Формули скороченого множення: усі сім формул із прикладами
Формули скороченого множення — це готові результати множення, які не треба щоразу виводити наново. Тема з'являється в сьомому класі й далі супроводжує учня до випускних іспитів: без неї не розкласти многочлен на множники, не спростити дріб, не розв'язати квадратне рівняння коротким способом. У Tutor-Math ми доводимо ці сім формул до автоматизму саме тому, що в старших класах їх застосовують мимохідь, усередині довших перетворень, — часу «пригадувати» вже не буде. Розберімо кожну формулу з формулюванням, поясненням і прикладами, порахованими до кінця.
Навіщо взагалі потрібні ці формули
Перше й найочевидніше — швидкість. Добуток \((a+b)(a+b)\) можна розкрити почленно за чотири множення, а можна записати відповідь одразу. На контрольній це економія хвилин, а головне — менше шансів помилитися в проміжних діях.
Друге і важливіше — зворотний напрямок. Кожна формула працює в обидва боки. Зліва направо вона розкриває дужки, справа наліво — згортає суму в добуток, тобто розкладає многочлен на множники. Саме зворотний напрямок робить формули незамінними: скоротити алгебраїчний дріб можна тільки тоді, коли чисельник і знаменник записані як добутки.
Третє — обчислення без калькулятора. Квадрат числа 51 або добуток \(49 \cdot 51\) рахуються усно за кілька секунд, якщо побачити в них потрібну формулу. Про це буде окремий розділ нижче.
Квадрат суми
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого плюс подвоєний добуток першого на другий плюс квадрат другого:
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Звідки береться середній доданок, видно з прямого множення: \((a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2\), а \(ab\) і \(ba\) — це те саме, тому їх зводять у \(2ab\).
Є й наочна геометрична картинка. Візьміть квадрат зі стороною \(a+b\) і розріжте його на чотири частини лініями, що ділять сторону на відрізки \(a\) і \(b\). Вийдуть: великий квадрат площею \(a^2\), маленький квадрат площею \(b^2\) і два однакові прямокутники зі сторонами \(a\) і \(b\), тобто площею \(ab\) кожен. Разом: \(a^2 + 2ab + b^2\). Ця картинка добре пояснює, чому подвоєний добуток не може зникнути — це реальні два прямокутники, вони займають місце.
Мікроприклад: \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\).
Квадрат різниці
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого мінус подвоєний добуток першого на другий плюс квадрат другого:
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Порівняно з квадратом суми змінюється лише один знак — перед подвоєним добутком. Крайні доданки залишаються додатними завжди: це квадрати, а квадрат будь-якого виразу невід'ємний. Якщо вам хочеться поставити мінус перед \(b^2\) — це помилка, і про неї ще буде згадано.
Мікроприклад: \((2y-5)^2 = (2y)^2 - 2\cdot 2y\cdot 5 + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25\).
Різниця квадратів
Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на їхню суму:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Це найуживаніша формула теми, і майже завжди її застосовують справа наліво — для розкладання на множники. Перевірити її легко: розкрийте дужки в правій частині, і середні доданки \(-ab\) та \(+ab\) взаємно знищаться.
Важливо: суми квадратів \(a^2 + b^2\) на множники в межах шкільної алгебри розкласти не можна. Формули «сума квадратів» не існує, і придумувати її не треба.
Мікроприклад: \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)\). Формулу іноді доводиться застосовувати двічі: \(x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)\). Щоб упевнено бачити такі кроки, варто твердо знати степінь з натуральним показником — зокрема правило \((a^m)^n = a^{mn}\).
Куб суми
Куб суми дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого на другий плюс потроєний добуток першого на квадрат другого плюс куб другого:
\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
Формулювання довге, але структура проста: чотири доданки, степінь \(a\) спадає з 3 до 0, степінь \(b\) зростає з 0 до 3, коефіцієнти йдуть 1, 3, 3, 1. Усі знаки — плюси.
Мікроприклад: \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 4 + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\).
Куб різниці
Куб різниці дорівнює кубу першого мінус потроєний добуток квадрата першого на другий плюс потроєний добуток першого на квадрат другого мінус куб другого:
\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]
Порядок доданків той самий, змінюються тільки знаки: вони чергуються — плюс, мінус, плюс, мінус. Логіка проста: у доданку мінус з'являється тоді, коли \(b\) стоїть у непарному степені.
Мікроприклад: \((y-1)^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1\).
Сума кубів
Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їхньої різниці:
\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\]
Другу дужку називають неповним квадратом різниці: вона схожа на \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), але добуток тут не подвоєний, а звичайний. Слово «неповний» саме про відсутню двійку.
Мікроприклад: \(x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)\).
Різниця кубів
Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їхньої суми:
\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\]
Запам'ятовувати знаки найзручніше так: у першій дужці стоїть той самий знак, що й у лівій частині, а в другій дужці — протилежний. Сума кубів: \((+)\) і всередині \(-ab\). Різниця кубів: \((-)\) і всередині \(+ab\). Останній доданок \(b^2\) у обох випадках із плюсом.
