Применение производной: возрастание, убывание, экстремумы
Производную учат не ради самой производной. Её главная ценность в том, что одно-единственное число — знак \(f'(x)\) — рассказывает, как ведёт себя график: поднимается он или опускается, где у него вершина, а где впадина. На занятиях в Tutor-Math мы доводим эту тему до автоматизма, потому что исследование функции — это и задача НМТ, и фундамент, без которого не будет ни построения графиков, ни прикладных задач на оптимизацию. Разберём всю схему: от знака производной до наибольшего значения на отрезке.
Знак производной и монотонность
Производная в точке — это угловой коэффициент касательной (подробно об этом в статье про определение производной). Если касательная идёт вверх, её наклон положителен, и функция в этом месте возрастает. Если вниз — наклон отрицателен, функция убывает. Это не метафора, а строгая теорема.
Достаточный признак монотонности. Пусть функция \(f\) дифференцируема на промежутке \(I\). Если \(f'(x) > 0\) для всех \(x \in I\), то \(f\) возрастает на \(I\). Если \(f'(x) < 0\) для всех \(x \in I\), то \(f\) убывает на \(I\).
Обратите внимание на слово «промежуток». Признак работает на связном множестве. Если область определения разорвана (например, выброшен нуль), то промежутки монотонности приходится выписывать отдельно для каждой части — сливать их в один нельзя.
Критические точки и необходимое условие экстремума
Определение. Точка \(x_0\) из области определения называется критической, если \(f'(x_0) = 0\) либо производная в этой точке не существует.
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Если \(x_0\) — точка экстремума функции \(f\) и в этой точке существует производная, то \(f'(x_0) = 0\).
Геометрически это очевидно: в вершине горба или на дне ямы касательная горизонтальна. Логика теоремы односторонняя — она говорит лишь то, что экстремумы надо искать среди критических точек. Обратное утверждение неверно, и именно на этом проваливается большинство учеников.
Главное: не каждая критическая точка является экстремумом
Рассмотрим \(y = x^3\). Её производная \(y' = 3x^2\), и \(y'(0) = 0\) — точка \(x = 0\) критическая. Но экстремума в ней нет: при \(x \ne 0\) имеем \(3x^2 > 0\), то есть производная положительна и слева, и справа от нуля. Функция возрастает на всей числовой прямой, просто в нуле на мгновение «притормаживает» — касательная там горизонтальна, а график её пересекает.
Вывод, который надо запомнить навсегда: равенство \(f'(x_0) = 0\) само по себе экстремума не даёт. Экстремум даёт смена знака производной.
Достаточное условие экстремума. Пусть \(x_0\) — критическая точка, а функция непрерывна в ней. Если при переходе через \(x_0\) производная меняет знак с «+» на «−», то \(x_0\) — точка максимума. Если с «−» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.
Алгоритм исследования функции
- Найти область определения \(D(f)\).
- Вычислить \(f'(x)\) по таблице производных и правилам дифференцирования.
- Найти критические точки: решить \(f'(x) = 0\) и добавить точки, где производной не существует.
- Отметить на числовой прямой критические точки и точки разрыва, определить знак \(f'\) на каждом промежутке — удобно методом интервалов (см. неравенства).
- По знакам выписать промежутки возрастания и убывания, а по сменам знака — экстремумы.
- Вычислить значения функции в точках экстремума.
Пример 1. Промежутки монотонности и экстремумы
Исследовать функцию \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\).
Область определения — вся числовая прямая. Производная: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)\).
Критические точки: \(x = -1\) и \(x = 3\). Проверяем знаки пробными числами: \(f'(-2) = 15 > 0\), \(f'(0) = -9 < 0\), \(f'(4) = 15 > 0\).
Значит, в точке \(x = -1\) производная меняет знак с «+» на «−» — это максимум; в точке \(x = 3\) с «−» на «+» — это минимум. Значения: \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\), \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\).
Ответ: возрастает на \((-\infty;\,-1]\) и \([3;\,+\infty)\), убывает на \([-1;\,3]\); точка максимума \(x = -1\), \(f(-1) = 10\); точка минимума \(x = 3\), \(f(3) = -22\).
Пример 2. Критическая точка без экстремума
Исследовать \(f(x) = x^4 - 4x^3\).
