Медіана, висота, бісектриса трикутника

Q: У якому відношенні точка перетину медіан ділить медіану?

У відношенні 2:1, рахуючи від вершини. Тобто від вершини до точки перетину — дві третини медіани, від точки перетину до середини сторони — одна третина. Ця точка називається центроїдом і завжди лежить усередині трикутника.

Медіана, висота, бісектриса трикутника: усі формули

Три відрізки, які проводять із вершини трикутника, — медіана, висота й бісектриса. Означення в кожного різне, точки перетину різні, формули різні. Але на контрольних учні плутають їх постійно: проводять «щось із вершини на протилежну сторону» й підставляють першу формулу, яка згадалася. У Tutor-Math ми починаємо цю тему з розмежування — спочатку навчитися бачити, що саме проведено, і лише потім рахувати. Нижче розібрано всі три лінії: означення, точки перетину, формули довжин і поведінка в особливих трикутниках.

Три означення, які треба розрізняти

Усі три відрізки виходять із вершини. Відрізняє їх умова, якій підпорядкований другий кінець.

Медіана — відрізок, що сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Висота — перпендикуляр, опущений із вершини на пряму, що містить протилежну сторону.

Бісектриса — відрізок бісектриси кута трикутника від вершини до перетину з протилежною стороною; вона ділить кут навпіл.

Ключ до розрізнення — питання «що ділиться навпіл?»:

медіана ділить навпіл сторону;
бісектриса ділить навпіл кут;
висота не ділить навпіл нічого — вона задає прямий кут зі стороною.

У кожному трикутнику по три медіани, три висоти й три бісектриси — по одній із кожної вершини. Позначають їх за стороною або вершиною: \(m_a\) — медіана до сторони \(a\), \(h_a\) — висота на сторону \(a\), \(l_a\) — бісектриса кута \(A\).

Точки перетину: центроїд, ортоцентр, інцентр

Для кожної трійки ліній діє окрема теорема про перетин в одній точці. Три різні трійки — три різні точки з різними властивостями.

Центроїд. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини.

Тобто якщо \(M\) — точка перетину медіан, а \(AK\) — медіана з вершини \(A\), то

\[ AM = \frac{2}{3}\,AK, \qquad MK = \frac{1}{3}\,AK, \qquad \frac{AM}{MK} = \frac{2}{1} \]

Центроїд — це центр мас трикутника: вирізана з картону фігура балансує саме на цій точці. Він завжди лежить усередині трикутника, яким би той не був.

Ортоцентр. Три висоти трикутника (або прямі, що їх містять) перетинаються в одній точці.

Інцентр. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.

Інцентр рівновіддалений від усіх трьох сторін, і ця спільна відстань — радіус вписаного кола \(r\). Його зручно рахувати через площу й півпериметр: \(r = \dfrac{S}{p}\), де \(p = \dfrac{a+b+c}{2}\). Інцентр, як і центроїд, завжди всередині трикутника — бо кути трикутника всередині, і їхні бісектриси теж.

Не плутайте інцентр із центром описаного кола: останній лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін, а не бісектрис. Це різні точки (збігаються тільки в рівносторонньому трикутнику).

Де лежить ортоцентр

Ортоцентр — єдина з трьох точок, яка може виходити за межі трикутника. Це джерело плутанини, тому запам'ятайте три випадки:

Гострокутний трикутник — ортоцентр усередині. Усі три висоти падають на самі сторони.
Прямокутний трикутник — ортоцентр збігається з вершиною прямого кута. Причина проста: катети є висотами один до одного, і обидва проходять через цю вершину.
Тупокутний трикутник — ортоцентр зовні трикутника. Дві висоти падають не на сторони, а на їх продовження, тому й перетин виходить назовні.

