Теорема Виета и её применение
Теорема Виета — это короткая формула, связывающая корни квадратного уравнения с его коэффициентами, причём сами корни искать не нужно. Восьмикласснику она даёт три вещи: устный подбор корней, мгновенную проверку ответа и умение считать выражения от корней без самих корней. На занятиях в Tutor-Math мы ставим её сразу после дискриминанта, потому что именно тогда она экономит больше всего времени на контрольных. Разберём формулировку, обратную теорему и все типовые применения с примерами.
Формулировка для приведённого уравнения
Приведённым называют квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен единице: \(x^2+px+q=0\). Для него теорема звучит предельно просто.
Теорема Виета. Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\), то
\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.\]
Словами: сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену без изменения знака. Минус стоит только в сумме — именно здесь путаются чаще всего.
Проверим на уравнении \(x^2-7x+12=0\). Его корни — 3 и 4 (подстановка: \(9-21+12=0\) и \(16-28+12=0\)). Здесь \(p=-7\), \(q=12\). Сумма корней \(3+4=7=-(-7)\) — совпало. Произведение \(3\cdot 4=12\) — тоже совпало.
Формулировка для общего вида
Если старший коэффициент не единица, уравнение \(ax^2+bx+c=0\) при \(a\neq 0\) можно разделить на \(a\). Получается приведённое уравнение \(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\), а отсюда сразу общая форма теоремы.
Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.\]
Приведённый случай — это просто частный случай при \(a=1\). Запоминать две формулы не нужно: достаточно одной общей.
Главное ограничение: дискриминант
Теорема Виета говорит о корнях. Если корней нет, говорить не о чем. Поэтому перед любым её использованием нужно убедиться, что дискриминант \(D=b^2-4ac\) неотрицателен.
Важно. Соотношения Виета выполняются только тогда, когда \(D\geqslant 0\), то есть когда действительные корни существуют. При \(D<0\) никаких \(x_1\) и \(x_2\) среди действительных чисел нет, и формулы сумм и произведений применять нельзя.
Классическая ловушка: уравнение \(x^2-2x+5=0\). Формально «сумма корней равна 2, произведение 5» — и ученик записывает это в ответ. Но \(D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0\), поэтому действительных корней нет вообще. Правильный ответ — «корней нет», а не набор чисел.
Если же \(D=0\), корни совпадают, и теорема работает: оба корня равны одному и тому же числу, а сумма и произведение считаются как для двух одинаковых корней. Подробнее о самом дискриминанте — в статье про квадратные уравнения.
Обратная теорема Виета и устный подбор корней
Прямая теорема идёт от корней к коэффициентам. Обратная — наоборот, и именно она позволяет решать уравнения устно.
Обратная теорема Виета. Если числа \(m\) и \(n\) таковы, что \(m+n=-p\) и \(mn=q\), то \(m\) и \(n\) — корни уравнения \(x^2+px+q=0\).
Алгоритм устного подбора для приведённого уравнения:
- Записать, чему равно произведение корней (это \(q\)) и чему сумма (это \(-p\)).
- Перебрать пары целых делителей числа \(q\) — их обычно немного.
- Выбрать ту пару, сумма которой равна \(-p\).
- Подставить найденные числа в уравнение для контроля.
Знаки подсказывает само произведение. Если \(q>0\), корни одного знака, и этот знак противоположен знаку \(p\). Если \(q<0\), корни разных знаков, и больший по модулю имеет знак, противоположный \(p\).
Пример 1. Решить устно \(x^2+2x-15=0\).
Здесь \(p=2\), \(q=-15\), поэтому \(x_1x_2=-15\) и \(x_1+x_2=-2\). Произведение отрицательное — корни разных знаков. Пары делителей числа 15: \(1\) и \(15\), \(3\) и \(5\). Пара \(3\) и \(5\) с разными знаками даёт сумму \(-2\), если взять \(3\) и \(-5\). Проверка подстановкой: \(9+6-15=0\) и \(25-10-15=0\).
Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=-5\).
Пример 2. Решить устно \(x^2-13x+40=0\).