Производная: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)\). Критические точки: \(x = 0\) и \(x = 3\).
Множитель \(4x^2\) неотрицателен всегда, поэтому знак производной определяет только скобка \((x - 3)\). Пробные значения: \(f'(-1) = -16 < 0\), \(f'(1) = -8 < 0\), \(f'(2) = -16 < 0\), \(f'(4) = 64 > 0\).
Через точку \(x = 0\) производная проходит, не меняя знака (минус слева, минус справа) — экстремума нет, хотя \(f'(0) = 0\). В точке \(x = 3\) знак меняется с «−» на «+»: это минимум, \(f(3) = 81 - 108 = -27\).
Ответ: убывает на \((-\infty;\,3]\), возрастает на \([3;\,+\infty)\); единственный экстремум — минимум \(f(3) = -27\); точка \(x = 0\) критическая, но экстремумом не является.
Пример 3. Функция с разрывом области определения
Исследовать \(f(x) = x + \dfrac{4}{x}\).
Область определения: \(x \ne 0\). Производная: \(f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\).
Критические точки: \(x = -2\) и \(x = 2\). Точка \(x = 0\) критической не является — она не входит в область определения, но на числовой прямой её тоже надо отметить. Пробные значения: \(f'(-3) = \tfrac{5}{9} > 0\), \(f'(-1) = -3 < 0\), \(f'(1) = -3 < 0\), \(f'(3) = \tfrac{5}{9} > 0\).
В точке \(x = -2\) знак меняется с «+» на «−» — максимум, \(f(-2) = -2 - 2 = -4\). В точке \(x = 2\) с «−» на «+» — минимум, \(f(2) = 2 + 2 = 4\).
Обратите внимание на странную на первый взгляд вещь: локальный максимум \(-4\) меньше локального минимума \(4\). Противоречия нет — эти точки лежат на разных ветвях графика, разделённых разрывом, а слово «локальный» означает сравнение только с ближайшими соседями.
Ответ: возрастает на \((-\infty;\,-2]\) и \([2;\,+\infty)\), убывает на \([-2;\,0)\) и \((0;\,2]\); максимум \(f(-2) = -4\), минимум \(f(2) = 4\).
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Здесь задача другая: нужны не локальные вершины, а глобальный рекорд на заданном отрезке \([a;\,b]\). Непрерывная на отрезке функция обязательно достигает и наибольшего, и наименьшего значения, но достичь их она может в двух разных местах: либо во внутренней критической точке, либо на конце отрезка.
Алгоритм. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на \([a;\,b]\): 1) найти критические точки, лежащие внутри отрезка; 2) вычислить значения функции в этих точках и на обоих концах \(a\) и \(b\); 3) выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.
Исследовать знаки производной здесь не нужно — достаточно сравнить конечный список чисел. Но концы отрезка пропускать нельзя никогда: именно на них часто и приходится ответ.
Пример 4. Экстремум внутри отрезка
Найти наибольшее и наименьшее значение \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\) на отрезке \([-2;\,3]\).
Производная: \(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)\). Критические точки \(x = -1\) и \(x = 2\) — обе лежат внутри отрезка.
Вычисляем четыре значения: \(f(-2) = -16 - 12 + 24 + 1 = -3\); \(f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8\); \(f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19\); \(f(3) = 54 - 27 - 36 + 1 = -8\).
Ответ: наибольшее значение \(8\) при \(x = -1\), наименьшее значение \(-19\) при \(x = 2\).
Пример 5. Максимум на конце отрезка
Найти наибольшее и наименьшее значение \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) на отрезке \([0;\,3]\).
Производная: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\). Критические точки \(x = 1\) и \(x = -1\), но \(x = -1\) не принадлежит отрезку \([0;\,3]\) — её отбрасываем.
Значения: \(f(0) = 2\); \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\); \(f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\).
Наибольшее значение достигается на правом конце, где никакого экстремума нет. Если бы мы искали только среди критических точек, ответ был бы грубо неверным.
Ответ: наибольшее значение \(20\) при \(x = 3\), наименьшее значение \(0\) при \(x = 1\).
Пример 6. Задача на оптимизацию
Участок прямоугольной формы огораживают забором с трёх сторон — четвёртой стороной служит стена здания. Длина забора \(60\) м. Какими должны быть стороны участка, чтобы его площадь была наибольшей?
