Призма: об'єм і площа поверхні
Призма — найпростіше з усіх многогранників, які вивчають в 11 класі, і саме тому її часто проходять поспіхом. А потім на НМТ виявляється, що учень плутає бічне ребро з висотою, множить не той периметр і не може знайти діагональ звичайної коробки. Насправді тут лише дві робочі формули, а решта — акуратна планіметрія основи. У Tutor-Math ми починаємо стереометрію саме з призми: якщо тут усе стало на місце, піраміда й тіла обертання даються майже без опору.
Означення призми та її елементи
Призма — це многогранник, дві грані якого (основи) є рівними многокутниками, що лежать у паралельних площинах, а всі інші грані (бічні) — паралелограми, у яких відповідні сторони основ з'єднані паралельними рівними відрізками.
Розберемо назви, бо саме на них найчастіше «сиплються»:
- Основи — два рівні многокутники в паралельних площинах. Призму називають за основою: трикутна, чотирикутна, шестикутна.
- Бічні грані — паралелограми. Їх стільки, скільки сторін у основі.
- Бічне ребро — відрізок, що з'єднує відповідні вершини основ. Усі бічні ребра рівні й паралельні.
- Висота \( h \) — відстань між площинами основ, тобто довжина спільного перпендикуляра до них.
Ключовий момент: бічне ребро і висота — це різні відрізки. Вони збігаються лише в одному випадку, про який нижче.
Пряма й похила призма
Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до площин основ. Інакше призма похила.
У прямій призмі бічне ребро \( \ell \) перпендикулярне до основи, тому воно і є висотою: \( h = \ell \). Усі бічні грані — прямокутники. Саме тому формулювання «пряма призма з бічним ребром 10» одразу означає \( h = 10 \).
У похилій призмі бічне ребро нахилене до основи під деяким кутом \( \alpha \), і висота коротша за ребро: \( h = \ell \cdot \sin\alpha \). Бічні грані — паралелограми, а не прямокутники. Це найпоширеніша пастка: у похилій призмі підставляти ребро замість висоти не можна.
Правильна призма — це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.
Отже, «правильна» — це дві умови одночасно: пряма (ребра перпендикулярні) плюс правильна основа (усі сторони й кути основи рівні). Правильна трикутна призма має в основі рівносторонній трикутник, правильна шестикутна — правильний шестикутник. Усі бічні грані правильної призми — рівні між собою прямокутники.
Паралелепіпед, прямокутний паралелепіпед, куб
Це не окрема тема, а ланцюжок часткових випадків призми, де кожен наступний вужчий за попередній:
- Паралелепіпед — призма, в основі якої паралелограм. Усі шість граней — паралелограми, протилежні грані рівні й паралельні.
- Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до основи.
- Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, в основі якого прямокутник. Усі шість граней — прямокутники. Три ребра, що виходять з однієї вершини, називають вимірюваннями: \( a \), \( b \), \( c \).
- Куб — прямокутний паралелепіпед, у якого \( a = b = c \). Усі грані — рівні квадрати.
Для прямокутного паралелепіпеда \( V = abc \), а повна поверхня \( S = 2(ab + bc + ac) \). Для куба з ребром \( a \): \( V = a^3 \) і \( S = 6a^2 \).
Площа поверхні: дві формули
Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту: \[ S_{\text{біч}} = P_{\text{осн}} \cdot h \] Площа повної поверхні — сума бічної поверхні та двох основ: \[ S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}} + 2S_{\text{осн}} \]
Формулу \( S_{\text{біч}} = P_{\text{осн}} \cdot h \) легко зрозуміти через розгортку. Розріжте бічну поверхню прямої призми по одному ребру й розгорніть на площину — отримаєте один великий прямокутник. Його висота дорівнює \( h \), а довжина складається зі сторін основи, покладених одна за одною, тобто дорівнює периметру \( P_{\text{осн}} \). Площа прямокутника — добуток сторін. Ніякої магії.
