Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс
В 8 классе синус и косинус определяли через стороны прямоугольного треугольника — и этого хватало, пока угол оставался острым. В 10 классе появляются углы 120°, 200°, 750° и даже отрицательные, а треугольника с таким углом не существует. Поэтому определение переносят на единичную окружность: это не новая тема, а расширение старой сразу на все углы. На занятиях в Tutor-Math мы всегда начинаем именно с перехода «треугольник → окружность», потому что без него вся дальнейшая тригонометрия превращается в зубрёжку знаков и формул.
От прямоугольного треугольника к окружности
Напомним школьные определения для острого угла \( \alpha \) в прямоугольном треугольнике: синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе. Подробный разбор этой конструкции есть в статье о тригонометрии в прямоугольном треугольнике.
Теперь поместим треугольник в координатную плоскость: вершина угла — в начале координат \( O \), один катет лежит на оси \( Ox \), а гипотенуза имеет длину 1. Тогда вторая вершина попадает на единичную окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат (о самой окружности как фигуре — в материале окружность и круг). Гипотенуза равна 1, поэтому отношения превращаются в сами катеты: прилежащий катет — это абсцисса точки, противолежащий — ордината.
В этом и ключ. Координаты точки на окружности существуют для любого угла поворота, а не только для острого. Значит, ими и можно определить функции.
Определение через единичную окружность
Пусть точка \( P \) получена поворотом точки \( (1;\,0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \). Тогда \( \cos\alpha \) — это абсцисса точки \( P \), а \( \sin\alpha \) — её ордината: \( P(\cos\alpha;\ \sin\alpha) \).
Положительным считается поворот против часовой стрелки, отрицательным — по ней. Тангенс и котангенс определяют через синус и косинус:
\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \]Поскольку точка \( P \) лежит на окружности радиуса 1, её координаты удовлетворяют уравнению окружности \( x^2 + y^2 = 1 \). Подстановка даёт основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]То есть это тождество — не отдельная формула для заучивания, а просто уравнение единичной окружности, записанное в других буквах.
Градусная и радианная меры
Градус — это \( \frac{1}{360} \) часть полного оборота, договорённость родом из Вавилона. Радиан определяется геометрически.
Один радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
Длина всей единичной окружности равна \( 2\pi \), поэтому полный оборот — это \( 2\pi \) радиан, а развёрнутый угол — \( \pi \) радиан. Отсюда обе формулы перевода:
\[ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180}, \qquad \alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi} \]Практически это запоминают так: 180° = \( \pi \), а дальше всё выводится пропорцией. Один радиан — это примерно 57,3°, но в задачах приближение почти никогда не нужно: ответ оставляют в виде \( \frac{5\pi}{6} \), а не в десятичных дробях.
Важная деталь: в радианной записи значок «рад» обычно не пишут. Поэтому \( \sin 2 \) означает синус двух радиан, а не двух градусов — это разные числа.
Знаки функций по четвертям
Оси делят окружность на четыре четверти. Знак \( \cos\alpha \) — это знак абсциссы, знак \( \sin\alpha \) — знак ординаты. Дальше всё просто:
- I четверть (0°–90°): \( x > 0 \), \( y > 0 \) — все четыре функции положительны.
- II четверть (90°–180°): \( x < 0 \), \( y > 0 \) — положителен только синус.
- III четверть (180°–270°): \( x < 0 \), \( y < 0 \) — положительны тангенс и котангенс (минус на минус).
- IV четверть (270°–360°): \( x > 0 \), \( y < 0 \) — положителен только косинус.
Мнемоника, которую легко удержать в голове: «Все — Синус — Тангенс — Косинус» по четвертям от первой к четвёртой. В каждой четверти названная функция (а в III — вместе с котангенсом) положительна, остальные отрицательны. Но надёжнее не мнемоника, а привычка за секунду рисовать окружность на черновике: ошибиться в знаке абсциссы точки, лежащей слева от оси \( Oy \), почти невозможно.
Таблица значений основных углов
Эти пять столбцов нужно знать наизусть — они встречаются в каждой второй задаче:
- \( \sin \): \( 0;\ \frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ 1 \) для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
- \( \cos \): те же числа в обратном порядке — \( 1;\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{1}{2};\ 0 \).
- \( \operatorname{tg} \): \( 0;\ \frac{\sqrt{3}}{3};\ 1;\ \sqrt{3} \); при 90° тангенс не существует.
- \( \operatorname{ctg} \): при 0° не существует, далее \( \sqrt{3};\ 1;\ \frac{\sqrt{3}}{3};\ 0 \).
Способ не зубрить: в числителе синуса последовательно стоят \( \sqrt{0},\ \sqrt{1},\ \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4} \), а знаменатель везде 2. Получается \( 0;\ \frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ 1 \). Косинус читается по той же таблице справа налево. Если действия с корнями ещё неустойчивы, стоит повторить квадратный корень — здесь он нужен постоянно.