Имеем \(x_1x_2=40\), \(x_1+x_2=13\). Произведение положительное, сумма положительная — оба корня положительны. Пары делителей 40: \(1\) и \(40\), \(2\) и \(20\), \(4\) и \(10\), \(5\) и \(8\). Сумма 13 получается только у последней. Проверка: \(25-65+40=0\), \(64-104+40=0\). Для контроля \(D=169-160=9\geqslant 0\) — корни действительно существуют.
Ответ: \(x_1=5\), \(x_2=8\).
Быстрая проверка найденных корней
Это самое частое применение теоремы на практике. Вы решили уравнение через дискриминант, получили два числа — и за пять секунд проверяете их, не подставляя в уравнение.
Пример 3. Решить \(3x^2-11x+6=0\) и проверить ответ по Виету.
Дискриминант: \(D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot 6=121-72=49\), \(\sqrt{D}=7\). Корни: \(x=\dfrac{11\pm 7}{6}\), то есть \(x_1=\dfrac{18}{6}=3\) и \(x_2=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).
Проверка по Виету: сумма должна равняться \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{11}{3}\). Считаем: \(3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}\) — совпало. Произведение должно равняться \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{3}=2\). Считаем: \(3\cdot\dfrac{2}{3}=2\) — совпало. Оба условия выполнены, значит корни верны.
Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=\dfrac{2}{3}\).
Обратите внимание: проверять нужно оба равенства. Одна сумма ничего не гарантирует — числа \(3\) и \(\dfrac{2}{3}\) можно заменить другой парой с той же суммой, но произведение её уже разоблачит.
Составление уравнения по его корням
Задача, обратная решению: даны корни, нужно записать уравнение. Здесь работает обратная теорема напрямую.
Если нужно приведённое уравнение с корнями \(x_1\) и \(x_2\), то оно имеет вид
\[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.\]
Пример 4. Составить приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(-4\) и \(7\).
Сумма: \(-4+7=3\). Произведение: \(-4\cdot 7=-28\). Значит \(-p=3\), то есть \(p=-3\), и \(q=-28\). Уравнение: \(x^2-3x-28=0\).
Проверка подстановкой: \((-4)^2-3\cdot(-4)-28=16+12-28=0\) и \(7^2-3\cdot 7-28=49-21-28=0\). Тот же результат даёт раскрытие скобок в произведении \((x+4)(x-7)=x^2-3x-28\) — это та же идея, что и в разложении многочленов на множители.
Ответ: \(x^2-3x-28=0\).
Пример 5. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого \(\dfrac{1}{2}\) и \(-3\).
Сумма: \(\dfrac{1}{2}+(-3)=-\dfrac{5}{2}\). Произведение: \(\dfrac{1}{2}\cdot(-3)=-\dfrac{3}{2}\). Приведённое уравнение: \(x^2+\dfrac{5}{2}x-\dfrac{3}{2}=0\). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части на 2: \(2x^2+5x-3=0\).
Проверка: при \(x=\dfrac{1}{2}\) имеем \(2\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2}-3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}-3=0\); при \(x=-3\) имеем \(18-15-3=0\).
Ответ: \(2x^2+5x-3=0\).
Симметричные выражения от корней
Самое сильное применение теоремы: вычислить выражение от корней, сами корни не находя. Работает это тогда, когда выражение симметрично — не меняется при замене \(x_1\) на \(x_2\) и наоборот. Такое выражение всегда удаётся записать через сумму \(S=x_1+x_2\) и произведение \(P=x_1x_2\).
Рабочие преобразования, которые стоит знать наизусть:
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P\]
\[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{S}{P}\]
\[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=S^2-4P\]
Первое получают из формул сокращённого умножения: из квадрата суммы \((x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\) вычитают удвоенное произведение. Второе — обычное приведение дробей к общему знаменателю.
Пример 6. Корни уравнения \(x^2-6x+4=0\) обозначены \(x_1\) и \(x_2\). Найти \(x_1^2+x_2^2\) и \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\).
