Рівняння прямої та рівняння кола
У 9 класі геометрія вперше стає алгеброю: пряма й коло перестають бути малюнками й перетворюються на рівняння, які можна розв'язувати. Це той момент, коли задача «чи перетинає пряма коло» зводиться до одного обчислення замість акуратного креслення. На заняттях у Tutor-Math ми проходимо цю тему саме як інструмент: два рівняння, три прийоми — і половина задач з координатної геометрії закривається механічно. Розберімо обидва рівняння, умови паралельності й перпендикулярності та найважчий технічний момент теми — виділення повного квадрата.
Загальне рівняння прямої
Будь-яку пряму на координатній площині можна задати рівнянням першого степеня відносно \(x\) та \(y\).
Загальне рівняння прямої:
\[ax+by+c=0,\qquad a^2+b^2\neq 0.\]
Точка \(M(x_0;y_0)\) лежить на прямій тоді й лише тоді, коли \(ax_0+by_0+c=0\).
Умова \(a^2+b^2\neq 0\) означає, що коефіцієнти \(a\) і \(b\) не можуть дорівнювати нулю одночасно — інакше жодної прямої не вийде. Три окремі випадки варто знати напам'ять:
- якщо \(b=0\), маємо \(x=-\dfrac{c}{a}\) — вертикальна пряма;
- якщо \(a=0\), маємо \(y=-\dfrac{c}{b}\) — горизонтальна пряма;
- якщо \(c=0\), пряма проходить через початок координат, бо точка \((0;0)\) задовольняє рівняння.
Загальне рівняння визначається неоднозначно: помноживши обидві частини на будь-яке число, відмінне від нуля, дістанемо ту саму пряму. Рівняння \(3x-4y+12=0\) і \(6x-8y+24=0\) описують одну й ту саму множину точок. Про саму систему координат і відстань між точками — у статті координати на площині.
Рівняння з кутовим коефіцієнтом
Якщо \(b\neq 0\), тобто пряма не вертикальна, з загального рівняння можна виразити \(y\).
Рівняння з кутовим коефіцієнтом: \(y=kx+l\), де \(k=-\dfrac{a}{b}\) — кутовий коефіцієнт, а \(l=-\dfrac{c}{b}\) — ордината точки перетину з віссю \(Oy\).
Число \(k\) дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до додатного напряму осі \(Ox\). Практично воно показує, на скільки зміниться \(y\), якщо \(x\) збільшити на одиницю. Детальніше про поведінку графіка залежно від \(k\) — у статті про лінійну функцію. Головне обмеження: вертикальна пряма \(x=5\) кутового коефіцієнта не має взагалі, її неможливо записати у вигляді \(y=kx+l\).
Приклад 1. Записати пряму \(3x-4y+12=0\) у вигляді з кутовим коефіцієнтом і знайти точки перетину з осями.
Виражаємо \(y\): переносимо \(3x\) і \(12\) вправо, дістаємо \(-4y=-3x-12\), ділимо обидві частини на \(-4\):
\[y=\frac{3}{4}x+3.\]
Отже \(k=\dfrac{3}{4}\), \(l=3\). Перетин з віссю \(Oy\): при \(x=0\) маємо \(y=3\), точка \((0;3)\). Перетин з віссю \(Ox\): при \(y=0\) дістаємо \(3x+12=0\), звідси \(x=-4\), точка \((-4;0)\). Перевірка підстановкою у вихідне рівняння: \(3\cdot 0-4\cdot 3+12=0\) і \(3\cdot(-4)-4\cdot 0+12=0\) — обидві рівності справджуються.
Відповідь: \(y=\frac{3}{4}x+3\); точки \((0;3)\) і \((-4;0)\).
Рівняння прямої за двома точками
Через дві різні точки проходить рівно одна пряма, тому дві точки завжди однозначно задають її рівняння.
Якщо \(A(x_1;y_1)\) і \(B(x_2;y_2)\) та \(x_1\neq x_2\), то кутовий коефіцієнт
\[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\]
а саме рівняння зручно записувати як \(y-y_1=k(x-x_1)\).
Якщо ж \(x_1=x_2\), пряма вертикальна і її рівняння просто \(x=x_1\) — жодних дробів рахувати не треба.