Периодичность
Полный оборот возвращает точку в то же место окружности. Поэтому прибавление \( 360° \) (то есть \( 2\pi \)) ничего не меняет:
\[ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha, \qquad \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha, \quad k \in \mathbb{Z} \]Наименьший положительный период синуса и косинуса — \( 2\pi \). А вот у тангенса и котангенса период вдвое меньше — \( \pi \). Причина видна на окружности: диаметрально противоположные точки имеют координаты \( (x;\,y) \) и \( (-x;\,-y) \), и в частном \( \frac{y}{x} \) оба минуса сокращаются. Поэтому \( \operatorname{tg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{tg}\alpha \).
Практическое следствие: любой большой угол можно уменьшить, вычитая целое количество периодов, и свести вычисление к таблице.
Область определения и область значений
Синус и косинус определены для любого угла: точка на окружности есть всегда. Тангенс — это дробь со знаменателем \( \cos\alpha \), поэтому он не существует там, где косинус равен нулю, то есть при \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Симметрично котангенс не существует при \( \alpha = \pi k \).
Теперь главный вопрос темы.
Почему \( -1 \le \sin\alpha \le 1 \) и \( -1 \le \cos\alpha \le 1 \), а тангенс может быть любым числом?
Синус и косинус — это координаты точки, лежащей на окружности радиуса 1. Точка не может выехать за пределы окружности, а самые дальние её положения по горизонтали — это \( x = \pm 1 \), по вертикали — \( y = \pm 1 \). Формально: из \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) следует \( \sin^2\alpha \le 1 \), то есть \( |\sin\alpha| \le 1 \). Вот почему уравнение \( \sin x = 1{,}2 \) не имеет решений — и это первое, что стоит проверять в тригонометрических уравнениях.
Тангенс же — не координата, а отношение координат \( \frac{y}{x} \). Ограничение на каждую из них есть, а на их частное — нет: когда \( x \) стремится к нулю, дробь неограниченно возрастает. Наглядно: \( \operatorname{tg} 89{,}9° \approx 572{,}96 \), а \( \operatorname{tg} 89{,}999° \approx 57295{,}78 \). Поэтому область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая.
Чётность и нечётность
Замена \( \alpha \) на \( -\alpha \) — это отражение точки окружности симметрично относительно оси \( Ox \). Абсцисса при этом не меняется, ордината меняет знак. Отсюда:
\[ \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \qquad \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \]Значит, косинус — чётная функция, синус — нечётная. Тангенс и котангенс, как частные чётной и нечётной функций, тоже нечётны: \( \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \). Коротко: минус «выносится» из всех функций, кроме косинуса.
Пример 1. Перевод градусов и радиан
Выразить 210° и 36° в радианах; \( \frac{3\pi}{4} \) и \( \frac{7\pi}{4} \) — в градусах.
Умножаем на \( \frac{\pi}{180} \): \( 210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{21\pi}{18} = \frac{7\pi}{6} \); \( 36 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5} \).
В обратную сторону умножаем на \( \frac{180}{\pi} \): \( \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4} = 135° \); \( \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{7 \cdot 180}{4} = 315° \).
Ответ: \( \frac{7\pi}{6} \); \( \frac{\pi}{5} \); 135°; 315°.
Пример 2. Вычисление по таблице
Найти значение \( \sin 30° \cdot \cos 60° + \cos 30° \cdot \sin 60° \).
Подставляем табличные значения: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \).
Обратите внимание: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \), потому что \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \). Это самое частое место арифметической ошибки в теме.
Ответ: 1.
Пример 3. Знаки функций
Определить знаки \( \sin 200° \), \( \cos 200° \), \( \operatorname{tg} 200° \).
Угол 200° больше 180°, но меньше 270°, значит, это III четверть. Точка окружности лежит слева от оси \( Oy \) и ниже оси \( Ox \), поэтому абсцисса и ордината обе отрицательны: \( \sin 200° < 0 \) и \( \cos 200° < 0 \). Тангенс — частное двух отрицательных чисел, поэтому \( \operatorname{tg} 200° > 0 \).
Контроль калькулятором: \( \sin 200° \approx -0{,}3420 \), \( \cos 200° \approx -0{,}9397 \), \( \operatorname{tg} 200° \approx 0{,}3640 \).
Ответ: синус и косинус отрицательны, тангенс положителен.
Пример 4. Использование периодичности
Вычислить \( \sin 1230° \), \( \cos(-1500°) \), \( \operatorname{tg} 945° \).
Отбрасываем полные обороты. \( 1230 - 3 \cdot 360 = 1230 - 1080 = 150 \), поэтому \( \sin 1230° = \sin 150° \). Угол 150° лежит во II четверти, где синус положителен, и \( \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2} \).
Далее \( -1500 + 5 \cdot 360 = -1500 + 1800 = 300 \), поэтому \( \cos(-1500°) = \cos 300° \). Это IV четверть, косинус положителен: \( \cos 300° = \cos 60° = \frac{1}{2} \).
У тангенса период \( 180° \): \( 945 - 5 \cdot 180 = 945 - 900 = 45 \), значит \( \operatorname{tg} 945° = \operatorname{tg} 45° = 1 \).
Ответ: \( \frac{1}{2} \); \( \frac{1}{2} \); 1.
