Вписанная и описанная окружность треугольника
В любой треугольник можно вписать ровно одну окружность и вокруг любого треугольника можно описать ровно одну окружность. Звучит просто, но именно здесь школьники путают два центра, два радиуса и четыре формулы, которые выглядят похоже. В Tutor-Math мы даём тему как пару «центр — формула радиуса» с чётким критерием, когда какую формулу брать. Ниже — определения, все рабочие формулы, отдельный разбор прямоугольного и равностороннего треугольников и шесть полностью посчитанных примеров.
Две окружности, два центра: определения
Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Её центр — инцентр — лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Радиус обозначают \(r\).
Описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Радиус обозначают \(R\).
Логика обоих центров одинакова, и её стоит понять раз и навсегда. Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла — поэтому точка пересечения трёх биссектрис равноудалена от всех трёх сторон, и это общее расстояние и есть \(r\). Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка — поэтому точка пересечения трёх серединных перпендикуляров равноудалена от всех трёх вершин, и это общее расстояние есть \(R\).
Отсюда сразу два следствия. Первое: инцентр всегда лежит внутри треугольника, потому что биссектрисы идут внутрь. Второе: центр описанной окружности может оказаться и вне треугольника — об этом отдельный раздел. Если биссектрисы и серединные перпендикуляры пока размытые понятия, сначала просмотрите медианы, высоты и биссектрисы, а базовую терминологию окружности — в статье про окружность и круг.
Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{S}{p}\)
Основная формула. Если \(S\) — площадь треугольника, а \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) — его полупериметр, то
\[r=\frac{S}{p},\qquad\text{равносильно}\qquad S=p\,r\]
Вывод занимает одну строку. Соедините инцентр с тремя вершинами — треугольник распадётся на три меньших. Основание каждого — сторона треугольника, а высота — радиус \(r\), потому что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Складываем площади:
\[S=\tfrac{1}{2}ar+\tfrac{1}{2}br+\tfrac{1}{2}cr=\tfrac{1}{2}(a+b+c)\,r=p\,r\]Практически это значит, что вписанную окружность почти никогда не считают напрямую. Сначала находят площадь — чаще всего по формуле Герона — а потом делят её на полупериметр. Все способы найти \(S\) собраны в статье про площадь треугольника.
Радиус описанной окружности: две формулы
Через три стороны и площадь: \(\;R=\dfrac{abc}{4S}\).
Через теорему синусов: \(\;R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{b}{2\sin B}=\dfrac{c}{2\sin C}\).
Вторая формула — это просто расширенная теорема синусов, записанная относительно \(R\). Важная деталь: сторона и синус должны соответствовать друг другу — в числителе сторона \(a\), в знаменателе синус противолежащего ей угла \(A\). Это ошибка номер один в теме.
Обе формулы дают один и тот же результат, но требуют разных данных, и именно поэтому их две. Синусная работает даже тогда, когда известны лишь одна сторона и один угол — остальной треугольник не нужен.
Критерий: какую формулу брать
Это главный практический раздел. Смотрите не на формулу, а на то, что дано.
- Даны три стороны — считайте \(p\), затем \(S\) по Герону, далее \(r=\dfrac{S}{p}\) и \(R=\dfrac{abc}{4S}\). Универсальный путь, работает всегда.
- Дана сторона и противолежащий ей угол — только \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\). Самый быстрый способ, остальные здесь бессильны.
- Треугольник прямоугольный — не считайте ничего лишнего: \(R=\dfrac{c}{2}\) (половина гипотенузы) и \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\).
- Треугольник равносторонний — \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\), \(R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\), и всегда \(R=2r\).
- Даны \(S\) и \(p\) (или периметр) — сразу \(r=\dfrac{S}{p}\), Герон не нужен.
И контрольное соотношение, которое стоит держать в голове: на одном и том же треугольнике должны одновременно выполняться \(S=pr\) и \(S=\dfrac{abc}{4R}\). Если подставили и не совпало — где-то ошибка в арифметике.
Где лежит центр описанной окружности
Положение инцентра вопросов не вызывает — он всегда внутри. А вот центр описанной окружности ведёт себя по-разному, и именно на этом строят задачи.
В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
В прямоугольном — на середине гипотенузы.