Формула довжини медіани

Формула медіани. Медіана, проведена до сторони \(a\), обчислюється через усі три сторони: \[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

Тут \(b\) і \(c\) — сторони, що прилягають до вершини, з якої виходить медіана, а \(a\) — сторона, до якої вона проведена. Аналогічно \(m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}\) і \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}\). Головне — не переплутати, яка саме сторона стоїть зі знаком мінус: це завжди та, до якої проведена медіана.

Окремий випадок, який варто знати напам'ять: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Він трапляється в задачах ДПА постійно.

Формула висоти й зв'язок із площею

Найкоротший шлях до висоти — через площу.

Оскільки \(S = \dfrac{1}{2}ah_a\), то \[ h_a = \frac{2S}{a} \]

Якщо площа невідома, її рахують за формулою Герона \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), а далі підставляють. Ця схема — «Герон, потім \(h=\frac{2S}{a}\)» — універсальна: працює для будь-якого трикутника, якщо відомі три сторони. Докладніше про всі способи обчислення в статті про площу трикутника. У прямокутному трикутнику простіше: катети самі є висотами, а висоту до гіпотенузи знаходять як \(h = \dfrac{a b}{c}\), де \(a,b\) — катети, \(c\) — гіпотенуза.

Зверніть увагу: у трикутнику зі сторонами різної довжини найбільшій стороні відповідає найменша висота — з формули \(h_a=\frac{2S}{a}\) це видно одразу, бо площа стала.

Бісектриса: властивість поділу сторони й формула довжини

Властивість бісектриси. Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} \]

Це головний робочий інструмент теми: він перетворює геометричну задачу на пропорцію. Більший відрізок прилягає до більшої сторони — швидка перевірка на здоровий глузд. Детальний розбір із доведенням є в статті про властивість бісектриси трикутника.

Довжину самої бісектриси зручно шукати за формулою через відрізки, на які вона ділить сторону:

\[ l_a^2 = bc - BL \cdot LC \]

Еквівалентний запис одразу через сторони:

\[ l_a = \sqrt{bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right)} \]

Відповіді тут рідко бувають цілими — зазвичай виходить корінь, який залишають у точному вигляді. Якщо спрощення радикалів іде важко, варто повторити квадратний корінь.

Рівнобедрений і рівносторонній трикутник

В особливих трикутниках лінії починають збігатися — і це найчастіше джерело правильних коротких розв'язань.

У рівнобедреному трикутнику медіана, висота й бісектриса, проведені до основи, — це той самий відрізок.

Важлива деталь, яку пропускають: збіг є тільки для лінії до основи. Медіана й висота, проведені до бічної сторони, залишаються різними відрізками. Ця ж властивість працює в зворотний бік і слугує ознакою: якщо в трикутнику медіана з якоїсь вершини виявилася висотою, трикутник рівнобедрений.

У рівносторонньому трикутнику всі три лінії з кожної вершини збігаються, а центроїд, ортоцентр, інцентр і центр описаного кола — одна й та сама точка.

Для рівностороннього трикутника зі стороною \(a\):

\[ h = m = l = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]

Радіуси виходять із відношення \(2:1\) на медіані: центр ділить її на \(\frac{2}{3}\) і \(\frac{1}{3}\), і це якраз \(R\) та \(r\).

Приклад 1. Медіана до гіпотенузи

У трикутнику сторони дорівнюють 6, 8 і 10. Знайти медіану, проведену до сторони 10.

Тут \(a = 10\) (сторона, до якої проведена медіана), \(b = 6\), \(c = 8\).
Підставляємо: \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 64 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5\).
Перевірка: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), отже трикутник прямокутний, а 10 — гіпотенуза. Медіана до гіпотенузи дорівнює її половині: \(10 : 2 = 5\). Збігається. Про саму рівність — у статті про теорему Піфагора.

Відповідь: \(m_a = 5\).

Приклад 2. Медіана й центроїд

Сторони трикутника: \(BC = 8\), \(AC = 7\), \(AB = 9\). Знайти медіану з вершини \(A\) та відрізки, на які її ділить точка перетину медіан.

