Арифметична прогресія: формули та задачі
Арифметична прогресія — перша тема дев'ятого класу, де школяр працює не з окремим числом, а з цілою нескінченною послідовністю. Звучить складно, а насправді все тримається на одній ідеї: кожен наступний член більший за попередній на одну й ту саму величину. На заняттях у Tutor-Math ми починаємо саме з цієї ідеї, бо з неї механічно виводяться всі формули — і n-го члена, і суми. Розберімо тему повністю: означення, чотири робочі формули, шість розібраних задач і типові помилки, на яких сиплються на контрольній.
Означення і різниця прогресії
Означення. Арифметична прогресія — це числова послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданому до одного й того самого числа \(d\). Це число називають різницею прогресії.
Формально: \(a_{n+1}=a_n+d\) для будь-якого натурального \(n\). Звідси одразу спосіб знайти різницю:
\[ d = a_{n+1} - a_n \]Різницю можна порахувати за будь-якою парою сусідніх членів — результат буде однаковий. Це, до речі, найшвидший спосіб перевірити, чи є послідовність прогресією взагалі: беремо кілька пар сусідів і дивимось, чи збігаються різниці.
Приклад: послідовність 3, 7, 11, 15, 19. Тут \(7-3=4\), \(11-7=4\), \(15-11=4\), \(19-15=4\). Різниці однакові, отже це арифметична прогресія з \(d=4\).
А послідовність 2, 4, 8, 16 прогресією не є: \(4-2=2\), але \(8-4=4\). Різниці різні. Ця послідовність будується множенням, а не додаванням — це вже геометрична прогресія, окрема тема з власними формулами.
Зростаюча і спадна прогресія
Знак різниці повністю визначає поведінку послідовності — тут не треба нічого запам'ятовувати, достатньо подумати:
- \(d>0\) — прогресія зростаюча, кожен наступний член більший (3, 7, 11, 15...);
- \(d<0\) — прогресія спадна, кожен наступний менший (20, 17, 14, 11...);
- \(d=0\) — усі члени однакові, прогресія стаціонарна (5, 5, 5, 5...).
Важливо: спадна прогресія рано чи пізно стане від'ємною, скільки б додатних членів вона не мала на початку. Крок фіксований, тому падіння не сповільнюється — і на цьому побудований цілий тип задач «скільки додатних членів має прогресія».
Формула n-го члена
Рухатися від \(a_1\) до \(a_{100}\), додаючи \(d\) сто разів, ніхто не буде. Подивімось, як накопичується різниця:
- \(a_2=a_1+d\) — додали \(d\) один раз;
- \(a_3=a_2+d=a_1+2d\) — двічі;
- \(a_4=a_1+3d\) — тричі.
Кроків завжди на один менше, ніж номер члена. Звідси головна формула теми:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]Найчастіша помилка — написати \(nd\) замість \((n-1)d\). Перевіряйте формулу на \(n=1\): має вийти \(a_1+0\cdot d=a_1\). Якщо виходить \(a_1+d\), ви загубили одиницю.
Зверніть увагу на структуру: \(a_n=dn+(a_1-d)\) — це лінійна функція від номера \(n\), де \(d\) грає роль кутового коефіцієнта. Тому точки прогресії на графіку завжди лежать на одній прямій. Ця аналогія допомагає: якщо ви розумієте лінійну функцію, ви вже розумієте прогресію.
Приклад 1. Знайти член прогресії за номером
Дано \(a_1=5\), \(d=3\). Знайти \(a_{20}\).
Підставляємо в формулу n-го члена:
\[ a_{20} = 5 + (20-1)\cdot 3 = 5 + 19\cdot 3 = 5 + 57 = 62 \]Перевірка на малих номерах: 5, 8, 11, 14 — різниця справді 3.
Відповідь: \(a_{20}=62\).
Дві формули суми: коли яку брати
Суму перших \(n\) членів позначають \(S_n\). Формул дві, і вони абсолютно рівносильні — просто зручні в різних ситуаціях.