Пример 5. Чётность и нечётность
Вычислить \( \cos(-60°) + \sin(-30°) + \operatorname{tg}(-45°) \).
Косинус чётный, поэтому \( \cos(-60°) = \cos 60° = \frac{1}{2} \). Синус нечётный: \( \sin(-30°) = -\sin 30° = -\frac{1}{2} \). Тангенс нечётный: \( \operatorname{tg}(-45°) = -\operatorname{tg} 45° = -1 \).
Сумма: \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = -1 \).
Ответ: \( -1 \).
Пример 6. Область значений
Найти область значений функций \( y = 3\sin x - 2 \) и \( y = 5 - 2\cos x \).
Для первой: \( -1 \le \sin x \le 1 \). Умножаем на 3: \( -3 \le 3\sin x \le 3 \). Вычитаем 2: \( -5 \le y \le 1 \).
Для второй: \( -1 \le \cos x \le 1 \). Умножаем на \( -2 \) — знаки неравенства переворачиваются: \( -2 \le -2\cos x \le 2 \). Прибавляем 5: \( 3 \le y \le 7 \).
Ответ: \( [-5;\,1] \) и \( [3;\,7] \).
Типичные ошибки
- Путаница градусов и радиан. Запись \( \sin 2 \) — это синус 2 радиан (примерно 114,6°), а не 2 градусов. Калькулятор в режиме DEG вместо RAD даёт полностью неверный ответ.
- Деление на \( \pi \) вместо умножения при переводе. Градусы в радианы — умножение на \( \frac{\pi}{180} \). Контроль: радианная мера всегда небольшое число, 210° не может быть «12000 радиан».
- Попытка найти угол с \( \sin x = 1{,}5 \). Такого угла нет: синус — координата точки на окружности радиуса 1. Если в уравнении справа число, большее 1 по модулю, ответ — «решений нет».
- Ограниченность тангенса. Ученики автоматически переносят отрезок \( [-1;\,1] \) и на тангенс. Тангенс принимает любые значения, а значения \( \pm 1 \) для него ничем не особенны.
- Потеря знака при переходе в другую четверть. \( \cos 120° \) — это не \( \cos 60° = \frac{1}{2} \), а \( -\frac{1}{2} \): вторая четверть, абсцисса отрицательна. Модуль совпадает, знак — нет.
- Вынесение минуса из косинуса. Запись \( \cos(-\alpha) = -\cos\alpha \) неверна. Косинус — единственная из четырёх функций, которая чётна: \( \cos(-\alpha) = \cos\alpha \).
- Игнорирование области определения тангенса. \( \operatorname{tg} 90° \) не равен нулю или бесконечности — он не существует, потому что в знаменателе получается \( \cos 90° = 0 \).
Вывод
Вся тема держится на одном рисунке. Единичная окружность даёт определение (\( \cos \) — абсцисса, \( \sin \) — ордината), отсюда автоматически следуют знаки по четвертям, ограниченность отрезком \( [-1;\,1] \), периодичность \( 2\pi \), чётность косинуса и нечётность синуса. Тангенс и котангенс — производные от них частные, и именно поэтому у них другой период \( \pi \) и неограниченная область значений. Кто научился за десять секунд рисовать окружность с разметкой, тот дальше не зубрит формулы приведения и не теряет знаки в уравнениях.
Если ребёнок путается в четвертях, подставляет табличные значения наугад или не видит разницы между радианом и градусом — это вопрос не способностей, а отсутствия опорной картинки в голове. На индивидуальных занятиях в Tutor-Math мы строим эту картинку с нуля и доводим работу с окружностью до автоматизма. Запишитесь на пробное занятие — и тригонометрия перестанет быть набором непонятных символов.
Зачем нужны радианы, если есть градусы?
Радиан определяется через саму окружность: это угол, опирающийся на дугу длиной в радиус. Благодаря этому длина дуги вычисляется просто как \( l = \alpha R \), без множителей на 360. В старших классах и в высшей математике все формулы производных и пределов тригонометрических функций справедливы только в радианах, поэтому школа переходит на них уже в 10 классе.
Почему синус не может равняться 2?
Потому что синус — это ордината точки, лежащей на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Самая высокая точка такой окружности имеет ординату 1, самая низкая — \( -1 \), выйти за эти пределы точка не может. То же следует из тождества \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \): если бы \( \sin\alpha = 2 \), то \( \cos^2\alpha = 1 - 4 = -3 \), что невозможно.
Почему у тангенса период \( \pi \), а не \( 2\pi \)?
Поворот на \( \pi \) переводит точку \( (x;\,y) \) в диаметрально противоположную \( (-x;\,-y) \). Синус и косинус при этом меняют знак, но их частное \( \frac{y}{x} \) не меняется — минусы сокращаются. Поэтому значения тангенса повторяются уже через \( 180° \), а не через \( 360° \).
Как быстро запомнить таблицу значений?
Для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° синус равен \( \frac{\sqrt{0}}{2},\ \frac{\sqrt{1}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{4}}{2} \), то есть \( 0;\ \frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ 1 \). Косинус — та же строка, прочитанная в обратном порядке. Тангенс получают делением синуса на косинус, отдельно запоминать его не нужно.
