Квадратний корінь: властивості та перетворення
Квадратний корінь — перша тема восьмого класу, де звичні дії з числами перестають працювати «за аналогією». Корінь із суми не дорівнює сумі коренів, а вираз \(\sqrt{a^2}\) не завжди дає \(a\). На заняттях у Tutor-Math ми починаємо саме з цих двох пасток, бо помилки, закладені тут, потім спливають у квадратних рівняннях, у теоремі Піфагора та в усій старшій алгебрі. Розберімо тему послідовно: означення, область допустимих значень, властивості, перетворення виразів і приклади, доведені до відповіді.
Означення арифметичного квадратного кореня
Означення. Арифметичним квадратним коренем із невід'ємного числа \(a\) називають таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює \(a\). Позначають \(\sqrt{a}\).
Тобто запис \(\sqrt{a} = b\) означає одночасно дві умови:
\[b \geqslant 0 \quad \text{і} \quad b^2 = a.\]Слово «арифметичний» тут не декоративне. Рівняння \(x^2 = 25\) має два корені: \(5\) і \(-5\). Але \(\sqrt{25}\) — це одне конкретне число, і воно дорівнює \(5\). Знак кореня за означенням видає лише невід'ємний результат. Тому запис \(\sqrt{25} = \pm 5\) хибний, а розв'язок рівняння \(x^2 = 25\) правильно записувати як \(x = \pm\sqrt{25} = \pm 5\) — знак «плюс-мінус» ставить сама людина, а не символ кореня.
Найпростіші значення варто знати напам'ять, як таблицю множення: \(\sqrt{0}=0\), \(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{16}=4\), \(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{36}=6\), \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt{64}=8\), \(\sqrt{81}=9\), \(\sqrt{100}=10\), далі \(\sqrt{121}=11\), \(\sqrt{144}=12\), \(\sqrt{169}=13\). Це прямий наслідок теми степінь із натуральним показником: корінь — обернена дія до піднесення до квадрата.
ОДЗ підкореневого виразу
У множині дійсних чисел квадрат будь-якого числа невід'ємний. Отже, число, квадрат якого дорівнює \(-9\), просто не існує — і вираз \(\sqrt{-9}\) не має змісту.
Правило ОДЗ. Вираз \(\sqrt{A}\) має зміст тоді й лише тоді, коли \(A \geqslant 0\). Підкореневий вираз не може бути від'ємним.
Звідси практичний висновок: щойно під коренем з'являється буква, потрібно виписати умову. Для \(\sqrt{x-7}\) маємо \(x - 7 \geqslant 0\), тобто \(x \geqslant 7\). Для \(\sqrt{5-2x}\) — навпаки: \(5 - 2x \geqslant 0\), звідки \(x \leqslant 2{,}5\). А от \(\sqrt{x^2+4}\) має зміст за будь-якого \(x\), бо підкореневий вираз завжди не менший за \(4\).
Головна пастка теми: \(\sqrt{a^2} = |a|\)
Це місце, де помиляється більшість восьмикласників, і саме тому воно варте окремого розділу. Спокуса написати \(\sqrt{a^2} = a\) величезна: корінь і квадрат ніби «скорочуються». Перевірмо це на числах.
Нехай \(a = 6\). Тоді \(\sqrt{6^2} = \sqrt{36} = 6\) — формула \(\sqrt{a^2}=a\) спрацювала. Тепер нехай \(a = -6\). Обчислюємо чесно, зліва направо: спершу квадрат, \((-6)^2 = 36\), потім корінь, \(\sqrt{36} = 6\). Результат — \(6\), а не \(-6\). Формула \(\sqrt{a^2}=a\) дала б \(-6\), тобто від'ємне число, чого арифметичний корінь видати не може за означенням.
Ключова формула. Для будь-якого дійсного \(a\) виконується \(\sqrt{a^2} = |a|\).
Логіка проста: результат кореня зобов'язаний бути невід'ємним, а модуль — це рівно та операція, яка робить число невід'ємним, не змінюючи його «розміру». Якщо \(a \geqslant 0\), то \(|a| = a\) і формула збігається з наївною. Якщо \(a < 0\), то \(|a| = -a\) — і саме тому \(\sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6\). Якщо тема модуля підзабулася, її варто освіжити: додатні й від'ємні числа, модуль.
На практиці це означає: знімати модуль можна лише тоді, коли відомий знак виразу. Наприклад, \(\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\), і спростити до \(x-3\) дозволено тільки за умови \(x \geqslant 3\). Якщо ж відомо, що \(x < 3\), правильна відповідь — \(3-x\).