Важливо: двійка стоїть тільки біля основи, бо основ дві, а бічна поверхня одна. І ще: для похилої призми формула \( S_{\text{біч}} = P_{\text{осн}} \cdot h \) хибна — там бічну поверхню рахують як суму площ окремих паралелограмів або через периметр перпендикулярного перерізу.
Об'єм призми
Об'єм будь-якої призми — прямої чи похилої — дорівнює добутку площі основи на висоту: \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]
Ця формула універсальна, і в ній \( h \) — саме висота, відстань між площинами основ. Похилість на об'єм не впливає: якщо взяти стос однакових аркушів і зсунути його вбік, об'єм не зміниться, зміниться лише форма — це принцип Кавальєрі в шкільному переказі.
Уся складність задач на призму — не в цих двох формулах, а в тому, щоб правильно порахувати \( S_{\text{осн}} \) і \( P_{\text{осн}} \). Тому тримайте під рукою планіметрію: площу трикутника та властивості правильних многокутників. Для рівностороннього трикутника зі стороною \( a \): \( S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \). Для правильного шестикутника зі стороною \( a \): \( S = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} \), бо він складається з шести рівносторонніх трикутників зі стороною \( a \).
Діагональ прямокутного паралелепіпеда
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірювань: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
Виведення — це теорема Піфагора, застосована двічі, і його варто вміти відтворити, бо на ньому будується половина задач.
Крок 1. Розглянемо основу — прямокутник зі сторонами \( a \) і \( b \). Його діагональ \( d_1 \) лежить у площині основи й ділить прямокутник на два прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора \[ d_1^2 = a^2 + b^2 \]
Крок 2. Тепер візьмемо трикутник, утворений діагоналлю основи \( d_1 \), бічним ребром \( c \) і діагоналлю паралелепіпеда \( d \). Оскільки паралелепіпед прямокутний, бічне ребро перпендикулярне до площини основи, а отже, перпендикулярне до будь-якої прямої цієї площини — зокрема до \( d_1 \). Цей трикутник прямокутний, і знову за Піфагором \[ d^2 = d_1^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 \]
Звідси відразу для куба з ребром \( a \): \( d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \). Перехід від площини до простору тут спирається на аксіоми стереометрії та ознаку перпендикулярності прямої й площини.
Діагональний переріз
Діагональний переріз призми — це переріз площиною, що проходить через два бічні ребра, які не лежать в одній грані.
У прямій призмі такий переріз завжди прямокутник: його сторони — діагональ основи \( d_{\text{осн}} \) і висота \( h \), тому \[ S_{\text{перерізу}} = d_{\text{осн}} \cdot h \]
У правильної чотирикутної призми (основа — квадрат зі стороною \( a \)) діагональний переріз один за формою, бо \( d_{\text{осн}} = a\sqrt{2} \). А от у правильної шестикутної призми перерізів два типи: через довгу діагональ основи \( 2a \) і через коротку \( a\sqrt{3} \). Тому в умові завжди уточнюють, через яку діагональ проходить площина — інакше задача має дві різні відповіді.
Приклад 1. Правильна трикутна призма
Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 6 см, висота — 10 см. Знайти площу бічної та повної поверхні й об'єм.
Основа — рівносторонній трикутник зі стороною \( a = 6 \). Його периметр \( P = 3 \cdot 6 = 18 \) см, площа \[ S_{\text{осн}} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\ \text{см}^2 \]
Призма правильна, отже пряма, і бічне ребро дорівнює висоті: \[ S_{\text{біч}} = P \cdot h = 18 \cdot 10 = 180\ \text{см}^2 \] \[ S_{\text{повн}} = 180 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 180 + 18\sqrt{3} \approx 211{,}18\ \text{см}^2 \] \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3} \approx 155{,}88\ \text{см}^3 \]
Відповідь: \( S_{\text{біч}} = 180 \) см², \( S_{\text{повн}} = 180 + 18\sqrt{3} \approx 211{,}18 \) см², \( V = 90\sqrt{3} \approx 155{,}88 \) см³.
Приклад 2. Прямокутний паралелепіпед
Вимірювання прямокутного паралелепіпеда: 3 см, 4 см і 12 см. Знайти діагональ, об'єм і повну поверхню.