В тупоугольном — вне треугольника, с другой стороны от самой длинной стороны.
Случай прямоугольного треугольника надо знать наизусть — это самое частое задание темы. Объяснение простое: вписанный угол опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой. Значит, гипотенуза прямоугольного треугольника — это диаметр описанной окружности, а её середина — центр. Отсюда сразу два следствия:
- \(R=\dfrac{c}{2}\), где \(c\) — гипотенуза;
- медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы (она же радиус, ведь соединяет центр с вершиной).
Прямоугольный треугольник: формула \(r=\frac{a+b-c}{2}\)
Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\):
\[r=\frac{a+b-c}{2}\]
Формула выглядит загадочно, но выводится из отрезков касательных. Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Из вершины прямого угла выходят два таких отрезка, и вместе с двумя радиусами они образуют квадрат со стороной \(r\). Поэтому катеты разбиваются так: \(a=r+x\), \(b=r+y\), а гипотенуза \(c=x+y\). Складываем первые два равенства и вычитаем третье: \(a+b-c=2r\).
Эту формулу необязательно зубрить — она легко проверяется через \(r=\dfrac{S}{p}\), но на контрольной экономит две минуты.
Равносторонний треугольник: \(R=2r\)
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают — поэтому оба центра совпадают тоже. Эта общая точка делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Большая часть — это \(R\), меньшая — \(r\). Отсюда и главное соотношение:
\[R=2r\]Через сторону \(a\): высота равна \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(R=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) и \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\). Важно: равенство \(R=2r\) выполняется только для равностороннего треугольника — переносить его на другие треугольники нельзя.
Пример 1. Треугольник со сторонами 13, 14, 15
Найти \(r\) и \(R\), а затем проверить согласованность обеих формул площади.
Полупериметр: \(p=\dfrac{13+14+15}{2}=21\). Площадь по Герону:
\[S=\sqrt{21\cdot(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84\]Далее радиусы:
\[r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4,\qquad R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8{,}125\]Проверка согласованности на том же треугольнике: \(p\,r=21\cdot 4=84=S\) — совпало; \(\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{2730}{4\cdot 8{,}125}=\dfrac{2730}{32{,}5}=84=S\) — тоже совпало.
Ответ: \(r=4\), \(R=8{,}125\); обе формулы площади дают \(S=84\).
Пример 2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8
Гипотенуза: \(c=\sqrt{36+64}=10\). Используем «быстрые» формулы:
\[R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5,\qquad r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2\]Проверим общими формулами. \(S=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24\), \(p=\dfrac{6+8+10}{2}=12\), отсюда \(r=\dfrac{24}{12}=2\) и \(R=\dfrac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=\dfrac{480}{96}=5\). Значения те же.
Ответ: \(r=2\), \(R=5\), центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Пример 3. Радиус описанной окружности равен 6,5
Треугольник прямоугольный, один из катетов равен 5. Найти радиус вписанной окружности.
Поскольку треугольник прямоугольный, гипотенуза — диаметр: \(c=2R=2\cdot 6{,}5=13\). Второй катет по теореме Пифагора: \(b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Теперь \(r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{5+12-13}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).
Контроль: \(S=\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30\), \(p=\dfrac{5+12+13}{2}=15\), \(\dfrac{S}{p}=\dfrac{30}{15}=2\). Сходится.
Ответ: \(r=2\).
Пример 4. Сторона 12 лежит против угла \(120^\circ\)
Здесь дано ровно то, что нужно синусной формуле: сторона и противолежащий ей угол. Никаких других данных не требуется.
\[R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12}{2\sin 120^\circ}=\frac{12}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\]Обратите внимание: угол тупой, но \(\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — синус положительный, формула работает без оговорок. Попытка вместо этого искать площадь обречена: трёх сторон мы не знаем.
Ответ: \(R=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\).
Пример 5. Равносторонний треугольник со стороной 6
\[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\approx 1{,}73,\qquad R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\]Соотношение \(R=2r\) выполняется: \(2\sqrt{3}=2\cdot\sqrt{3}\).
