НСД і НСК: як знаходити та навіщо потрібні
Дві абревіатури, які з'являються в шостому класі й потім супроводжують учня до випускних іспитів: НСД — найбільший спільний дільник, НСК — найменше спільне кратне. Без них не скоротити дріб і не додати дроби з різними знаменниками. На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо їх до автоматизму саме тому, що це не окрема тема «на тиждень», а інструмент, яким школяр користуватиметься щодня. Розберімо обидва поняття з нуля — з означеннями, алгоритмом і прикладами, порахованими до кінця.
Що таке найбільший спільний дільник
Спочатку про дільники. Дільник числа — це натуральне число, на яке воно ділиться без остачі. У числа 12 дільники: 1, 2, 3, 4, 6, 12. У числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Спільні для обох — 1, 2, 3 і 6. Найбільший із них — 6.
Означення. Найбільший спільний дільник чисел \(a\) і \(b\) — це найбільше натуральне число, на яке ділиться без остачі і \(a\), і \(b\). Позначають \(\text{НСД}(a,\,b)\) або \((a,\,b)\).
Отже, \(\text{НСД}(12,\,18)=6\). Ключове слово тут — «найбільший»: спільних дільників може бути багато, нас цікавить максимальний. Одиниця є спільним дільником завжди, тому НСД існує для будь-якої пари натуральних чисел і ніколи не менший за 1.
Якщо \(\text{НСД}(a,\,b)=1\), числа називають взаємно простими. Наприклад, \(\text{НСД}(7,\,9)=1\): у сімки дільники лише 1 і 7, у дев'ятки — 1, 3, 9, спільна тільки одиниця. Зверніть увагу: обидва числа при цьому не обов'язково прості, дев'ятка складена.
Що таке найменше спільне кратне
Кратне числа — це результат множення його на натуральне число. Кратні шістки: 6, 12, 18, 24, 30, 36... Кратні вісімки: 8, 16, 24, 32, 40, 48... Перше число, що трапилося в обох списках, — 24.
Означення. Найменше спільне кратне чисел \(a\) і \(b\) — це найменше натуральне число, яке ділиться без остачі і на \(a\), і на \(b\). Позначають \(\text{НСК}(a,\,b)\) або \([a,\,b]\).
Тобто \(\text{НСК}(6,\,8)=24\). Метод перебору списків працює для малих чисел, але для пари на кшталт 84 і 90 виписувати кратні доведеться довго. Потрібен нормальний алгоритм.
Алгоритм через розкладання на прості множники
Універсальний спосіб, який працює для будь-яких чисел. Ідея проста: розкладаємо обидва числа на прості множники, а далі збираємо відповідь з цих множників за двома різними правилами.
Правило. Щоб знайти НСД, беруть спільні прості множники з найменшим показником степеня. Щоб знайти НСК, беруть усі прості множники, що трапилися хоч в одному розкладі, з найбільшим показником.
Щоб швидко розкладати числа, треба впевнено володіти ознаками подільності на 2, 3, 5, 9, 10 — без них розкладання перетворюється на вгадування. Якщо базові поняття про дільники й кратні ще пливуть, варто повторити тему натуральних чисел.
Приклад 1. НСД і НСК чисел 48 і 60
Розкладаємо:
\[48 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^4\cdot 3\] \[60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 2^2\cdot 3\cdot 5\]Для НСД шукаємо спільні множники. Двійка є в обох розкладах: у першому в четвертому степені, у другому — у другому. Беремо менший показник: \(2^2\). Трійка є в обох, в обох у першому степені: \(3\). П'ятірки в розкладі 48 немає, тому вона не входить.
\[\text{НСД}(48,\,60) = 2^2\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12\]Для НСК беремо всі множники з найбільшим показником: двійка — \(2^4\), трійка — \(3\), п'ятірка — \(5\).
\[\text{НСК}(48,\,60) = 2^4\cdot 3\cdot 5 = 16\cdot 15 = 240\]Перевіримо: \(240:48=5\), \(240:60=4\) — ділиться на обидва. І \(48:12=4\), \(60:12=5\) — обидва діляться на 12.
Відповідь: \(\text{НСД}(48,\,60)=12\), \(\text{НСК}(48,\,60)=240\).