Діагональ: \[ d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \text{см} \]
Об'єм: \( V = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144 \) см³.
Повна поверхня: \[ S = 2(ab + bc + ac) = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 12 + 3 \cdot 12) = 2(12 + 48 + 36) = 2 \cdot 96 = 192\ \text{см}^2 \]
Відповідь: \( d = 13 \) см, \( V = 144 \) см³, \( S = 192 \) см².
Приклад 3. Вимірювання задані відношенням
Вимірювання прямокутного паралелепіпеда відносяться як \( 1 : 2 : 2 \), а діагональ дорівнює 15 см. Знайти об'єм і повну поверхню.
Позначимо вимірювання \( k \), \( 2k \), \( 2k \), де \( k > 0 \). Тоді \[ \sqrt{k^2 + 4k^2 + 4k^2} = 15 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{9k^2} = 3k = 15 \quad \Rightarrow \quad k = 5 \]
Перевірка: вимірювання 5, 10 і 10 дають діагональ \( \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15 \) — збігається з умовою.
Об'єм: \( V = 5 \cdot 10 \cdot 10 = 500 \) см³. Поверхня: \[ S = 2(5 \cdot 10 + 10 \cdot 10 + 5 \cdot 10) = 2(50 + 100 + 50) = 400\ \text{см}^2 \]
Відповідь: \( V = 500 \) см³, \( S = 400 \) см².
Приклад 4. Задано діагональний переріз
Площа діагонального перерізу правильної чотирикутної призми дорівнює 48 см², висота — 8 см. Знайти об'єм і повну поверхню.
Діагональний переріз прямої призми — прямокутник зі сторонами \( d_{\text{осн}} \) і \( h \), тому \[ d_{\text{осн}} = \frac{48}{8} = 6\ \text{см} \]
Основа — квадрат зі стороною \( a \), його діагональ \( a\sqrt{2} = 6 \), звідси \( a = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \) см. Зручно, що для об'єму потрібне не саме \( a \), а його квадрат: \[ S_{\text{осн}} = a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18\ \text{см}^2 \] \[ V = 18 \cdot 8 = 144\ \text{см}^3 \] \[ S_{\text{повн}} = 2 \cdot 18 + 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 = 36 + 96\sqrt{2} \approx 171{,}76\ \text{см}^2 \]
Відповідь: \( V = 144 \) см³, \( S_{\text{повн}} = 36 + 96\sqrt{2} \approx 171{,}76 \) см².
Приклад 5. Правильна шестикутна призма
Сторона основи правильної шестикутної призми дорівнює 4 см, висота — 5 см. Знайти об'єм, повну поверхню та більшу діагональ призми.
Правильний шестикутник зі стороною \( a = 4 \) складається з шести рівносторонніх трикутників зі стороною 4: \[ S_{\text{осн}} = \frac{3 \cdot 4^2\sqrt{3}}{2} = \frac{48\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \approx 41{,}57\ \text{см}^2 \]
Периметр \( P = 6 \cdot 4 = 24 \) см, тож \[ S_{\text{біч}} = 24 \cdot 5 = 120\ \text{см}^2, \qquad S_{\text{повн}} = 120 + 2 \cdot 24\sqrt{3} = 120 + 48\sqrt{3} \approx 203{,}14\ \text{см}^2 \] \[ V = 24\sqrt{3} \cdot 5 = 120\sqrt{3} \approx 207{,}85\ \text{см}^3 \]
Більша діагональ призми спирається на більшу діагональ основи, що дорівнює \( 2a = 8 \) см. За Піфагором у прямокутному трикутнику з катетами 8 і 5: \[ D = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9{,}43\ \text{см} \]
Відповідь: \( V = 120\sqrt{3} \approx 207{,}85 \) см³, \( S_{\text{повн}} = 120 + 48\sqrt{3} \approx 203{,}14 \) см², \( D = \sqrt{89} \approx 9{,}43 \) см.
Приклад 6. Похила призма
В основі похилої призми лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Бічне ребро дорівнює 10 см і нахилене до площини основи під кутом \( 60^\circ \). Знайти об'єм.