Проверка общими формулами: \(p=9\), \(S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\), тогда \(r=\dfrac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3}\) и \(R=\dfrac{6\cdot 6\cdot 6}{4\cdot 9\sqrt{3}}=\dfrac{216}{36\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\). Всё сходится.
Ответ: \(r=\sqrt{3}\), \(R=2\sqrt{3}\), и действительно \(R=2r\).
Пример 6. Тупоугольный треугольник 7, 15, 20
Сначала убедимся, что треугольник тупоугольный: \(7^2+15^2=49+225=274\), а \(20^2=400\). Поскольку \(274 < 400\), угол против стороны 20 тупой.
Полупериметр \(p=\dfrac{7+15+20}{2}=21\). Площадь:
\[S=\sqrt{21\cdot(21-7)(21-15)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}=\sqrt{1764}=42\] \[r=\frac{42}{21}=2,\qquad R=\frac{7\cdot 15\cdot 20}{4\cdot 42}=\frac{2100}{168}=12{,}5\]Обратите внимание на \(R=12{,}5\): это больше половины самой длинной стороны (\(20:2=10\)) — именно поэтому центр описанной окружности вышел за пределы треугольника. Вписанная окружность, как всегда, внутри.
Ответ: \(r=2\), \(R=12{,}5\), центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Типичные ошибки
- Путают центры. Инцентр — пересечение биссектрис, центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров. Это разные точки (совпадают только в равностороннем треугольнике).
- В формуле \(r=\dfrac{S}{p}\) подставляют периметр вместо полупериметра. Ответ получается вдвое меньше. В формуле стоит именно \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\).
- В синусной формуле берут «не тот» угол. \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\) требует угол, противолежащий стороне \(a\), а не любой угол треугольника.
- Забывают двойку: пишут \(R=\dfrac{a}{\sin A}\). В расширенной теореме синусов \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\), то есть отношение даёт диаметр, а не радиус.
- Переносят \(R=2r\) на произвольный треугольник. Это свойство исключительно равностороннего. Для 13-14-15 имеем \(r=4\), \(R=8{,}125\) — и \(8{,}125\ne 8\).
- Применяют \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\) к непрямоугольному треугольнику. Формула выведена из квадрата у прямого угла и без него не работает.
- Считают, что центр описанной окружности всегда внутри. В тупоугольном треугольнике он снаружи, в прямоугольном — на стороне.
Вывод
Вся тема держится на четырёх формулах: \(r=\dfrac{S}{p}\), \(R=\dfrac{abc}{4S}\), \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\) и — для прямоугольного треугольника — \(R=\dfrac{c}{2}\) с \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\). Выбирайте формулу по данным задачи, а не по привычке, и всегда проверяйте результат соотношением \(S=pr\). Если тема не складывается в цельную картину, приходите на пробное занятие — разберём на ваших задачах и закроем пробелы за несколько занятий.
В каждый ли треугольник можно вписать окружность?
Да, и ровно одну. Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от всех трёх сторон — она и есть центр вписанной окружности. Так же у любого треугольника есть ровно одна описанная окружность. Для четырёхугольников это уже не так: там нужны специальные условия.
Почему радиус описанной окружности прямоугольного треугольника — половина гипотенузы?
Потому что вписанный угол равен \(90^\circ\) тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр. Прямой угол треугольника опирается на гипотенузу, значит гипотенуза — диаметр описанной окружности, а её середина — центр. Отсюда \(R=\dfrac{c}{2}\) и известное следствие: медиана к гипотенузе равна её половине.
Как быстро найти \(r\) и \(R\), если даны только три стороны?
Посчитайте полупериметр \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\), затем площадь по формуле Герона, а дальше \(r=\dfrac{S}{p}\) и \(R=\dfrac{abc}{4S}\). Это универсальный путь: три стороны однозначно задают треугольник, поэтому оба радиуса находятся без каких-либо дополнительных данных.
Правда ли, что \(R\) всегда больше \(r\)?
Да, для любого треугольника выполняется неравенство Эйлера \(R\ge 2r\), причём равенство \(R=2r\) достигается только для равностороннего. То есть описанная окружность не просто больше — её радиус как минимум вдвое больше радиуса вписанной. Для треугольника 13-14-15: \(r=4\), \(R=8{,}125\), и действительно \(8{,}125>8\).