Приклад 2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки \(A(-1;2)\) і \(B(3;10)\).
Спочатку кутовий коефіцієнт:
\[k=\frac{10-2}{3-(-1)}=\frac{8}{4}=2.\]
Тепер підставляємо точку \(A\) у формулу \(y-y_1=k(x-x_1)\): \(y-2=2(x+1)\), розкриваємо дужки: \(y=2x+4\). У загальному вигляді це \(2x-y+4=0\).
Перевірка обома точками: для \(A(-1;2)\) маємо \(2\cdot(-1)-2+4=0\); для \(B(3;10)\) маємо \(2\cdot 3-10+4=0\). Обидві точки справді лежать на прямій.
Відповідь: \(y=2x+4\), або \(2x-y+4=0\).
Паралельність і перпендикулярність
Дві умови, які треба знати без роздумів. Обидві формулюються через кутові коефіцієнти невертикальних прямих \(y=k_1x+l_1\) і \(y=k_2x+l_2\).
Паралельність: прямі паралельні тоді й лише тоді, коли \(k_1=k_2\) (і \(l_1\neq l_2\), інакше це одна й та сама пряма).
Перпендикулярність: прямі перпендикулярні тоді й лише тоді, коли \(k_1k_2=-1\), тобто \(k_2=-\dfrac{1}{k_1}\).
Умова перпендикулярності вимагає, щоб жоден із коефіцієнтів не дорівнював нулю. Горизонтальна пряма \(y=3\) має \(k=0\), і перпендикулярна до неї — вертикальна \(x=c\), яка кутового коефіцієнта не має. Формула \(k_1k_2=-1\) цей випадок не описує, його розглядають окремо.
Приклад 3. Через точку \(M(6;-1)\) провести пряму, паралельну прямій \(y=-3x+5\), і пряму, перпендикулярну до неї.
Паралельна. Кутовий коефіцієнт той самий: \(k=-3\). Шукаємо \(l\) з умови проходження через \(M\): \(-1=-3\cdot 6+l\), звідси \(-1=-18+l\) і \(l=17\). Рівняння: \(y=-3x+17\).
Перпендикулярна. З умови \(k_1k_2=-1\) маємо \(-3\cdot k_2=-1\), тобто \(k_2=\dfrac{1}{3}\). Підставляємо \(M\): \(-1=\dfrac{1}{3}\cdot 6+l\), тобто \(-1=2+l\) і \(l=-3\). Рівняння: \(y=\dfrac{1}{3}x-3\).
Перевірка: обидві прямі проходять через \(M\) — підстановка \(x=6\) дає \(-18+17=-1\) і \(2-3=-1\). Добуток коефіцієнтів \(-3\cdot\dfrac{1}{3}=-1\), умова перпендикулярності виконана.
Відповідь: паралельна — \(y=-3x+17\); перпендикулярна — \(y=\frac{1}{3}x-3\).
Рівняння кола
Коло — це множина всіх точок площини, віддалених від центра на однакову відстань. Записавши цю фразу через формулу відстані між двома точками, одразу дістанемо рівняння.
Рівняння кола з центром \(C(a;b)\) і радіусом \(R\):
\[(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\]
Якщо центр у початку координат, рівняння спрощується до \(x^2+y^2=R^2\).
Найчастіша помилка починається просто з читання: у рівнянні \((x-3)^2+(y+4)^2=25\) центр має координати \((3;-4)\), а не \((3;4)\) і не \((-3;4)\). Знаки в дужках протилежні до координат центра. І праворуч стоїть \(R^2\), а не \(R\): тут радіус дорівнює 5, а не 25. Про саме коло як геометричну фігуру — у статті коло і круг.
Приклад 4. Скласти рівняння кола з центром \(C(-2;5)\), яке проходить через точку \(A(1;1)\).
Радіус — це відстань \(CA\):
\[R^2=(1-(-2))^2+(1-5)^2=3^2+(-4)^2=9+16=25,\qquad R=5.\]
Підставляємо координати центра і \(R^2\) у загальну формулу: \((x+2)^2+(y-5)^2=25\).
Перевірка: точка \(A(1;1)\) дає \((1+2)^2+(1-5)^2=9+16=25\) — лежить на колі. Контрольні точки \((3;5)\) і \((-2;10)\), віддалені від центра на 5 уздовж осей, теж задовольняють рівняння.
