Многоугольники: сумма углов и правильные многоугольники
Тема многоугольников выглядит простой ровно до тех пор, пока в задаче не появляется буква \(n\) вместо конкретного числа. Ученик уверенно считает углы треугольника и четырёхугольника, а на вопрос «сколько сторон у многоугольника, сумма углов которого равна \(1980^\circ\)» останавливается. В Tutor-Math мы строим эту тему вокруг одной идеи: любой многоугольник режется на треугольники, и все формулы — лишь следствие этого разреза. Разберём определение, четыре рабочие формулы и шесть примеров, посчитанных до конца.
Определение многоугольника и выпуклости
Многоугольником называют замкнутую ломаную без самопересечений вместе с ограниченной ею частью плоскости. Звенья ломаной — это стороны, их концы — вершины. Многоугольник с \(n\) вершинами имеет ровно \(n\) сторон и называется \(n\)-угольником.
Второе определение важнее, чем кажется, потому что именно оно стоит в условии почти каждой задачи.
Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Равносильная формулировка: отрезок, соединяющий любые две точки многоугольника, целиком лежит внутри него.
Практический критерий для школьника: у выпуклого многоугольника все внутренние углы меньше \(180^\circ\). Как только появился угол больше \(180^\circ\) (вогнутый, «вмятина»), фигура перестаёт быть выпуклой. Дальше везде, где не сказано иначе, речь идёт о выпуклых многоугольниках: для них формула суммы углов доказывается проще всего.
Знакомые вам фигуры — частные случаи: параллелограмм и трапеция это выпуклые четырёхугольники, то есть \(n = 4\).
Сумма внутренних углов: откуда берётся формула
Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника равна \[S_n = (n-2)\cdot 180^\circ.\]
Формулу не надо зубрить — её надо один раз увидеть. Возьмите одну вершину многоугольника и проведите из неё все возможные диагонали. Эта вершина соединена сторонами с двумя соседними вершинами, поэтому диагонали идут к оставшимся \(n - 3\) вершинам. Эти \(n-3\) диагонали разрезают многоугольник ровно на \(n - 2\) треугольника.
Проверьте на пальцах: в четырёхугольнике из одной вершины выходит \(4 - 3 = 1\) диагональ и получается \(4 - 2 = 2\) треугольника. В пятиугольнике — \(2\) диагонали и \(3\) треугольника. В шестиугольнике — \(3\) диагонали и \(4\) треугольника.
Теперь главное: ни один из этих треугольников не выходит за границы многоугольника и ни один кусок не пропущен, а углы треугольников в сумме дают именно внутренние углы многоугольника. Каждый треугольник даёт \(180^\circ\), треугольников \(n-2\), отсюда и \(S_n = (n-2)\cdot 180^\circ\). Никакой магии — только разрез.
Контрольные значения, которые стоит помнить наизусть: \(n=3\) даёт \(180^\circ\), \(n=4\) даёт \(360^\circ\), \(n=5\) даёт \(540^\circ\), \(n=6\) даёт \(720^\circ\).
Сумма внешних углов всегда равна 360°
Внешний угол при вершине — это угол, смежный с внутренним: если внутренний равен \(\alpha\), то внешний равен \(180^\circ - \alpha\). Возьмём по одному внешнему углу при каждой вершине и сложим:
\[\sum_{i=1}^{n}(180^\circ - \alpha_i) = 180^\circ n - \sum \alpha_i = 180^\circ n - (n-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ.\]
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна \(360^\circ\) — для любого \(n\).
Наглядно: представьте, что вы идёте по контуру многоугольника и на каждой вершине поворачиваете на внешний угол. Обойдя фигуру, вы сделали полный оборот — \(360^\circ\). Эта формула часто короче основной: если в условии фигурирует внешний угол, считайте через \(360^\circ\), а не через \((n-2)\cdot 180^\circ\).
Количество диагоналей
Количество диагоналей выпуклого \(n\)-угольника равно \[D = \frac{n(n-3)}{2}.\]
Вывод так же короток. Из каждой из \(n\) вершин выходит \(n-3\) диагонали (не считая саму вершину и двух её соседей). Получаем \(n(n-3)\) — но каждую диагональ мы посчитали дважды, с обоих её концов. Делим на \(2\).
Проверка на границе: при \(n = 3\) формула даёт \(\frac{3\cdot 0}{2} = 0\) — у треугольника диагоналей нет, всё верно. При \(n=4\) получаем \(2\) — две диагонали четырёхугольника.
Правильный многоугольник
Правильным называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Оба условия обязательны: у ромба стороны равны, но правильным он не является, а у прямоугольника равны углы — и он тоже не правильный.
Поскольку все \(n\) углов одинаковы, а их сумма известна, каждый угол равен
\[\alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.\]
Вторая форма удобнее: она сразу показывает, что внешний угол правильного \(n\)-угольника равен \(\frac{360^\circ}{n}\), и что с ростом \(n\) внутренний угол приближается к \(180^\circ\), но никогда его не достигает.
