темы.

Обратная к показательной — откуда берётся график

Сравним две записи. Равенство \(y = a^x\) задаёт показательную функцию. Теперь решим его относительно \(x\): по определению логарифма из \(a^x = y\) следует \(x = \log_a y\). Мы получили ту же зависимость, только прочитанную в обратном направлении. Если после этого переобозначить переменные привычным образом (аргумент — \(x\), значение — \(y\)), получим \(y = \log_a x\).

Ключевое утверждение. Функции \(y = a^x\) и \(y = \log_a x\) взаимно обратны. Их графики симметричны относительно прямой \(y = x\).

Проверить симметрию легко на точках. Показательная функция \(y = 2^x\) проходит через \((3;\ 8)\), так как \(2^3 = 8\). Логарифмическая \(y = \log_2 x\) проходит через \((8;\ 3)\), так как \(\log_2 8 = 3\). Координаты просто поменялись местами — а это и есть отражение относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Практическая польза огромна: не нужно запоминать вид логарифмического графика отдельно. Достаточно представить знакомый график \(y = a^x\) и мысленно перекинуть его через прямую \(y = x\).

Область определения: почему только \(x > 0\)

Область определения. \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Область значений \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\), то есть вся числовая прямая.

Объяснение снова следует из обратности. Показательная функция \(y = a^x\) при любом \(x\) даёт строго положительное значение: \(2^{10}\) велико, \(2^{-10}\) мало, но нулём или отрицательным не становится никогда. Поскольку у обратной функции области определения и значений меняются ролями, логарифм может принимать любые значения, но принимать может только положительный аргумент.

Проще говоря: уравнение \(2^t = -8\) решений не имеет, поэтому запись \(\log_2(-8)\) лишена смысла. Точно так же не существует \(\log_2 0\). Это самый распространённый источник ошибок во всей теме — и причина, почему в каждом примере сначала ищут ОДЗ.

График при \(a > 1\) и при \(0 < a < 1\)

Оба графика называют логарифмической кривой. Общие черты такие:

• кривая полностью лежит правее оси \(Oy\) — других точек и быть не может из-за ОДЗ;
• ось \(Oy\) (прямая \(x = 0\)) является вертикальной асимптотой: приближаясь к нулю, график бесконечно тянется вверх или вниз, но оси не касается;
• график проходит через точку \((1;\ 0)\) при любом основании, так как \(a^0 = 1\), а значит \(\log_a 1 = 0\);
• функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, не является ни чётной, ни нечётной.

А теперь различия — то, ради чего и разделяют два случая:

• \(a > 1\) (например \(y = \log_2 x\)) — функция возрастает на всей области определения. Слева внизу она выныривает из-под оси \(Ox\), пересекает её в \((1;\ 0)\) и дальше медленно поднимается.
• \(0 < a < 1\) (например \(y = \log_{1/2} x\)) — функция убывает. Слева вверху она опускается, в точке \((1;\ 0)\) переходит ось \(Ox\) и дальше идёт вниз.

Ещё одна удобная деталь: графики \(y = \log_a x\) и \(y = \log_{1/a} x\) симметричны относительно оси \(Ox\), так как \(\log_{1/a} x = -\log_a x\). Построив одну кривую, вторую получаете отражением.

Пример 1. Найти область определения функций \(y = \log_5(x - 2)\) и \(y = \log_2(6 - 2x)\)

Правило одно: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Для первой функции: \(x - 2 > 0\), откуда \(x > 2\). Проверка: при \(x = 2{,}5\) получаем \(\log_5 0{,}5\) — число существует (оно отрицательное, примерно \(-0{,}43\)), а при \(x = 2\) под логарифмом оказывается нуль, что недопустимо.

Для второй функции: \(6 - 2x > 0\), то есть \(2x < 6\) и \(x < 3\). Проверка: при \(x = 1\) имеем \(\log_2 4 = 2\) — всё в порядке; при \(x = 4\) под логарифмом было бы \(-2\).

Ответ: \(D_1 = (2;\ +\infty)\), \(D_2 = (-\infty;\ 3)\).

Пример 2. Построить графики \(y = \log_2 x\) и \(y = \log_{1/2} x\) в одной системе координат

Удобные точки для логарифма — степени основания, потому что тогда значения выходят целыми. Для \(y = \log_2 x\) берём \(x = \dfrac{1}{4};\ \dfrac{1}{2};\ 1;\ 2;\ 4;\ 8\):

\[ \log_2 \tfrac{1}{4} = -2,\quad \log_2 \tfrac{1}{2} = -1,\quad \log_2 1 = 0,\quad \log_2 2 = 1,\quad \log_2 4 = 2,\quad \log_2 8 = 3 \]

Каждое значение легко проверить обратным возведением: \(2^{-2} = \dfrac{1}{4}\), \(2^3 = 8\). Точки \(\left(\dfrac{1}{4};\ -2\right)\), \(\left(\dfrac{1}{2};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 1)\), \((4;\ 2)\), \((8;\ 3)\) соединяем плавной кривой, которая слева прижимается к оси \(Oy\).