Мікроприклад: \(27 - m^3 = 3^3 - m^3 = (3-m)(9 + 3m + m^2)\).
Усі сім формул одним блоком
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) — квадрат суми
- \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) — квадрат різниці
- \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) — різниця квадратів
- \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — куб суми
- \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) — куб різниці
- \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — сума кубів
- \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) — різниця кубів
Цей список варто виписати на окремий аркуш і тримати перед очима перші два тижні роботи з темою. Через два тижні аркуш зазвичай уже не потрібен.
Усний рахунок через формули скороченого множення
Прийом простий: подати число як суму або різницю з «круглим» числом — 10, 50, 100, 200 — і застосувати формулу.
Квадрат числа, близького до круглого. Рахуємо \(51^2\). Подаємо 51 як \(50+1\) і застосовуємо квадрат суми: \(51^2 = 50^2 + 2\cdot 50\cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601\).
Так само працює квадрат різниці: \(98^2 = (100-2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9604\). І ще один: \(205^2 = (200+5)^2 = 40\,000 + 2000 + 25 = 42\,025\).
Добуток чисел, симетричних відносно круглого. Рахуємо \(49 \cdot 51\). Обидва числа стоять на однаковій відстані від 50, тому це різниця квадратів: \(49 \cdot 51 = (50-1)(50+1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499\).
Ще приклад: \(37 \cdot 43 = (40-3)(40+3) = 1600 - 9 = 1591\). Перевірте письмовим множенням — збігається, але усно вийшло швидше.
Цей прийом стане в пригоді не лише в алгебрі: він добре економить час у задачах, де потрібно оцінити результат до кінцевих обчислень.
Приклад 1. Піднести до квадрата двочлен
Розкрити дужки: \((3x+5y)^2\).
Перший вираз — \(3x\), другий — \(5y\). Підставляємо у формулу квадрата суми:
\[(3x+5y)^2 = (3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 5y + (5y)^2\]
Тепер обчислюємо кожен доданок: \((3x)^2 = 9x^2\) — у квадрат підноситься і коефіцієнт, і буква; \(2\cdot 3x\cdot 5y = 30xy\); \((5y)^2 = 25y^2\).
Відповідь: \(9x^2 + 30xy + 25y^2\).
Приклад 2. Розкласти на множники різницю квадратів
Розкласти на множники: \(49a^2 - 25b^4\).
Треба побачити в кожному доданку квадрат. \(49a^2 = (7a)^2\), а \(25b^4 = (5b^2)^2\) — тут працює правило \((b^2)^2 = b^4\). Отже, перед нами різниця квадратів виразів \(7a\) і \(5b^2\):
\[49a^2 - 25b^4 = (7a)^2 - (5b^2)^2 = (7a - 5b^2)(7a + 5b^2)\]
Відповідь: \((7a - 5b^2)(7a + 5b^2)\).
Приклад 3. Розкласти на множники суму кубів
Розкласти на множники: \(27x^3 + 8\).
Записуємо обидва доданки як куби: \(27x^3 = (3x)^3\), \(8 = 2^3\). Застосовуємо формулу суми кубів, де перший вираз \(3x\), другий 2:
\[(3x)^3 + 2^3 = (3x+2)\big((3x)^2 - 3x\cdot 2 + 2^2\big) = (3x+2)(9x^2 - 6x + 4)\]
Другу дужку далі не розкладають: неповний квадрат різниці на множники не розкладається.
Відповідь: \((3x+2)(9x^2 - 6x + 4)\).
Приклад 4. Спростити вираз
Спростити: \((x+4)^2 - (x-4)^2\).
Спосіб перший — розкрити обидва квадрати:
\[(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 8x + 16)\]
Знак мінус перед другою дужкою змінює знак кожного доданка всередині неї: \(x^2 + 8x + 16 - x^2 + 8x - 16 = 16x\).
Спосіб другий, коротший, — побачити різницю квадратів, де «квадратами» є самі дужки: \(\big((x+4) - (x-4)\big)\big((x+4) + (x-4)\big) = 8 \cdot 2x = 16x\).
Перевірка при \(x=1\): \(5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\), і \(16\cdot 1 = 16\). Збіглося.
Відповідь: \(16x\).
Приклад 5. Обчислити значення виразу
Обчислити \(x^2 - y^2\), якщо \(x = 6{,}25\), \(y = 3{,}75\).
Підносити ці числа до квадрата «в лоб» довго й легко помилитися. Спочатку розкладемо вираз на множники:
\[x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\]
Тепер підставляємо: \(x - y = 6{,}25 - 3{,}75 = 2{,}5\), а \(x + y = 6{,}25 + 3{,}75 = 10\). Множимо: \(2{,}5 \cdot 10 = 25\).
Це типове завдання «на кмітливість» у контрольних: воно перевіряє не арифметику, а вміння побачити формулу.
Відповідь: 25.