Перша формула (через крайні члени): \[ S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \]
Друга формула (через різницю): \[ S_n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n \]
Друга виходить із першої простою підстановкою \(a_n=a_1+(n-1)d\), тому це не два різні факти, а один факт у двох записах.
Правило вибору просте:
- відомі перший і останній члени — беріть першу формулу, вона коротша;
- відомі перший член і різниця, а останній невідомий — беріть другу, вона не вимагає спершу рахувати \(a_n\);
- шукаєте кількість членів за відомою сумою — тільки друга, бо в ній \(n\) — єдина невідома.
Перевіримо обидві на прикладі 1: \(a_1=5\), \(d=3\), \(n=20\), \(a_{20}=62\).
\[ S_{20} = \frac{5+62}{2}\cdot 20 = \frac{67}{2}\cdot 20 = 67\cdot 10 = 670 \] \[ S_{20} = \frac{2\cdot 5+19\cdot 3}{2}\cdot 20 = \frac{10+57}{2}\cdot 20 = \frac{67}{2}\cdot 20 = 670 \]Результат однаковий — 670. Так і має бути.
Історична вставка: Гаусс і сума від 1 до 100
Історія, яку розповідають у кожному підручнику. Учитель дав класу нудне завдання — додати всі числа від 1 до 100. Десятирічний Карл Фрідріх Гаусс здав відповідь майже одразу.
Він помітив, що числа можна скласти в пари з кінців: \(1+100=101\), \(2+99=101\), \(3+98=101\). Кожна пара дає 101, а пар рівно \(100:2=50\). Отже, сума дорівнює \(101\cdot 50=5050\).
Це і є перша формула суми в чистому вигляді: тут \(a_1=1\), \(a_{100}=100\), \(n=100\), тобто
\[ S_{100} = \frac{1+100}{2}\cdot 100 = \frac{101}{2}\cdot 100 = 5050 \]Пряме додавання всіх ста доданків дає те саме число 5050 — формула не спрощує, вона рахує точно.
Характеристична властивість
Властивість. Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх: \[ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \]
Чому так: \(a_{n-1}=a_n-d\), \(a_{n+1}=a_n+d\). При додаванні \(d\) і \(-d\) взаємно знищуються, лишається \(2a_n\), а після ділення на 2 — сам \(a_n\).
Зручніша для розв'язування форма — без дробу:
\[ 2a_n = a_{n-1} + a_{n+1} \]Ця властивість працює і в зворотний бік: якщо в послідовності кожен член дорівнює середньому арифметичному сусідів, то це обов'язково арифметична прогресія. Саме тому властивість називають характеристичною — вона повністю характеризує прогресію, її можна брати за альтернативне означення.
Приклад 2. Знайти прогресію за двома членами
Дано \(a_5=17\) і \(a_{12}=45\). Знайти \(a_1\) і \(d\).
Записуємо обидва члени через формулу n-го члена й отримуємо систему двох рівнянь:
\[ \begin{cases} a_1 + 4d = 17 \\ a_1 + 11d = 45 \end{cases} \]Віднімаємо перше рівняння від другого — \(a_1\) зникає:
\[ 7d = 28, \qquad d = 4 \]Підставляємо в перше: \(a_1+4\cdot 4=17\), звідси \(a_1=17-16=1\).
Перевірка: прогресія 1, 5, 9, 13, 17 — п'ятий член справді 17. І \(a_{12}=1+11\cdot 4=1+44=45\) — збігається.
Відповідь: \(a_1=1\), \(d=4\).
Приклад 3. Знайти номер члена
Чи є число 143 членом прогресії 7, 11, 15, ...? Якщо так — під яким номером?
Спочатку різниця: \(d=11-7=4\), \(a_1=7\). Припускаємо, що 143 — це \(a_n\), і розв'язуємо лінійне рівняння відносно \(n\):
\[ 7 + (n-1)\cdot 4 = 143 \] \[ (n-1)\cdot 4 = 136 \] \[ n - 1 = 34, \qquad n = 35 \]Число 35 — натуральне, отже 143 справді член прогресії. Перевірка: \(a_{35}=7+34\cdot 4=7+136=143\).