Відповідь: \((x+2)^2+(y-5)^2=25\), \(R=5\).
Виділення повного квадрата — головна технічна складність
У задачах коло часто задають не в канонічному вигляді, а розкритим: \(x^2+y^2+px+qy+r=0\). Щоб побачити центр і радіус, потрібно згорнути це назад — виділити повний квадрат окремо по \(x\) і окремо по \(y\).
Прийом. Щоб доповнити \(x^2+px\) до повного квадрата, додають і віднімають \(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2\):
\[x^2+px=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2.\]
Правило коротко: беремо половину коефіцієнта при \(x\) — це і є друге число в дужках; квадрат цієї половини потім віднімаємо, щоб вираз не змінився.
Приклад 5. Знайти центр і радіус кола \(x^2+y^2+10x-4y-7=0\).
Групуємо доданки з \(x\) і доданки з \(y\), вільний член переносимо вправо:
\[(x^2+10x)+(y^2-4y)=7.\]
Половина від 10 — це 5, тому \(x^2+10x=(x+5)^2-25\). Половина від \(-4\) — це \(-2\), тому \(y^2-4y=(y-2)^2-4\). Підставляємо:
\[(x+5)^2-25+(y-2)^2-4=7.\]
Переносимо числа вправо: \((x+5)^2+(y-2)^2=7+25+4=36\).
Отже центр \(C(-5;2)\), радіус \(R=\sqrt{36}=6\).
Перевірка. Розкриємо отриману форму назад: \((x+5)^2+(y-2)^2-36=x^2+10x+25+y^2-4y+4-36=x^2+y^2+10x-4y-7\) — збіглося з вихідним виразом. Додатково підставимо точку \((1;2)\), яка має лежати на колі: у канонічному рівнянні \(36+0=36\), у вихідному \(1+4+10-8-7=0\). Обидві рівності правильні.
Відповідь: центр \((-5;2)\), радіус \(R=6\).
Важливе застереження: якщо після перенесення праворуч виходить від'ємне число, кола не існує взагалі. Якщо виходить нуль — рівняння задає одну-єдину точку, свій же «центр». Обидва випадки трапляються в задачах з параметром.
Взаємне розміщення прямої й кола
Тут працює одне порівняння. Позначимо \(d\) — відстань від центра кола до прямої, \(R\) — радіус.
Якщо \(d > R\) — спільних точок немає; якщо \(d=R\) — пряма дотична (одна спільна точка); якщо \(d < R\) — пряма січна (дві спільні точки).
Відстань від точки \(M(x_0;y_0)\) до прямої \(ax+by+c=0\):
\[d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
Альтернативний шлях — розв'язати систему з рівнянь прямої та кола. Підставивши \(y\) з рівняння прямої в рівняння кола, дістанемо квадратне рівняння: два корені означають січну, один — дотичну, жодного — відсутність спільних точок. Наприклад, для кола \(x^2+y^2=25\) і прямої \(y=x+1\) підстановка дає \(x^2+(x+1)^2=25\), тобто \(2x^2+2x-24=0\), або \(x^2+x-12=0\), звідки \(x=3\) і \(x=-4\). Спільні точки — \((3;4)\) і \((-4;-3)\); перевірка: \(9+16=25\) та \(16+9=25\). Пряма січна.
Приклад 6. Визначити взаємне розміщення кола \(x^2+y^2-2x-4y-4=0\) і прямої \(3x+4y-26=0\). Якщо спільна точка є — знайти її.
Крок 1. Виділяємо повні квадрати: \((x^2-2x)+(y^2-4y)=4\), далі \((x-1)^2-1+(y-2)^2-4=4\), тобто
\[(x-1)^2+(y-2)^2=9.\]
Центр \(C(1;2)\), радіус \(R=3\).
Крок 2. Відстань від центра до прямої:
\[d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2-26|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8-26|}{5}=\frac{15}{5}=3.\]
Оскільки \(d=R=3\), пряма дотична до кола.