Властивості квадратного кореня
1. Корінь із добутку. Для \(a \geqslant 0\) і \(b \geqslant 0\):
\[\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.\]Мікроприклад: \(\sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12\). Перевірка: \(\sqrt{144} = 12\). Працює і у зворотний бік — \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27} = \sqrt{81} = 9\).
2. Корінь із частки. Для \(a \geqslant 0\) і \(b > 0\):
\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\]Мікроприклад: \(\sqrt{\dfrac{49}{81}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = \dfrac{7}{9}\).
3. Винесення множника з-під кореня. Це основний прийом спрощення. Підкореневе число розкладають на добуток, у якому один множник — повний квадрат, і витягують його назовні:
\[\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}.\]Мікроприклад: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Важливо виділяти найбільший квадратний дільник: розклад \(\sqrt{72}=\sqrt{4\cdot 18}=2\sqrt{18}\) не хибний, але недоведений до кінця, бо з \(\sqrt{18}\) ще можна виносити. Знайти найбільший квадратний дільник допомагає розкладання на прості множники: \(72 = 2^3\cdot 3^2\), пари множників виходять назовні.
4. Внесення множника під корінь. Обернена операція. Для \(a \geqslant 0\):
\[a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}.\]Мікроприклад: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\). Якщо множник перед коренем від'ємний, він залишається зовні: \(-3\sqrt{5} = -\sqrt{45}\), бо інакше ми перетворили б від'ємне число на додатне. Внесення особливо зручне для порівняння виразів: два корені порівняти легко, а «корінь із множником» — ні.
Звільнення від ірраціональності в знаменнику
Дріб на кшталт \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) вважають незавершеним записом: корінь у знаменнику ускладнює і подальші обчислення, і наближену оцінку значення. Позбутися його можна множенням чисельника й знаменника на один і той самий вираз.
Випадок 1: у знаменнику один корінь. Множимо на цей самий корінь:
\[\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.\]Випадок 2: у знаменнику сума або різниця з коренем. Тут множення на той самий вираз не допоможе — з'явиться подвоєний добуток. Потрібен спряжений вираз: до \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) спряженим є \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\), і навпаки. Працює формула різниці квадратів:
\[(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a - b.\]Корені зникають, бо кожен підноситься до квадрата. Мікроприклад: \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2\).
Приклади з розв'язанням
Приклад 1. Спростити \(\sqrt{72} - \sqrt{50} + \sqrt{18}\).
Виносимо множники з-під кожного кореня: \(\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}\), \(\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}\). Усі три доданки звелися до однакового кореня \(\sqrt{2}\) — тепер їх можна додавати як подібні доданки: \(6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (6-5+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
Відповідь: \(4\sqrt{2}\).
Приклад 2. Обчислити \(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2} + \sqrt{5}\).
За формулою \(\sqrt{a^2}=|a|\) маємо \(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2} = \left|2-\sqrt{5}\right|\). Тепер визначаємо знак виразу під модулем: \(\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 2\), отже \(2-\sqrt{5} < 0\), і модуль розкривається зі зміною знака: \(\left|2-\sqrt{5}\right| = \sqrt{5}-2\). Підставляємо: \(\left(\sqrt{5}-2\right) + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}-2\).
Помилка «скоротити корінь із квадратом» дала б \(2-\sqrt{5}+\sqrt{5} = 2\). Різниця з правильною відповіддю відчутна: \(2\sqrt{5}-2 \approx 2{,}47\), а не \(2\).
Відповідь: \(2\sqrt{5}-2\).
Приклад 3. Порівняти \(3\sqrt{5}\) і \(2\sqrt{11}\).
Обидва числа ірраціональні, «на око» різниця непомітна. Вносимо множники під корінь: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9\cdot 5} = \sqrt{45}\), \(2\sqrt{11} = \sqrt{4\cdot 11} = \sqrt{44}\). Тепер порівняння очевидне: \(45 > 44\), а більшому підкореневому числу відповідає більший корінь.
Відповідь: \(3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}\).
Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику: \(\dfrac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\).
Знаменник — різниця коренів, спряжений до нього вираз \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\). Множимо на нього чисельник і знаменник:
\[\frac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{10\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)} = \frac{10\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{7-2} = \frac{10\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{5}.\]Скорочуємо на \(5\): дістаємо \(2\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\), тобто \(2\sqrt{7}+2\sqrt{2}\). Числова перевірка: \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\approx 1{,}23\), і \(10 : 1{,}23 \approx 8{,}12\); з іншого боку \(2\sqrt{7}+2\sqrt{2}\approx 5{,}29+2{,}83 = 8{,}12\).