Приклад 2. НСД і НСК чисел 84 і 90
Числа більші, перебір кратних тут був би марудним. Розкладаємо:
\[84 = 2^2\cdot 3\cdot 7\] \[90 = 2\cdot 3^2\cdot 5\]Спільні множники — 2 і 3. Найменші показники: у двійки \(2^1\) (бо в розкладі 90 вона одна), у трійки \(3^1\) (бо в розкладі 84 вона одна).
\[\text{НСД}(84,\,90) = 2\cdot 3 = 6\]Для НСК беремо все з максимальними показниками: \(2^2\), \(3^2\), \(5\), \(7\).
\[\text{НСК}(84,\,90) = 4\cdot 9\cdot 5\cdot 7 = 1260\]Контроль: \(1260:84=15\), \(1260:90=14\). Сходиться.
Відповідь: \(\text{НСД}(84,\,90)=6\), \(\text{НСК}(84,\,90)=1260\).
Зв'язок НСД і НСК: одна формула замість двох розкладань
Між цими двома величинами є жорсткий зв'язок, який економить половину роботи.
Теорема. Для будь-яких натуральних \(a\) і \(b\) виконується \(\text{НСД}(a,\,b)\cdot\text{НСК}(a,\,b) = a\cdot b\).
Звідси одразу випливає робоча формула:
\[\text{НСК}(a,\,b) = \frac{a\cdot b}{\text{НСД}(a,\,b)}\]Перевіримо на попередньому прикладі: \(6\cdot 1260 = 7560\) і \(84\cdot 90 = 7560\) — рівність виконується.
Приклад 3. Знайти НСК(45, 60) через НСД
Спершу НСД. Розклади: \(45 = 3^2\cdot 5\), \(60 = 2^2\cdot 3\cdot 5\). Спільні множники — трійка з меншим показником \(3^1\) і п'ятірка \(5\).
\[\text{НСД}(45,\,60) = 3\cdot 5 = 15\]Тепер за формулою:
\[\text{НСК}(45,\,60) = \frac{45\cdot 60}{15} = \frac{2700}{15} = 180\]Перевірка: \(180:45=4\), \(180:60=3\).
Відповідь: \(\text{НСД}(45,\,60)=15\), \(\text{НСК}(45,\,60)=180\).
Приклад 4. Дві текстові задачі
Задача на НСД. У класі є 24 зошити і 36 олівців. Скільки однакових наборів можна скласти, використавши все без залишку, і що буде в кожному наборі?
Кількість наборів має ділити і 24, і 36. Найбільша така кількість — це НСД. Розклади: \(24 = 2^3\cdot 3\), \(36 = 2^2\cdot 3^2\). Спільне: \(2^2\cdot 3 = 12\). У кожному наборі буде \(24:12 = 2\) зошити і \(36:12 = 3\) олівці.
Відповідь: 12 наборів по 2 зошити і 3 олівці.
Задача на НСК. Один автобус відходить від зупинки кожні 12 хвилин, другий — кожні 18. О 8:00 вони відійшли разом. Коли це станеться наступного разу?
Момент спільного відправлення має бути кратним і 12, і 18; найближчий — НСК. Розклади: \(12 = 2^2\cdot 3\), \(18 = 2\cdot 3^2\), отже \(\text{НСК} = 2^2\cdot 3^2 = 36\).
Відповідь: через 36 хвилин, о 8:36.
Де це потрібно: дроби
Основне застосування обох понять — саме звичайні дроби. Тут працює просте розділення ролей: НСД скорочує, НСК зводить до спільного знаменника.
Скорочення дробу. Щоб одразу отримати нескоротний дріб, чисельник і знаменник ділять на їхній НСД. Візьмімо \(\frac{84}{90}\): ми вже знайшли \(\text{НСД}(84,\,90)=6\), тому
\[\frac{84}{90} = \frac{84:6}{90:6} = \frac{14}{15}\]Далі скорочувати нікуди: \(\text{НСД}(14,\,15)=1\). Якщо ділити на випадковий спільний дільник — скажімо, на 2 — вийде \(\frac{42}{45}\), і доведеться скорочувати ще раз. Ділення саме на НСД дає результат за один крок.