Критично важливий момент: якби \(n\) вийшло дробовим або від'ємним, відповідь була б «ні, це число не є членом прогресії». Наприклад, для числа 145 отримали б \(n-1=34{,}5\) — не натуральне, значить 145 у цій прогресії не трапляється.
Відповідь: так, це 35-й член.
Приклад 4. Скільки додатних членів має прогресія
Прогресія 62, 58, 54, ... Скільки в ній додатних членів і чому дорівнює їхня сума?
Різниця \(d=58-62=-4\), прогресія спадна, \(a_1=62\). Умова додатності:
\[ 62 + (n-1)\cdot(-4) > 0 \] \[ 62 - 4n + 4 > 0 \] \[ 66 > 4n, \qquad n < 16{,}5 \]Номери натуральні, тому \(n\) може набувати значень від 1 до 16. Додатних членів рівно 16.
Перевіримо межу. Шістнадцятий член: \(a_{16}=62+15\cdot(-4)=62-60=2\) — додатний. Сімнадцятий: \(a_{17}=62+16\cdot(-4)=62-64=-2\) — уже від'ємний. Межу знайдено правильно.
Сума цих шістнадцяти членів (відомі \(a_1\) і \(a_{16}\), тому беремо першу формулу):
\[ S_{16} = \frac{62+2}{2}\cdot 16 = \frac{64}{2}\cdot 16 = 32\cdot 16 = 512 \]Відповідь: 16 додатних членів, їхня сума 512.
Приклад 5. Задача на характеристичну властивість
При якому \(x\) числа \(x-2\), \(3x\), \(x+14\) утворюють арифметичну прогресію?
Середній член має дорівнювати середньому арифметичному крайніх, тобто \(2\cdot 3x=(x-2)+(x+14)\):
\[ 6x = 2x + 12 \] \[ 4x = 12, \qquad x = 3 \]Підставляємо \(x=3\) назад: \(x-2=1\), \(3x=9\), \(x+14=17\). Отримали трійку 1, 9, 17. Різниці: \(9-1=8\) і \(17-9=8\) — однакові, прогресія є.
Відповідь: \(x=3\), прогресія 1, 9, 17 з різницею 8.
Приклад 6. Знайти кількість членів за сумою
Скільки перших членів прогресії 4, 7, 10, ... треба взяти, щоб їхня сума дорівнювала 1000?
Тут \(a_1=4\), \(d=3\), останній член невідомий — працює тільки друга формула суми:
\[ \frac{2\cdot 4+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n = 1000 \]Множимо обидві частини на 2 і розкриваємо дужки:
\[ (8+3n-3)\cdot n = 2000 \] \[ 3n^2 + 5n - 2000 = 0 \]Дискримінант: \(D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2000)=25+24000=24025\), і \(\sqrt{24025}=155\), бо \(155^2=24025\).
\[ n = \frac{-5 \pm 155}{6} \]Перший корінь \(n=\dfrac{150}{6}=25\), другий \(n=\dfrac{-160}{6}=-\dfrac{80}{3}\). Другий відкидаємо: кількість членів — натуральне число.
Перевірка підстановкою: \(a_{25}=4+24\cdot 3=76\), тоді \(S_{25}=\dfrac{4+76}{2}\cdot 25=40\cdot 25=1000\). Збігається.
Відповідь: 25 членів.
Прогресія в реальному житті
Тема не така абстрактна, як здається. Будь-яке рівномірне накопичення або рівномірне нарощування навантаження — це арифметична прогресія.
План тренувань. Учень починає з 15 хвилин бігу й щодня додає по 5 хвилин. Це прогресія з \(a_1=15\), \(d=5\). Коли він добіжить до години?
\[ 15 + (n-1)\cdot 5 = 60 \quad \Rightarrow \quad (n-1)\cdot 5 = 45 \quad \Rightarrow \quad n = 10 \]На десятий день. А загальний час за ці десять днів:
\[ S_{10} = \frac{15+60}{2}\cdot 10 = \frac{75}{2}\cdot 10 = 375 \]Тобто 375 хвилин, або 6 годин 15 хвилин.