Відповідь: \(2\sqrt{7}+2\sqrt{2}\).
Приклад 5. Обчислити \(\left(\sqrt{12}+\sqrt{27}\right)\cdot\sqrt{3}\).
Спершу спрощуємо доданки в дужках: \(\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}\). Сума в дужках дорівнює \(5\sqrt{3}\). Множимо: \(5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 5\cdot 3 = 15\).
Відповідь: \(15\).
Типові помилки
- Корінь із суми «розривають» на суму коренів. Формули \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}\) не існує. Контрприклад: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), тоді як \(\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7\). Розподіляти корінь можна лише по множенню й діленню, а не по додаванню й відніманню.
- Втрата модуля. Запис \(\sqrt{a^2}=a\) правильний тільки за \(a \geqslant 0\). У загальному випадку \(\sqrt{a^2}=|a|\), і знімати модуль дозволено лише після з'ясування знака виразу.
- Від'ємний підкореневий вираз. \(\sqrt{-16}\) у множині дійсних чисел не існує. Не плутайте з \(-\sqrt{16} = -4\): тут мінус стоїть перед коренем, а не під ним, і вираз цілком коректний.
- Забуте ОДЗ із буквою. Перетворюючи \(\sqrt{x-2}\), спершу фіксують \(x \geqslant 2\). Без цієї умови відповідь може містити сторонні значення.
- Додавання неподібних коренів. \(\sqrt{2}+\sqrt{3} \ne \sqrt{5}\). Складати можна лише доданки з однаковим підкореневим виразом: \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\).
- Знак при внесенні під корінь. \(-3\sqrt{5} \ne \sqrt{45}\). Мінус залишається зовні: \(-3\sqrt{5} = -\sqrt{45}\).
- Неповне винесення. \(\sqrt{72} = 2\sqrt{18}\) — формально вірно, але відповідь не спрощена до кінця. Правильно \(6\sqrt{2}\).
Висновок
Квадратний корінь тримається на трьох опорах: означення (результат завжди невід'ємний), ОДЗ (підкореневий вираз не менший за нуль) і формула \(\sqrt{a^2}=|a|\). Решта — техніка: винесення й внесення множника, розподіл кореня по добутку й частці, множення на спряжений вираз. Ці навички стануть робочим інструментом уже за кілька тем — у квадратних рівняннях, де корінь з'являється у формулі дискримінанта, і в теоремі Піфагора, де майже кожна відповідь потребує спрощення.
Якщо дитина плутається зі знаками, «губить» модуль або не бачить, який множник виносити з-під кореня, — це типова ситуація, і вона розв'язується практикою під наглядом. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач за одну зустріч визначить, де саме розривається логіка, і складе план, що закриє прогалину до контрольної.
Часті питання
Чому \(\sqrt{25}\) дорівнює \(5\), а не \(\pm 5\)?
Тому що арифметичний квадратний корінь за означенням — невід'ємне число. Рівняння \(x^2 = 25\) справді має два корені, \(5\) і \(-5\), але сам символ \(\sqrt{\phantom{x}}\) позначає лише один із них — невід'ємний. Знак «плюс-мінус» ставлять під час розв'язування рівняння: \(x = \pm\sqrt{25} = \pm 5\).
Коли \(\sqrt{a^2}\) можна записати просто як \(a\)?
Тільки якщо відомо, що \(a \geqslant 0\). У всіх інших випадках правильна відповідь \(|a|\). Наприклад, \(\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\), і зняти модуль до \(x-3\) можна лише за умови \(x \geqslant 3\); якщо \(x < 3\), результат дорівнює \(3-x\).
Навіщо звільнятися від ірраціональності в знаменнику?
Це стандарт запису відповіді: дріб із коренем у знаменнику вважають незавершеним. Практична причина — таку форму легше оцінити чисельно й простіше далі перетворювати. Порівняйте: значення \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) без калькулятора оцінити важко, а рівне йому \(2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) — легко.
Чи можна додати \(\sqrt{2}\) і \(\sqrt{3}\)?
Спростити цю суму не вийде: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne\sqrt{5}\), і жодного коротшого точного запису вона не має. Додавати корені можна лише тоді, коли підкореневі вирази однакові — за зразком подібних доданків: \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}\). Іноді корені стають подібними після винесення множника, як у прикладі з \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{50}\) і \(\sqrt{18}\).