Спільний знаменник. Щоб додати дроби з різними знаменниками, знаменником беруть їхнє НСК — це найменший спільний знаменник. Порахуємо \(\frac{5}{12}+\frac{7}{18}\). Ми знаємо: \(\text{НСК}(12,\,18)=36\). Додаткові множники: \(36:12=3\) і \(36:18=2\).
\[\frac{5}{12}+\frac{7}{18} = \frac{15}{36}+\frac{14}{36} = \frac{29}{36}\]Можна було взяти знаменником просто добуток \(12\cdot 18 = 216\) — відповідь вийде та сама, але з вимогою скорочувати наприкінці й із значно більшими числами. Детальніше про дії з дробами — у матеріалі про види звичайних дробів і правила операцій із ними.
Типові помилки
- Плутають НСД і НСК. Найпоширеніша помилка шостого класу. Мнемоніка: НСД ділить числа, тому він не більший за менше з них; НСК ділиться на числа, тому він не менший за більше з них. Якщо для 48 і 60 вийшло «НСД = 240» — відповідь явно не та.
- Для НСД беруть множник, якого немає в другому розкладі. П'ятірка в розкладі 60 є, а в 48 — ні, отже до НСД вона не входить. У НСД потрапляють тільки спільні множники.
- Для НСК беруть найменший показник замість найбільшого. Дає число, яке не ділиться на обидва. Завжди перевіряйте діленням — це п'ять секунд.
- Помилка в самому розкладанні. Наприклад, «\(90 = 2\cdot 3\cdot 15\)» — п'ятнадцять не просте число. Розклад завершено лише тоді, коли всі множники прості.
- Забувають, що НСД може дорівнювати меншому числу. Якщо одне число ділиться на друге, як 12 і 36, то \(\text{НСД}=12\), а \(\text{НСК}=36\). Розкладання тут узагалі не потрібне.
- Множать замість того, щоб шукати НСК. Добуток завжди є спільним кратним, але рідко найменшим. Він дорівнює НСК тільки для взаємно простих чисел.
Висновок
НСД і НСК — це два боки одного алгоритму. Розклали обидва числа на прості множники, взяли спільні з мінімальними показниками — отримали НСД; взяли всі з максимальними — отримали НСК. Перевірка завжди під рукою: добуток НСД і НСК має дорівнювати добутку самих чисел. Далі це працює на скорочення дробів і спільний знаменник, а через них — на все, що буде з дробами в сьомому класі й пізніше.
Якщо тема «не заходить» із підручника, найшвидше її знімає розбір на живих прикладах із поясненням, звідки береться кожен крок. На індивідуальних заняттях у Tutor-Math викладач бачить, де саме ламається логіка — у розкладанні, у виборі показників чи в самій постановці задачі, — і закриває прогалину точково, а не «проходить тему заново».
Чим відрізняється НСД від НСК?
НСД — найбільше число, на яке діляться обидва задані числа; воно завжди менше або дорівнює меншому з них. НСК — найменше число, яке ділиться на обидва задані; воно завжди більше або дорівнює більшому з них. НСД використовують для скорочення дробів, НСК — для зведення до спільного знаменника.
Як швидко знайти НСД двох чисел?
Найнадійніший спосіб — розкласти обидва числа на прості множники й перемножити спільні множники з найменшими показниками. Якщо числа великі, зручніший алгоритм Евкліда: більше число ділять на менше з остачею, потім дільник на остачу, і так доки остача не стане нулем. Останній ненульовий залишок і є НСД. Наприклад, \(90 = 84\cdot 1 + 6\), далі \(84 = 6\cdot 14 + 0\), отже \(\text{НСД}(84,\,90)=6\).
Чи може НСД дорівнювати 1?
Так. Якщо \(\text{НСД}(a,\,b)=1\), числа називають взаємно простими — у них немає спільних дільників, крім одиниці. Приклад: \(\text{НСД}(7,\,9)=1\). Для таких чисел НСК дорівнює їхньому добутку: \(\text{НСК}(7,\,9)=63\).
Навіщо НСД і НСК у реальному житті?
НСД відповідає на питання «на скільки однакових частин можна розділити без залишку» — розкрій матеріалу, комплектування наборів, найбільша однакова плитка на підлогу. НСК — на питання «коли події збіжаться знову»: розклад транспорту, зміни змінних працівників, цикли обслуговування техніки. У самій математиці обидва поняття щоденно працюють на діях із дробами.