Медіана проведена до сторони \(BC = 8\), прилеглі сторони — 7 і 9.
\(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 49 + 2\cdot 81 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 162 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{196} = 7\).
Точка \(M\) ділить медіану у відношенні \(2:1\) від вершини: \(AM = \frac{2}{3}\cdot 7 = \frac{14}{3}\), \(MK = \frac{1}{3}\cdot 7 = \frac{7}{3}\).
Перевірка: \(\frac{14}{3} + \frac{7}{3} = \frac{21}{3} = 7\) — уся медіана; відношення \(\frac{14}{3} : \frac{7}{3} = 2\).

Відповідь: \(m_a = 7\), \(AM = \frac{14}{3}\), \(MK = \frac{7}{3}\).

Приклад 3. Усі три висоти через площу

Сторони трикутника дорівнюють 13, 14 і 15. Знайти всі три висоти.

Півпериметр: \(p = \frac{13+14+15}{2} = 21\).
Площа за Героном: \(S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\).
\(h_{13} = \frac{2\cdot 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12{,}92\).
\(h_{14} = \frac{2\cdot 84}{14} = 12\).
\(h_{15} = \frac{2\cdot 84}{15} = \frac{56}{5} = 11{,}2\).
Перевірка логіки: найбільшій стороні 15 відповідає найменша висота 11,2 — усе правильно.

Відповідь: \(\frac{168}{13}\); \(12\); \(11{,}2\).

Приклад 4. Бісектриса ділить сторону

У трикутнику \(ABC\): \(AB = 8\), \(AC = 12\), \(BC = 15\). Бісектриса кута \(A\) перетинає \(BC\) у точці \(L\). Знайти \(BL\) і \(LC\).

За властивістю бісектриси: \(\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
Позначимо \(BL = 2x\), \(LC = 3x\). Тоді \(2x + 3x = 15\), звідки \(5x = 15\) і \(x = 3\).
\(BL = 6\), \(LC = 9\).
Перевірка: \(6 + 9 = 15\) — уся сторона; \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}\). Більший відрізок \(LC=9\) прилягає до більшої сторони \(AC=12\).

Відповідь: \(BL = 6\), \(LC = 9\).

Приклад 5. Довжина бісектриси

У трикутнику \(ABC\): \(AB = 6\), \(AC = 9\), \(BC = 5\). Знайти довжину бісектриси, проведеної з вершини \(A\).

Спочатку відрізки: \(\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\), тому \(BL = \frac{2}{5}\cdot 5 = 2\), \(LC = \frac{3}{5}\cdot 5 = 3\).
За формулою: \(l_a^2 = AB \cdot AC - BL \cdot LC = 6 \cdot 9 - 2 \cdot 3 = 54 - 6 = 48\).
\(l_a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\).
Перевірка другою формулою: \(l_a^2 = bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right) = 54\left(1 - \frac{25}{225}\right) = 54\cdot\frac{200}{225} = 48\). Збігається.

Відповідь: \(l_a = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\).

Приклад 6. Збіг ліній у рівнобедреному трикутнику

У рівнобедреному трикутнику бічні сторони дорівнюють 10, основа — 16. Знайти висоту до основи й відрізки медіани, поділені центроїдом.

Як медіана до основи: \(m = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 100 + 2\cdot 100 - 256} = \frac{1}{2}\sqrt{144} = 6\).
Як висота через площу: \(p = \frac{10+10+16}{2} = 18\), \(S = \sqrt{18\cdot 8\cdot 8\cdot 2} = \sqrt{2304} = 48\), звідси \(h = \frac{2\cdot 48}{16} = 6\).
Обидва способи дали 6 — медіана й висота до основи справді збігаються.
Центроїд ділить цей відрізок \(2:1\): від вершини \(\frac{2}{3}\cdot 6 = 4\), до основи \(\frac{1}{3}\cdot 6 = 2\).
Контроль через Піфагора: половина основи 8, бічна сторона 10, тоді \(h = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6\).