В каждый правильный многоугольник можно вписать окружность, и вокруг каждого можно описать окружность, причём их центры совпадают. Обозначим \(R\) — радиус описанной окружности (от центра до вершины), \(r\) — радиус вписанной окружности (от центра до середины стороны, это апофема). Для стороны \(a\):
\[R = \frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r = \frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}}.\]
Площадь считается через периметр и апофему — многоугольник режется на \(n\) одинаковых треугольников с основанием \(a\) и высотой \(r\):
\[S = \frac{1}{2}\,P\,r = \frac{1}{2}\,n\,a\,r.\]
О самих окружностях и связанных с ними формулах подробнее — в статьях про окружность и круг и вписанную и описанную окружность.
Три случая, которые надо знать наизусть
Подставив \(n = 3, 4, 6\), получаем готовые формулы, экономящие на контрольной минуты.
- Правильный треугольник (\(n=3\)): угол \(60^\circ\), \(R = \dfrac{a\sqrt3}{3}\), \(r = \dfrac{a\sqrt3}{6}\), \(S = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\). Обратите внимание: \(R = 2r\).
- Квадрат (\(n=4\)): угол \(90^\circ\), \(R = \dfrac{a\sqrt2}{2}\), \(r = \dfrac{a}{2}\), \(S = a^2\).
- Правильный шестиугольник (\(n=6\)): угол \(120^\circ\), \(R = a\), \(r = \dfrac{a\sqrt3}{2}\), \(S = \dfrac{3a^2\sqrt3}{2}\).
Равенство \(R = a\) у шестиугольника — не совпадение: он состоит из шести правильных треугольников с общей вершиной в центре, поэтому радиус описанной окружности равен стороне. Это самое часто используемое свойство в задачах на шестиугольник.
Пример 1. Неизвестный угол пятиугольника
Четыре угла выпуклого пятиугольника равны \(100^\circ\), \(120^\circ\), \(90^\circ\) и \(135^\circ\). Найти пятый угол.
Сумма всех углов: \(S_5 = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ\). Сумма известных: \(100 + 120 + 90 + 135 = 445^\circ\). Тогда \(x = 540^\circ - 445^\circ = 95^\circ\).
Проверка на выпуклость: \(95^\circ < 180^\circ\), условие выполнено — такой пятиугольник существует.
Ответ: \(95^\circ\).
Пример 2. Обратная задача: по сумме углов найти количество сторон
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна \(1980^\circ\). Сколько у него сторон?
Это та же формула, только неизвестное теперь \(n\):
\[(n-2)\cdot 180^\circ = 1980^\circ \;\Rightarrow\; n - 2 = \frac{1980}{180} = 11 \;\Rightarrow\; n = 13.\]
Проверка подстановкой: \((13-2)\cdot 180^\circ = 11 \cdot 180^\circ = 1980^\circ\). Совпадает.
Важный момент: сумма углов всегда кратна \(180^\circ\). Если в условии дали, скажем, \(1000^\circ\), то \(\frac{1000}{180}\) не является целым числом — такого многоугольника не существует, и это и будет ответом, а не ошибкой в вычислениях.
Ответ: \(13\) сторон.
Пример 3. Диагонали в обе стороны
(а) Сколько диагоналей у выпуклого \(12\)-угольника? (б) У многоугольника \(90\) диагоналей — сколько у него вершин?
(а) \(D = \dfrac{12\cdot(12-3)}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = \dfrac{108}{2} = 54\).
(б) Составляем уравнение \(\dfrac{n(n-3)}{2} = 90\), то есть \(n^2 - 3n - 180 = 0\). Дискриминант \(D = 9 + 720 = 729\), \(\sqrt{729} = 27\), отсюда \(n = \dfrac{3 + 27}{2} = 15\) или \(n = \dfrac{3-27}{2} = -12\). Отрицательный корень отбрасываем: количество вершин не бывает отрицательным.
Проверка: \(\dfrac{15 \cdot 12}{2} = 90\). Верно.
Ответ: (а) \(54\) диагонали; (б) \(15\) вершин.
Пример 4. Угол правильного многоугольника
(а) Найти угол правильного \(18\)-угольника. (б) Угол правильного многоугольника равен \(156^\circ\) — найти \(n\).
(а) \(\alpha = 180^\circ - \dfrac{360^\circ}{18} = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\).
(б) \(180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n} = 156^\circ \;\Rightarrow\; \dfrac{360^\circ}{n} = 24^\circ \;\Rightarrow\; n = 15\).
Проверка: \(\dfrac{(15-2)\cdot 180^\circ}{15} = \dfrac{2340^\circ}{15} = 156^\circ\). Совпадает.
Ответ: (а) \(160^\circ\); (б) \(n = 15\).
Пример 5. Через внешний угол
Внешний угол правильного многоугольника равен \(24^\circ\). Найти количество сторон и сумму внутренних углов.