Крок 3. Точка дотику лежить на перпендикулярі, опущеному з центра на пряму. Розв'язавши систему з двох рівнянь, дістанемо єдиний розв'язок \(\left(\dfrac{14}{5};\dfrac{22}{5}\right)\). Перевірка: на прямій \(3\cdot\dfrac{14}{5}+4\cdot\dfrac{22}{5}-26=\dfrac{42+88-130}{5}=0\); на колі \(\left(\dfrac{14}{5}-1\right)^2+\left(\dfrac{22}{5}-2\right)^2=\dfrac{81}{25}+\dfrac{144}{25}=\dfrac{225}{25}=9\). Обидві умови виконані.
Відповідь: пряма дотична, точка дотику \(\left(\frac{14}{5};\frac{22}{5}\right)\).
Властивості дотичної, зокрема її перпендикулярність до радіуса в точці дотику, докладно розібрані в статті дотична до кола.
Типові помилки
- Знаки координат центра. З рівняння \((x+2)^2+(y-5)^2=25\) записують центр \((2;-5)\) замість \((-2;5)\). Дужки містять числа, протилежні до координат центра.
- Радіус замість квадрата радіуса. Праворуч у рівнянні стоїть \(R^2\). Побачивши 25, пишуть \(R=25\), хоча \(R=5\).
- Забуте віднімання при виділенні квадрата. Записують \(x^2+10x=(x+5)^2\), губиться \(-25\), і радіус виходить неправильним. Додали квадрат половини — обов'язково відніміть його.
- Знак у половині коефіцієнта. Для \(y^2-4y\) половина дорівнює \(-2\), тому виходить \((y-2)^2\), а не \((y+2)^2\).
- Перевернута умова перпендикулярності. Пишуть \(k_2=\dfrac{1}{k_1}\), забуваючи мінус. Правильно \(k_2=-\dfrac{1}{k_1}\).
- Ділення на нуль у формулі кутового коефіцієнта. Для точок \(A(2;1)\) і \(B(2;7)\) знаменник \(x_2-x_1\) нульовий: пряма вертикальна, її рівняння \(x=2\).
- Модуль у формулі відстані. У чисельнику \(|ax_0+by_0+c|\) модуль обов'язковий — відстань не буває від'ємною.
Висновок
Уся тема тримається на двох формулах — \(ax+by+c=0\) для прямої та \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) для кола — і трьох прийомах: обчислення кутового коефіцієнта за двома точками, виділення повного квадрата й порівняння \(d\) з \(R\). Якщо ці три дії доведені до автоматизму, задачі координатної геометрії розв'язуються за кілька рядків. Найбільше практики потребує саме виділення повного квадрата: там губиться найбільше балів через одну загублену цифру.
Якщо коло щоразу «не сходиться» або плутаються умови паралельності й перпендикулярності, приходьте на пробне заняття — розберемо ваші задачі покроково й закріпимо алгоритм на прикладах вашого рівня.
Як швидко перейти від загального рівняння прямої до кутового коефіцієнта?
Виразити \(y\). З рівняння \(ax+by+c=0\) при \(b\neq 0\) дістаємо \(y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\), тобто \(k=-\dfrac{a}{b}\). Якщо \(b=0\), пряма вертикальна і кутового коефіцієнта не має взагалі.
Навіщо виділяти повний квадрат у рівнянні кола?
Щоб побачити центр і радіус. У розкритому вигляді \(x^2+y^2+px+qy+r=0\) вони не читаються, а після згортання до \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) центр і радіус видно одразу. Це стандартний перший крок майже в кожній задачі про коло, задане розкритим рівнянням.
Як визначити, скільки спільних точок мають пряма й коло?
Порівняти відстань \(d\) від центра до прямої з радіусом \(R\): при \(d > R\) спільних точок немає, при \(d=R\) одна (дотична), при \(d < R\) дві (січна). Другий спосіб — підставити \(y\) з рівняння прямої в рівняння кола й подивитися на дискримінант отриманого квадратного рівняння.
Чи можна умовою \(k_1k_2=-1\) користуватися завжди?
Ні. Вона працює лише для невертикальних прямих із ненульовими кутовими коефіцієнтами. Пара «горизонтальна \(y=c\) і вертикальна \(x=d\)» теж перпендикулярна, але вертикальна пряма кутового коефіцієнта не має, тому формула до неї не застосовується.