Приклад 6. Куб різниці та згортання у квадрат
Частина а). Розкрити дужки: \((2a-1)^3\).
Перший вираз \(2a\), другий 1. За формулою куба різниці:
\[(2a)^3 - 3(2a)^2\cdot 1 + 3\cdot 2a\cdot 1^2 - 1^3 = 8a^3 - 12a^2 + 6a - 1\]
Частина б). Записати у вигляді квадрата двочлена: \(100a^2 - 60a + 9\).
Крайні доданки — квадрати: \(100a^2 = (10a)^2\), \(9 = 3^2\). Перевіряємо середній: подвоєний добуток має дорівнювати \(2 \cdot 10a \cdot 3 = 60a\) — збігається, і стоїть він зі знаком мінус, отже це квадрат різниці.
\[100a^2 - 60a + 9 = (10a - 3)^2\]
Перевірка середнього доданка обов'язкова: без неї легко «згорнути» у квадрат вираз, який квадратом не є.
Відповідь: а) \(8a^3 - 12a^2 + 6a - 1\); б) \((10a-3)^2\).
Типові помилки
- \((a+b)^2 \ne a^2 + b^2\). Найпоширеніша помилка теми. Перевірка на числах: \((3+4)^2 = 49\), тоді як \(3^2 + 4^2 = 25\). Почленно до степеня підносять лише добуток і частку, але не суму.
- Втрата подвоєного добутку. Похідна від попередньої: учень пам'ятає про три доданки, але пише \(2ab\) як \(ab\) або забуває помножити коефіцієнти. У \((3x+5y)^2\) середній доданок саме \(30xy\), а не \(15xy\) і не \(8xy\).
- Мінус перед квадратом у квадраті різниці. Запис \((a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2\) хибний. Останній доданок — це квадрат, він завжди додатний: \(+b^2\).
- Плутанина знаків у сумі й різниці кубів. Правило: у першій дужці знак такий самий, як у вихідному виразі, у другій — протилежний, а \(b^2\) завжди з плюсом. Тобто \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), а не \((a+b)(a^2+ab+b^2)\).
- Подвоєння замість звичайного добутку в неповному квадраті. У дужках із кубів стоїть \(ab\), а не \(2ab\). Саме тому квадрат і називають неповним.
- Спроба розкласти суму квадратів. Вираз \(a^2 + b^2\) на множники не розкладається — на відміну від суми кубів.
- Забутий спільний множник. Перед застосуванням формул завжди перевіряйте, чи не можна винести щось за дужки: \(2x^2 - 18 = 2(x^2-9) = 2(x-3)(x+3)\). Без винесення двійки різниця квадратів не побачиться.
Висновок
Сім формул — це фактично один навчальний тиждень уважної роботи, після якого алгебра стає помітно легшою. Вони працюють у розкладанні на множники, у скороченні дробів, у квадратних рівняннях, у перетвореннях із квадратним коренем і в темах, де знак виразу треба визначити наперед — тут стають у пригоді навички роботи з від'ємними числами й модулем. Ключ до впевненості — не зубріння, а десяток самостійно доведених до кінця прикладів у кожному напрямку.
Якщо формули ніяк не «складаються в систему», а помилки повторюються з роботи в роботу — розберіть тему з викладачем на пробному занятті Tutor-Math. Заняття індивідуальне: педагог одразу побачить, де саме ламається логіка, і закриє прогалину, поки вона не потягнула за собою наступні теми.
Скільки всього формул скороченого множення в 7 класі?
Основних — сім: квадрат суми, квадрат різниці, різниця квадратів, куб суми, куб різниці, сума кубів, різниця кубів. У сьомому класі зазвичай починають із перших трьох, а формули з кубами вивчають наприкінці теми або на початку восьмого класу. Решта «формул» у задачниках — це комбінації цих семи.
Чому не існує формули для суми квадратів?
Тому що многочлен \(a^2 + b^2\) не розкладається на множники з дійсними коефіцієнтами. Перевірити це можна підстановкою: жодна пара лінійних множників не дає такий результат. А от сума кубів розкладається — і це головна асиметрія теми, яку варто просто запам'ятати.
Як не плутати квадрат суми з різницею квадратів?
Дивіться на структуру виразу. Якщо сума або різниця стоїть усередині дужок, а квадрат — над ними, це квадрат суми чи різниці: \((a+b)^2\). Якщо ж квадрати стоять біля кожного доданка окремо, а між ними мінус, це різниця квадратів: \(a^2 - b^2\). Різні розташування дужок — різні формули й різні відповіді.
Чи обов'язково вчити формули з кубами напам'ять?
Так. Вивести їх на контрольній можна, але це займе кілька хвилин і майже напевно призведе до арифметичної помилки. Запам'ятовувати простіше за структурою: у кубі суми й різниці коефіцієнти 1, 3, 3, 1 і чергування знаків для різниці; у сумі та різниці кубів — «однаковий знак у першій дужці, протилежний у другій, неповний квадрат».