Для \(y = \log_{1/2} x\) при тех же \(x\) значения отличаются только знаком: \(2;\ 1;\ 0;\ -1;\ -2;\ -3\). Действительно, \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\), значит \(\log_{1/2} \dfrac{1}{4} = 2\).

Ответ: обе кривые проходят через \((1;\ 0)\) и имеют асимптоту \(x = 0\); первая возрастает, вторая убывает, графики симметричны относительно оси \(Ox\).

Монотонность как инструмент сравнения

Это самый ценный практический вывод всей темы. Поскольку функция строго монотонна, большему аргументу соответствует большее (при \(a > 1\)) или меньшее (при \(0 < a < 1\)) значение — без всяких вычислений.

Правило. Пусть \(x_1 > 0\), \(x_2 > 0\). Если \(a > 1\), то из \(x_1 < x_2\) следует \(\log_a x_1 < \log_a x_2\). Если \(0 < a < 1\), то из \(x_1 < x_2\) следует \(\log_a x_1 > \log_a x_2\) — знак неравенства меняется.

Полезный ориентир — точка \((1;\ 0)\). При \(a > 1\) логарифм чисел, больших единицы, положителен, а меньших — отрицателен. При \(0 < a < 1\) — ровно наоборот.

Пример 3. Сравнить, не используя калькулятор

а) \(\log_3 5\) и \(\log_3 7\). Основание \(3 > 1\), функция возрастает, а \(5 < 7\), поэтому \(\log_3 5 < \log_3 7\). Контроль: \(\log_3 5 \approx 1{,}46\), \(\log_3 7 \approx 1{,}77\).

б) \(\log_{0{,}4} 3\) и \(\log_{0{,}4} 5\). Основание \(0{,}4 < 1\), функция убывает, поэтому из \(3 < 5\) следует \(\log_{0{,}4} 3 > \log_{0{,}4} 5\). Контроль: \(-1{,}20\) против \(-1{,}76\) — действительно первое больше.

в) \(\log_2 5\) и число \(2\). Представляем двойку как логарифм с тем же основанием: \(2 = \log_2 4\). Основание больше единицы, \(5 > 4\), значит \(\log_2 5 > 2\). Контроль: \(\log_2 5 \approx 2{,}32\).

Ответ: а) \(\log_3 5 < \log_3 7\); б) \(\log_{0{,}4} 3 > \log_{0{,}4} 5\); в) \(\log_2 5 > 2\).

Пример 4. График функции \(y = \log_a x\) проходит через точку \((81;\ 4)\). Найти основание \(a\)

Если точка лежит на графике, её координаты обращают формулу в верное равенство:

\[ 4 = \log_a 81 \quad \Longleftrightarrow \quad a^4 = 81 \]

Поскольку по определению \(a > 0\), отрицательный корень отбрасываем и остаётся \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). Проверка: \(3^4 = 81\), значит \(\log_3 81 = 4\) — точка действительно на графике. Условия \(a > 0\) и \(a \ne 1\) выполнены.

Ответ: \(a = 3\).

Пример 5. Решить неравенства

а) \(\log_{0{,}5}(x + 1) > -2\). Сначала ОДЗ: \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\). Дальше представляем правую часть как логарифм: \(-2 = \log_{0{,}5} 4\), так как \(0{,}5^{-2} = 4\). Основание меньше единицы, функция убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

\[ x + 1 < 4 \quad \Longrightarrow \quad x < 3 \]

Вместе с ОДЗ получаем \(-1 < x < 3\). Проверка: при \(x = 0\) имеем \(\log_{0{,}5} 1 = 0 > -2\) — верно; при \(x = 3\) получается ровно \(-2\), неравенство строгое, поэтому край не входит; при \(x = 3{,}1\) значение около \(-2{,}04\), условие не выполняется.

б) \(\log_3(2x - 1) \le 2\). ОДЗ: \(2x - 1 > 0\), то есть \(x > 0{,}5\). Записываем \(2 = \log_3 9\); основание больше единицы, знак сохраняется: \(2x - 1 \le 9\), откуда \(x \le 5\). Проверка: при \(x = 5\) имеем \(\log_3 9 = 2\) — равенство входит; при \(x = 5{,}1\) значение больше \(2\).

Ответ: а) \(x \in (-1;\ 3)\); б) \(x \in (0{,}5;\ 5]\).

Логарифмическая шкала в реальной жизни

Логарифм придумали не для контрольных. Он нужен везде, где величины меняются не на десятки, а в тысячи и миллионы раз — на обычной линейной шкале такие данные просто невозможно изобразить.

• Децибелы. Громкость считают по формуле \(L = 10\log_{10}\dfrac{I}{I_0}\), где \(I_0\) — порог слышимости. Ухо реагирует не на разность интенсивностей, а на их отношение, поэтому логарифмическая шкала точнее соответствует ощущениям.
• Шкала Рихтера. Магнитуда — это логарифм амплитуды колебаний грунта. Рост магнитуды на единицу означает увеличение амплитуды в \(10\) раз.
• Водородный показатель pH. Здесь \(\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\). Удобство очевидно: вместо записи концентрации \(0{,}001\) моль/л говорят просто «pH равен \(3\)».