Накопичення. У перший місяць відкладено 200 гривень, і щомісяця сума внеску зростає на 50. За рік останній внесок становитиме \(a_{12}=200+11\cdot 50=750\) грн, а всього буде накопичено \(S_{12}=\dfrac{200+750}{2}\cdot 12=475\cdot 12=5700\) грн.
Типові помилки
- Формула \(a_n=a_1+nd\) замість \(a_1+(n-1)d\). Найпоширеніша помилка теми. Різницю додають на один раз менше, ніж номер члена. Швидка самоперевірка: підставте \(n=1\) — має вийти рівно \(a_1\).
- Забувають множити на \(n\) у формулі суми. Дріб \(\frac{a_1+a_n}{2}\) — це лише середнє арифметичне крайніх членів, а не сума. Його обов'язково множать на кількість доданків.
- Різницю рахують «навпаки»: \(d=a_n-a_{n+1}\). Тоді у спадної прогресії \(d\) виходить додатним, і вся задача розсипається. Різниця — це завжди наступний мінус попередній.
- Приймають дробове \(n\) як відповідь. Номер члена — натуральне число. Якщо в задачі «чи є число членом прогресії» вийшло \(n=12{,}5\), правильна відповідь — «не є», а не «дванадцятий з половиною».
- У задачах на кількість додатних членів плутають строгу й нестрогу нерівність. «Додатні» означає \(a_n>0\), нуль сюди не входить. Якщо в умові «невід'ємні» — тоді \(a_n\geq 0\), і відповідь може відрізнятися на один член.
- Обидва корені квадратного рівняння записують у відповідь. У задачах на суму від'ємний або дробовий корінь завжди стороннім — кількість членів не буває від'ємною.
- Плутають арифметичну прогресію з геометричною. В арифметичній до члена додають \(d\), у геометричній множать на \(q\). Перевірка одна: порахуйте різниці сусідніх членів і їхні частки — що вийде сталим, така й прогресія.
Висновок
Уся тема тримається на трьох формулах: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для будь-якого члена і дві формули суми, які обираються за тим, що дано в умові. Решта — техніка: скласти рівняння, розв'язати, перевірити натуральність номера. Ця тема з тих, де кількість розв'язаних задач напряму переходить у бали на ДПА й НМТ, бо типів задач небагато й вони повторюються з року в рік.
Якщо формули запам'ятовуються, а задачі все одно «не йдуть» — зазвичай проблема не в прогресії, а в базі: лінійних рівняннях або в роботі з нерівностями. На пробному занятті викладач Tutor-Math знайде, де саме розривається ланцюжок, і побудує план, який закриє прогалину, а не просто «прорішає ще двадцять номерів».
Що таке різниця арифметичної прогресії?
Це число \(d\), яке додають до кожного члена, щоб отримати наступний. Обчислюється як різниця будь-яких двох сусідніх членів: \(d=a_{n+1}-a_n\). Якщо \(d>0\), прогресія зростає, якщо \(d<0\) — спадає, якщо \(d=0\) — усі члени однакові.
Яку формулу суми обрати на контрольній?
Якщо в умові є перший і останній члени — беріть \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n\), вона коротша. Якщо відомі перший член і різниця, а останній треба було б спершу рахувати, — беріть \(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n\). Коли шукають кількість членів за відомою сумою, придатна тільки друга формула: у ній \(n\) — єдина невідома.
Як перевірити, що послідовність є арифметичною прогресією?
Порахуйте різниці кількох пар сусідніх членів. Якщо всі вони однакові — це арифметична прогресія. Другий спосіб — характеристична властивість: кожен член має дорівнювати середньому арифметичному сусідів, тобто \(2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\).
Чому в формулі стоїть \((n-1)d\), а не \(nd\)?
Бо від першого члена до n-го різницю додають на один раз менше, ніж номер. Щоб дійти від \(a_1\) до \(a_2\), потрібен один крок, до \(a_3\) — два кроки, до \(a_n\) — \(n-1\) кроків. Перевірка: при \(n=1\) формула дає \(a_1+0\cdot d=a_1\), як і має бути.
