Теорема синусов
Теорема синусов вместе с теоремой косинусов — два основных инструмента для решения произвольных треугольников. Если теорема Пифагора работает только для прямоугольного треугольника, то теорема синусов такого ограничения не имеет. В этой статье — формулировка, расширенная форма с радиусом описанной окружности, типовые задачи и самые частые ошибки.
Формулировка теоремы синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов.
То есть в произвольном треугольнике \(ABC\) выполняется равенство:
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]
Здесь \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, а \(A\), \(B\), \(C\) — противолежащие им углы. Сторона \(a\) лежит против угла \(A\), сторона \(b\) — против угла \(B\), сторона \(c\) — против угла \(C\). Это соответствие «сторона напротив своего угла» нужно запомнить первым — именно на нём строятся все дальнейшие вычисления.
Расширенная теорема синусов
Полная формулировка содержит ещё одну важную величину — радиус описанной около треугольника окружности \(R\):
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]
Это и есть расширенная (обобщённая) теорема синусов. Она позволяет находить радиус описанной окружности, зная лишь одну сторону и противолежащий ей угол:
\[R=\frac{a}{2\sin A}\]
Именно через равенство \(2R\) теорема синусов связывает треугольник с описанной окружностью, и именно эта форма чаще всего встречается в задачах ВНО и НМТ повышенной сложности.
Следствия из теоремы синусов
Из теоремы вытекает несколько полезных фактов:
- против большей стороны треугольника лежит больший угол, и наоборот — против большего угла лежит большая сторона;
- равные стороны лежат против равных углов (отсюда свойства равнобедренного треугольника);
- отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх пар и равно диаметру описанной окружности.
Совет: чтобы быстрее разобраться в теме и научиться видеть, какую именно теорему применить, запишитесь на онлайн занятия по математике в Tutor-Math.
Когда применять теорему синусов
Теорема синусов работает тогда, когда в условии есть пара «сторона — противолежащий угол». Различают три случая:
- Известна сторона и два угла — находим любую другую сторону. Простейший случай, решение всегда единственное.
- Известны две стороны и угол, противолежащий одной из них — находим второй угол. Это так называемый неоднозначный случай: решений может быть два, одно или ни одного.
- Нужен радиус описанной окружности — достаточно одной пары «сторона — противолежащий угол».
Если же известны две стороны и угол между ними или все три стороны, теорема синусов не поможет — там нужна теорема косинусов.
Пример 1. Найти сторону по двум углам
В треугольнике \(ABC\) известно: \(a=8\), \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\). Найти сторону \(b\).
По теореме синусов:
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{a\sin B}{\sin A}\]
Подставляем значения:
\[b=\frac{8\cdot\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=8\sqrt{2}\approx 11{,}31\]
Ответ: \(b=8\sqrt{2}\approx 11{,}31\).
Пример 2. Найти угол и учесть неоднозначность
В треугольнике известно: \(a=10\), \(b=6\), \(\angle B=30^\circ\). Найти угол \(A\).
Выражаем синус искомого угла:
\[\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{10\cdot 0{,}5}{6}\approx 0{,}833\]
Теперь внимание — это и есть неоднозначный случай. Синус принимает одинаковое значение для острого и тупого угла, поэтому имеем два варианта:
\[A\approx 56^\circ 27' \quad\text{или}\quad A\approx 123^\circ 33'\]
Оба варианта нужно проверить на совместимость: сумма углов треугольника должна равняться \(180^\circ\). Для первого случая \(\angle C\approx 93^\circ 33'\), для второго \(\angle C\approx 26^\circ 27'\). Обе суммы корректны, значит задача имеет два решения. Пропустить второе — типичная ошибка на контрольных.
Пример 3. Найти радиус описанной окружности
Сторона треугольника равна \(12\), противолежащий ей угол — \(60^\circ\). Найти радиус описанной окружности.
\[R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12}{2\sin 60^\circ}=\frac{12}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\]
Ответ: \(R=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\).
Теорема синусов или теорема косинусов: как выбрать
Ученики чаще всего путаются именно здесь. Правило выбора простое — смотрите, что дано в условии:
- дана сторона и противолежащий ей угол — теорема синусов;
- даны две стороны и угол между ними — теорема косинусов;
- даны три стороны и нужно найти угол — теорема косинусов;
- нужен радиус описанной окружности — теорема синусов.
Часто в одной задаче теоремы применяют последовательно: сначала косинусов, чтобы найти неизвестную сторону, затем синусов, чтобы найти углы. Обе теоремы входят в перечень, который мы разобрали в статье Топ 5 теорем по геометрии для ГИА и ВНО.
Типичные ошибки
- Потеря второго решения. Когда ищете угол через синус, всегда проверяйте тупой вариант \(180^\circ-A\).
- Неправильная пара. В формулу подставляют сторону и угол, которые не являются противолежащими. Проверяйте: сторона \(a\) — только с углом \(A\).
- Путаница с \(R\) и \(2R\). В расширенной теореме отношение равно именно диаметру, а не радиусу.
- Калькулятор в режиме радиан. Для градусной меры убедитесь, что калькулятор в режиме DEG.
Вывод
Теорема синусов — базовый инструмент геометрии 9 класса, без которого не обойтись ни на ГИА, ни на НМТ. Ключевое, что стоит вынести: равенство \(\frac{a}{\sin A}=2R\), правило выбора между синусами и косинусами и обязательная проверка второго решения в неоднозначном случае.
Если тема даётся сложно — не оставляйте пробел. Геометрия построена как пирамида, и пропущенная теорема 9 класса отзовётся в 10-м. Запишитесь на бесплатное пробное занятие в Tutor-Math, и преподаватель разберёт тему в темпе, комфортном именно для вас.