Сумма внешних углов всегда \(360^\circ\), а все они здесь одинаковы, поэтому \(n = \dfrac{360^\circ}{24^\circ} = 15\).
Сумма внутренних: \(S_{15} = (15-2)\cdot 180^\circ = 2340^\circ\).
Обратите внимание, насколько этот путь короче попытки сразу писать уравнение с \((n-2)\cdot 180^\circ\): одно деление вместо дробного уравнения.
Ответ: \(15\) сторон, сумма внутренних углов \(2340^\circ\).
Пример 6. Правильный шестиугольник со стороной 6
Для правильного шестиугольника со стороной \(a = 6\) найти радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь.
Угол шестиугольника: \(180^\circ - \dfrac{360^\circ}{6} = 120^\circ\).
Радиус описанной окружности: для \(n=6\) имеем \(R = a = 6\).
Радиус вписанной окружности (апофема): \(r = \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3 \approx 5{,}196\).
Площадь: \(S = \dfrac{3a^2\sqrt3}{2} = \dfrac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt3}{2} = 54\sqrt3 \approx 93{,}53\).
Проверим площадь вторым способом, через периметр и апофему: \(P = 6 \cdot 6 = 36\), тогда \(S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2}\cdot 36 \cdot 3\sqrt3 = 54\sqrt3\). Оба способа дали одно и то же.
Ответ: \(R = 6\), \(r = 3\sqrt3 \approx 5{,}196\), \(S = 54\sqrt3 \approx 93{,}53\).
Типичные ошибки
- Умножают на \(180^\circ\) само \(n\), а не \(n-2\). Для восьмиугольника пишут \(8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ\) вместо \(6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ\). Лекарство одно: каждый раз вспоминайте разрез на треугольники — их на два меньше, чем вершин.
- Путают сумму углов многоугольника с углом правильного многоугольника. Это разные вещи: \((n-2)\cdot 180^\circ\) — сумма всех углов, \(\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\) — один угол, и вторую формулу можно применять только к правильному многоугольнику.
- Забывают делить на 2 в формуле диагоналей. Ответ выходит ровно вдвое больше, потому что каждую диагональ посчитали с двух концов.
- Считают, что сумма внешних углов зависит от \(n\). Не зависит — она всегда \(360^\circ\), и для треугольника, и для стоугольника.
- Называют ромб или прямоугольник правильными. Нужны оба условия одновременно; из четырёхугольников правильный только квадрат.
- Путают \(R\) и \(r\). Описанная окружность проходит через вершины (она больше), вписанная касается сторон (меньше). Если в ответе \(r > R\) — где-то подставили не ту формулу.
- Не проверяют, что \(n\) — целое натуральное число. Если из уравнения получилось \(n = 7{,}5\) или отрицательное значение, это не «почти правильно», а доказательство того, что такого многоугольника не существует.
Вывод
Вся тема держится на четырёх формулах: \(S_n = (n-2)\cdot 180^\circ\), сумма внешних углов \(= 360^\circ\), \(D = \frac{n(n-3)}{2}\) и угол правильного \(n\)-угольника \(= 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}\). Каждую из них можно вывести за полминуты, если помнить про разрез на треугольники, — а выведенная формула не забывается перед контрольной так, как зазубренная. Обратные задачи (найти \(n\) по сумме углов, по количеству диагоналей, по величине угла) — это те же формулы, решённые относительно \(n\), и именно они чаще всего встречаются на НМТ.
Если задачи с буквой \(n\) пока вызывают ступор, приходите на пробное занятие — разберём вывод формул на конкретных фигурах и закрепим на задачах вашего уровня.
Почему сумма углов многоугольника равна именно \((n-2)\cdot 180^\circ\)?
Потому что диагонали, проведённые из одной вершины, разрезают \(n\)-угольник ровно на \(n-2\) треугольника. Сумма углов всех этих треугольников равна сумме внутренних углов многоугольника, а каждый треугольник даёт \(180^\circ\).
Работает ли формула суммы углов для невыпуклых многоугольников?
Да, для любого простого (без самопересечений) многоугольника сумма внутренних углов тоже равна \((n-2)\cdot 180^\circ\). Но разрез на треугольники там сложнее: диагонали из произвольной вершины могут выходить за пределы фигуры. В школьном курсе формулу доказывают и применяют для выпуклых многоугольников.
Существует ли многоугольник, сумма углов которого равна \(1000^\circ\)?
Нет. Из уравнения \((n-2)\cdot 180^\circ = 1000^\circ\) получаем \(n - 2 = \frac{50}{9}\), то есть \(n\) не является целым числом. Сумма углов многоугольника всегда кратна \(180^\circ\).
Чем правильный многоугольник отличается от равностороннего?
Равносторонний — это только про равные стороны, правильный — про равные стороны и равные углы. Для треугольника эти понятия совпадают, а для четырёхугольника уже нет: ромб равносторонний, но не правильный, потому что его углы разные.