Площа основи: \( S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) см².
Висота — це не ребро. Опустимо перпендикуляр з верхньої вершини на площину основи: у прямокутному трикутнику з гіпотенузою-ребром 10 і кутом \( 60^\circ \) при основі \[ h = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\ \text{см} \] \[ V = 24 \cdot 5\sqrt{3} = 120\sqrt{3} \approx 207{,}85\ \text{см}^3 \]
Якби ми необачно взяли \( h = 10 \), отримали б 240 см³ — помилка більш ніж на 15 %.
Відповідь: \( V = 120\sqrt{3} \approx 207{,}85 \) см³.
Типові помилки
- Бічне ребро замість висоти в похилій призмі. Ребро дорівнює висоті тільки в прямій призмі. У похилій \( h = \ell\sin\alpha \), і це завжди менше за \( \ell \).
- Двійка не там. Пишуть \( S_{\text{повн}} = 2S_{\text{біч}} + S_{\text{осн}} \). Правильно навпаки: бічна поверхня одна, а основ дві.
- «Правильна» плутається з «прямою». Пряма призма може мати в основі будь-який многокутник. Правильна — обов'язково правильний многокутник і обов'язково пряма.
- Формулу \( d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \) застосовують до будь-якого паралелепіпеда. Вона працює лише для прямокутного, бо виведення двічі спирається на прямі кути.
- Помилка в площі основи. Для рівностороннього трикутника пишуть \( \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} \) замість \( \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \), а для шестикутника беруть формулу трикутника без множника 6.
- Одна діагональ шестикутника замість двох. У правильному шестикутнику діагоналі бувають довжиною \( 2a \) і \( a\sqrt{3} \), і площі відповідних діагональних перерізів різні.
- Одиниці. Об'єм у см³, площа в см², довжина в см. Якщо в умові змішані метри й сантиметри, переводьте їх на самому початку, а не в кінці розв'язання.
Висновок
Уся тема тримається на трьох реченнях: об'єм будь-якої призми — \( V = S_{\text{осн}} \cdot h \); бічна поверхня прямої призми — \( S_{\text{біч}} = P_{\text{осн}} \cdot h \); діагональ прямокутного паралелепіпеда — \( d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \). Решта — планіметрія основи й уважність до того, що саме дано: ребро чи висота, довга діагональ чи коротка. Якщо стереометрія поки що виглядає як набір розрізнених формул, приходьте на пробне заняття — розберемо на конкретних задачах з НМТ і збудуємо систему, а не список.
Чим відрізняється пряма призма від правильної?
Пряма призма — це призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основ; основа при цьому може бути будь-яким многокутником. Правильна призма — це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник (рівносторонній трикутник, квадрат, правильний шестикутник). Отже, кожна правильна призма пряма, але не кожна пряма — правильна.
Чи працює формула об'єму для похилої призми?
Так, формула \( V = S_{\text{осн}} \cdot h \) справедлива для будь-якої призми. Але \( h \) — це відстань між площинами основ, а не довжина бічного ребра. Якщо ребро \( \ell \) нахилене під кутом \( \alpha \), то \( h = \ell\sin\alpha \). А от формула \( S_{\text{біч}} = P_{\text{осн}} \cdot h \) для похилої призми вже не працює.
Як знайти діагональ куба з ребром a?
Куб — це прямокутний паралелепіпед з \( a = b = c \), тому \( d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \). Наприклад, для ребра 6 см діагональ дорівнює \( 6\sqrt{3} \approx 10{,}39 \) см. Не плутайте її з діагоналлю грані, яка дорівнює \( a\sqrt{2} \).
Скільки різних діагональних перерізів має правильна шестикутна призма?
Два типи. Три перерізи проходять через довгі діагоналі основи довжиною \( 2a \), і їхня площа дорівнює \( 2ah \). Ще три проходять через короткі діагоналі довжиною \( a\sqrt{3} \), їхня площа — \( a\sqrt{3} \cdot h \). Саме тому в умові завжди уточнюють, через яку діагональ проходить січна площина.