Сначала убеждаемся, что корни существуют: \(D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 4=36-16=20>0\). Далее по теореме Виета \(S=x_1+x_2=6\), \(P=x_1x_2=4\).
Первое выражение: \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P=36-8=28\).
Второе выражение: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{S}{P}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\).
Контроль: настоящие корни здесь \(3\pm\sqrt{5}\), и \((3-\sqrt{5})^2+(3+\sqrt{5})^2=9-6\sqrt{5}+5+9+6\sqrt{5}+5=28\). Через Виета ответ получился без единого квадратного корня в вычислениях.
Ответ: \(x_1^2+x_2^2=28\), \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{3}{2}\).
Тот же подход работает, когда известен только один корень. Скажем, в уравнении \(x^2-5x+q=0\) один корень равен 2. Сумма корней равна 5, поэтому второй корень \(5-2=3\), а \(q=2\cdot 3=6\). Полученное уравнение \(x^2-5x+6=0\) подстановка подтверждает: \(4-10+6=0\) и \(9-15+6=0\).
Типичные ошибки
- Знак в сумме. Пишут \(x_1+x_2=p\) вместо \(x_1+x_2=-p\). Минус есть только в сумме; в произведении его нет.
- Применение без проверки дискриминанта. Для \(x^2-2x+5=0\) записывают «сумма 2, произведение 5», хотя \(D=-16<0\) и корней нет. Сначала \(D\), потом Виет.
- Общий вид путают с приведённым. Для \(3x^2-11x+6=0\) пишут \(x_1+x_2=11\) вместо \(\dfrac{11}{3}\). Делить на \(a\) обязательно.
- Проверяют только одно условие. Совпадение суммы ещё не доказывает, что корни верны — нужно контролировать и произведение.
- Подбор «наугад» без учёта знаков. Если \(q<0\), корни точно разных знаков, и перебирать пары с одинаковыми знаками — пустая работа.
- Попытка найти сами корни там, где нужно лишь симметричное выражение. Для \(x_1^2+x_2^2\) корни искать не надо: \(S^2-2P\) даёт ответ сразу.
- Раскрытие квадрата суммы с ошибкой. Пишут \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2\), забыв вычесть \(2x_1x_2\).
Вывод
Теорема Виета — не альтернатива дискриминанту, а его быстрый спутник. Дискриминант отвечает на вопрос «есть ли корни», Виет — на вопрос «что с ними можно сделать дальше». Вместе они закрывают большинство задач восьмого класса о квадратных уравнениях, а в старшей школе выходят на исследование знаков корней и на квадратичную функцию.
Если устный подбор корней пока не выходит автоматически, это вопрос практики, а не способностей: нужно 20–30 отработанных уравнений под контролем. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math — разберём вашу конкретную проблему с темой и составим план, как довести навык до автоматизма.
Можно ли пользоваться теоремой Виета, если дискриминант отрицательный?
Нет. Теорема говорит о корнях уравнения, а при \(D<0\) действительных корней не существует, поэтому сумма и произведение не имеют смысла. Всегда сначала считайте \(D=b^2-4ac\) и только при \(D\geqslant 0\) применяйте формулы Виета.
Чем обратная теорема Виета отличается от прямой?
Прямая теорема идёт от корней к коэффициентам: если корни есть, то их сумма равна \(-p\), а произведение \(q\). Обратная идёт в противоположном направлении: если вы подобрали два числа с такой суммой и таким произведением, то это и есть корни уравнения. Именно обратная теорема позволяет решать уравнения устно.
Как применить теорему Виета, если старший коэффициент не равен единице?
Используйте общую форму: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) и \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\). Или разделите всё уравнение на \(a\) и работайте с приведённым. Для \(3x^2-11x+6=0\) это даёт сумму \(\dfrac{11}{3}\) и произведение 2.
Зачем теорема Виета, если есть формула дискриминанта?
Ради скорости и задач другого типа. Она даёт устное решение для уравнений с целыми корнями, мгновенную проверку уже найденных корней и — самое главное — позволяет вычислять выражения вроде \(x_1^2+x_2^2\) или \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\), вообще не находя самих корней.