Відповідь: висота 6; відрізки медіани 4 і 2.

Типові помилки

Медіану плутають із бісектрисою. Медіана ділить навпіл сторону, бісектриса — кут. У довільному трикутнику це різні відрізки, і ділять вони протилежну сторону по-різному.
Вважають, що бісектриса ділить сторону навпіл. Вона ділить її пропорційно прилеглим сторонам. Навпіл — лише тоді, коли ці сторони рівні, тобто в рівнобедреному трикутнику.
Неправильна сторона під мінусом у формулі медіани. У \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\) зі знаком мінус іде та сторона, до якої проведена медіана. Перестановка дає зовсім інше число.
Забувають множник \(\frac{1}{2}\). Відповідь виходить удвічі більшою за правильну — і це найчастіша арифметична втрата балів у темі.
Шукають ортоцентр усередині тупокутного трикутника. Там дві висоти падають на продовження сторін, і точка перетину лежить зовні.
Центр вписаного кола плутають із центром описаного. Вписане — перетин бісектрис, описане — перетин серединних перпендикулярів.
Відношення \(2:1\) відлічують не з того кінця. Більший відрізок \(\frac{2}{3}\) завжди прилягає до вершини, менший \(\frac{1}{3}\) — до сторони.
Переносять збіг ліній на всі сторони рівнобедреного трикутника. Медіана, висота й бісектриса збігаються лише для лінії, проведеної до основи.

Висновок

Уся тема тримається на трьох означеннях і трьох точках. Медіана йде в середину сторони й перетинається з іншими в центроїді, що ділить її \(2:1\) від вершини. Висота падає під прямим кутом, а ортоцентр залежно від виду трикутника опиняється всередині, у вершині прямого кута або зовні. Бісектриса ділить кут навпіл, а протилежну сторону — пропорційно прилеглим сторонам, і всі три сходяться в центрі вписаного кола. Формул небагато: \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\), \(h_a=\frac{2S}{a}\), \(l_a^2 = bc - BL\cdot LC\). Складність — не в них, а в тому, щоб точно розуміти, яка саме лінія проведена в задачі.

Якщо дитина плутає ці три відрізки або механічно підставляє формулу медіани в задачу про бісектрису, розібратися можна швидко — прогалина тут вузька й дуже конкретна. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач перевірить, які саме означення «злиплися», і розведе їх на конкретних кресленнях.

Часті питання

Чим медіана відрізняється від бісектриси й висоти?

Питанням «що ділиться навпіл». Медіана ділить навпіл протилежну сторону, бісектриса ділить навпіл кут при вершині, а висота нічого навпіл не ділить — вона утворює прямий кут із протилежною стороною. У довільному трикутнику це три різні відрізки, проведені з однієї вершини.

Чи можуть медіана, висота й бісектриса збігатися?

Так. У рівнобедреному трикутнику вони збігаються, якщо проведені до основи — але тільки до основи, для бічних сторін збігу немає. У рівносторонньому трикутнику збігаються всі три лінії з кожної вершини, а центроїд, ортоцентр, інцентр і центр описаного кола стають однією точкою.

У якому відношенні точка перетину медіан ділить медіану?

У відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини. Тобто від вершини до точки перетину — дві третини медіани, від точки перетину до середини сторони — одна третина. Ця точка називається центроїдом і завжди лежить усередині трикутника.

Де розміщений ортоцентр у тупокутному трикутнику?

Зовні трикутника. У тупокутному трикутнику дві висоти падають не на самі сторони, а на їх продовження, тому й точка перетину прямих виходить за межі фігури. У гострокутному трикутнику ортоцентр усередині, а в прямокутному — точно у вершині прямого кута.