Шаг 1. Переменная. Пусть \(x\) — длина стороны, перпендикулярной стене (таких сторон две), в метрах. Тогда на сторону, параллельную стене, остаётся \(60 - 2x\) метров.
Шаг 2. Функция и её область. Площадь \(S(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2\). Обе стороны должны быть положительными, поэтому \(0 < x < 30\).
Шаг 3. Производная. \(S'(x) = 60 - 4x\). Приравниваем к нулю: \(60 - 4x = 0\), откуда \(x = 15\).
Шаг 4. Проверка. При \(x < 15\) имеем \(S'(x) > 0\), при \(x > 15\) — \(S'(x) < 0\): знак меняется с «+» на «−», значит, \(x = 15\) — точка максимума. Контроль подстановкой: \(S(14) = 448\), \(S(15) = 450\), \(S(16) = 448\).
Шаг 5. Ответ по существу задачи. Стороны: \(15\) м и \(60 - 30 = 30\) м, площадь \(S = 15 \cdot 30 = 450\) м². Заметьте, что оптимальный участок здесь не квадрат — квадрат был бы ответом, если бы ограда шла по всем четырём сторонам. Это типичная ловушка: условие про стену меняет формулу, а не интуицию (о поведении таких выражений — в статье про квадратичную функцию).
Ответ: стороны 15 м и 30 м, наибольшая площадь 450 м².
Типичные ошибки
- Объявлять экстремумом каждый корень уравнения \(f'(x) = 0\). Классический контрпример — \(y = x^3\) в нуле. Обязательно проверяйте смену знака.
- Забывать концы отрезка в задаче на наибольшее и наименьшее значение. Пример 5 показывает, как из-за этого теряется правильный ответ.
- Не проверять, принадлежит ли критическая точка отрезку. Корни производной за пределами \([a;\,b]\) к рассмотрению не принимают.
- Путать точку экстремума со значением экстремума. Точка максимума — это \(x\), максимум функции — это \(f(x)\). В примере 1 точка максимума \(-1\), а максимум \(10\).
- Объединять промежутки монотонности через разрыв. В примере 3 функция убывает на \([-2;\,0)\) и на \((0;\,2]\), но не на всём \([-2;\,2]\): нуль не входит в область определения.
- Игнорировать точки, где производной не существует. У \(y = |x|\) производной в нуле нет, однако это точка минимума. Критические точки — это не только нули производной.
- Останавливаться на найденном \(x\) в задаче на оптимизацию. Спрашивали размеры и площадь — надо дать размеры и площадь, а не голый корень уравнения.
Вывод
Вся тема держится на одной идее: знак производной управляет направлением движения графика, а смена этого знака — это и есть экстремум. Освоив проверку смены знака и дисциплину «всегда считать концы отрезка», вы закрываете целый класс задач НМТ, включая прикладные задачи на оптимизацию. Если алгоритм пока не складывается в целостную картину — приходите на пробное занятие: разберём вашу конкретную задачу от первой производной до ответа.
Чем точка максимума отличается от наибольшего значения функции?
Точка максимума — понятие локальное: значение функции в ней больше, чем в соседних точках. Наибольшее значение на отрезке — глобальное: оно больше всех остальных значений на этом отрезке. Локальный максимум может не быть наибольшим значением, а наибольшее значение может достигаться на конце отрезка, где вообще нет экстремума.
Всегда ли равенство \(f'(x_0) = 0\) означает экстремум?
Нет. Это лишь необходимое условие: в точке экстремума гладкой функции производная равна нулю, но не наоборот. Для \(y = x^3\) имеем \(y'(0) = 0\), однако функция возрастает на всей прямой. Экстремум есть только тогда, когда производная при переходе через точку меняет знак.
Что делать, если производная в точке не существует?
Такая точка тоже считается критической и подлежит проверке. Например, у \(y = |x|\) производной в нуле нет, но слева она равна \(-1\), а справа \(1\) — знак меняется с «−» на «+», значит, это точка минимума. Главное требование — чтобы функция в этой точке была непрерывной.
Как найти наибольшее значение функции на отрезке?
Найти производную, решить \(f'(x) = 0\), отобрать корни, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в них и на обоих концах отрезка и выбрать наибольшее из полученных чисел. Исследовать знаки производной при этом не нужно.