Пример 6. Практические вычисления по логарифмической шкале

а) Мощность звука выросла в \(1000\) раз. На сколько децибел увеличился уровень громкости? Вычисляем: \(\Delta L = 10\log_{10} 1000 = 10 \cdot 3 = 30\) дБ, поскольку \(10^3 = 1000\).

б) Землетрясение магнитудой \(7\) и землетрясение магнитудой \(5\): во сколько раз отличается амплитуда? Разность магнитуд равна \(2\), значит отношение амплитуд составляет \(10^{2} = 100\) раз.

в) Концентрация ионов водорода в растворе \([\mathrm{H}^+] = 0{,}001\) моль/л. Тогда \(\mathrm{pH} = -\log_{10} 0{,}001 = -(-3) = 3\), так как \(10^{-3} = 0{,}001\). По сравнению с нейтральной водой (\(\mathrm{pH} = 7\)) этот раствор содержит в \(10^{4} = 10\,000\) раз больше ионов водорода.

Ответ: а) на \(30\) дБ; б) в \(100\) раз; в) \(\mathrm{pH} = 3\), что в \(10\,000\) раз кислее нейтральной воды.

Типичные ошибки

• Забывают про ОДЗ. Решив \(\log_2(x - 3) = 1\), ученик пишет \(x = 5\) и не проверяет, положительно ли выражение под логарифмом. В более сложных случаях посторонний корень так и остаётся в ответе.
• Не меняют знак неравенства при \(0 < a < 1\). Это ошибка номер один в теме. Убывающая функция «переворачивает» неравенство, поэтому основание надо проверять до любых преобразований.
• Считают, что логарифм не бывает отрицательным. Отрицательным не может быть аргумент; само значение \(\log_a x\) пробегает всю числовую прямую, и \(\log_2 0{,}5 = -1\) — вполне нормальное число.
• Путают область определения с областью значений. У показательной функции \(D = \mathbb{R}\), \(E = (0;\ +\infty)\); у логарифмической — наоборот.
• Думают, что график пересекает ось \(Oy\). Не пересекает никогда: \(x = 0\) — вертикальная асимптота, а не точка графика.
• Забывают условие \(a \ne 1\). В задачах на поиск основания это равносильно потере балла: найденное значение обязательно проверяют на допустимость.
• Сравнивают логарифмы с разными основаниями напрямую. Правило монотонности работает только при одинаковом основании; иначе сначала переходят к общему основанию по свойствам логарифмов.

Вывод

Логарифмическая функция \(y = \log_a x\) описывается коротким набором фактов: область определения \(x > 0\), значения — все действительные числа, обязательная точка \((1;\ 0)\), вертикальная асимптота \(x = 0\), возрастание при \(a > 1\) и убывание при \(0 < a < 1\). Всё это не нужно зубрить — достаточно помнить, что график является зеркальным отражением показательной кривой относительно прямой \(y = x\). Монотонность дальше превращается в рабочий инструмент и в сравнении чисел, и в логарифмических уравнениях и неравенствах.

Если график пока «не собирается в голове», а знак неравенства при дробном основании каждый раз теряется — это вопрос нескольких занятий с разбором именно ваших ошибок. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: мы выясним, на каком шаге рвётся цепочка, и построим план подготовки к НМТ.

Почему основание логарифма не может равняться единице?

Потому что \(1^t = 1\) при любом показателе \(t\). Равенство \(1^t = x\) не имеет решения ни при каком \(x \ne 1\), а при \(x = 1\) имеет бесконечно много решений. Ни в одном из случаев однозначного значения не получается, поэтому функции не существует.

Как быстро построить график логарифмической функции?

Возьмите степени основания как значения аргумента — тогда значения функции будут целыми. Для \(y = \log_3 x\) удобны \(x = \dfrac{1}{9};\ \dfrac{1}{3};\ 1;\ 3;\ 9\), которым соответствуют \(-2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2\). Далее проводим плавную кривую, помня об асимптоте \(x = 0\).

Как сравнить \(\log_{0{,}3} 7\) и \(\log_{0{,}3} 9\)?

Основание \(0{,}3\) меньше единицы, значит функция убывает: большему аргументу соответствует меньшее значение. Поскольку \(7 < 9\), имеем \(\log_{0{,}3} 7 > \log_{0{,}3} 9\). Оба числа при этом отрицательны, так как аргументы больше единицы, а основание дробное.

Где на графике видно, что функция обратна показательной?

В симметрии относительно прямой \(y = x\). Если показательная функция проходит через \((3;\ 8)\), то логарифмическая с тем же основанием проходит через \((8;\ 3)\) — координаты меняются местами. Поэтому горизонтальная асимптота показательной кривой \(y = 0\) превращается в вертикальную асимптоту \(x = 0\) логарифмической.