Середня лінія трикутника і трапеції
Середня лінія — одна з тих тем 8 класу, які виглядають простими рівно доти, доки не з'являється задача на кілька дій. Насправді за двома короткими теоремами ховається потужний інструмент: він дозволяє переходити від сторони до її половини, будувати паралельні прямі й миттєво знаходити площі. На заняттях у Tutor-Math ми проходимо цю тему разом із подібністю — так вона запам'ятовується не як формула, а як спосіб мислення.
У цій статті розберемо означення й теореми для трикутника та трапеції, доведемо їх ідейно, вирішимо шість задач із покроковими викладками й окремо зупинимось на помилках, які трапляються найчастіше.
Середня лінія трикутника: означення
Означення. Середня лінія трикутника — це відрізок, який сполучає середини двох його сторін.
Зверніть увагу на слово «середини». Відрізок від вершини до середини протилежної сторони — це вже медіана, а не середня лінія. Плутанина між цими двома об'єктами — помилка номер один на контрольних.
Оскільки в трикутнику три сторони, з них можна утворити рівно три пари, а отже, у кожного трикутника є три середні лінії.
Теорема про середню лінію трикутника
Теорема. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні й дорівнює її половині.
Якщо в трикутнику \(ABC\) точка \(M\) — середина сторони \(AB\), а точка \(N\) — середина сторони \(BC\), то
\[ MN \parallel AC, \qquad MN = \frac{1}{2}\,AC. \]Ідея доведення. Розглянемо трикутники \(MBN\) і \(ABC\). Кут при вершині \(B\) у них спільний. Далі порівняємо сторони, що його утворюють:
- \(BM = \dfrac{1}{2}AB\), бо \(M\) — середина сторони \(AB\);
- \(BN = \dfrac{1}{2}BC\), бо \(N\) — середина сторони \(BC\).
Отже, дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого з коефіцієнтом \(k=\frac{1}{2}\), а кути між ними рівні. За другою ознакою подібності трикутників маємо \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) з коефіцієнтом \(k=\frac{1}{2}\).
З подібності одразу випливають обидва твердження теореми. По-перше, третя пара сторін теж у відношенні \(\frac{1}{2}\), тобто \(MN=\frac{1}{2}AC\). По-друге, відповідні кути рівні: \(\angle BMN=\angle BAC\). Це відповідні кути при прямих \(MN\) і \(AC\) та січній \(AB\), а їх рівність означає, що \(MN \parallel AC\).
Серединний трикутник: периметр і площа
Проведемо в трикутнику всі три середні лінії. Вони розіб'ють його на чотири рівні трикутники, а внутрішній із них називають серединним трикутником.
Серединний трикутник подібний до вихідного з коефіцієнтом \(k=\dfrac{1}{2}\). Тому його периметр удвічі менший, а площа — у чотири рази менша: \[ P_{\text{сер}}=\frac{1}{2}P, \qquad S_{\text{сер}}=\frac{1}{4}S. \]
Чому саме чверть? Тому що при подібності площі відносяться як квадрат коефіцієнта: \(k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\). Це загальне правило, і воно працює для будь-яких подібних фігур, а не лише для трикутників. Докладніше про обчислення площ читайте у статті про площу трикутника.
Середня лінія трапеції
Означення. Середня лінія трапеції — це відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.
Ключова відмінність від трикутника: у трапеції середню лінію проводять саме через середини бічних сторін, тобто тих, що не паралельні. Основи при цьому залишаються недоторканими.
Теорема. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі: \[ m=\frac{a+b}{2}, \] де \(a\) і \(b\) — довжини основ.
Ідея доведення. Нехай у трапеції \(ABCD\) основи \(BC=b\) і \(AD=a\), а \(M\), \(N\) — середини бічних сторін \(AB\) і \(CD\). Проведемо діагональ \(AC\) і позначимо через \(K\) її середину.
Тоді \(MK\) — середня лінія трикутника \(ABC\), звідки \(MK=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}\) і \(MK \parallel BC\). Аналогічно \(KN\) — середня лінія трикутника \(ACD\), тому \(KN=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}\) і \(KN \parallel AD\). Оскільки \(BC \parallel AD\), обидва відрізки паралельні основам, а тому точка \(K\) лежить на відрізку \(MN\). Додаємо:
\[ MN = MK + KN = \frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}. \]Тобто теорема про трапецію — це просто теорема про трикутник, застосована двічі. Інші властивості цієї фігури зібрані у статті про трапецію.
Площа трапеції через середню лінію
Класична формула площі трапеції має вигляд \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h\). Але \(\frac{a+b}{2}\) — це і є середня лінія, тому формула стискається до дуже зручного вигляду:
\[ S = m \cdot h. \]Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту — так само, як площа прямокутника дорівнює добутку сторін. Це помітно скорочує обчислення, коли середня лінія дана в умові.
Приклад 1. Пряма і зворотна задача для трикутника
У трикутнику \(ABC\) точки \(M\) і \(N\) — середини сторін \(AB\) і \(BC\).
а) Знайдіть \(MN\), якщо \(AC=18\) см.
За теоремою \(MN=\frac{1}{2}AC=\frac{18}{2}=9\) см.
б) Знайдіть \(AC\), якщо \(MN=7{,}5\) см.
З рівності \(MN=\frac{1}{2}AC\) виражаємо \(AC=2\cdot MN=2\cdot 7{,}5=15\) см.
Перевірка: половина від \(15\) справді дорівнює \(7{,}5\).
Відповідь: а) \(MN=9\) см; б) \(AC=15\) см.
Приклад 2. Периметр і площа серединного трикутника
Сторони трикутника дорівнюють \(12\), \(16\) і \(20\) см. Знайдіть периметр і площу серединного трикутника.
Крок 1. Периметр вихідного трикутника: \(P=12+16+20=48\) см. Отже, периметр серединного трикутника \(P_{\text{сер}}=\frac{48}{2}=24\) см.
Крок 2. Знайдемо площу вихідного трикутника. Перевіримо, чи він прямокутний: \(12^2+16^2=144+256=400\), а \(20^2=400\). Рівність виконується, тому за оберненою теоремою Піфагора трикутник прямокутний із катетами \(12\) і \(16\).
Тоді \(S=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96\) см\(^2\).
Крок 3. Площа серединного трикутника у чотири рази менша: \(S_{\text{сер}}=\frac{96}{4}=24\) см\(^2\).
Відповідь: \(P_{\text{сер}}=24\) см, \(S_{\text{сер}}=24\) см\(^2\).
Приклад 3. Знайти основу трапеції
Середня лінія трапеції дорівнює \(12\) см, а одна з основ — \(15\) см. Знайдіть другу основу.
Із формули \(m=\frac{a+b}{2}\) виражаємо невідому основу:
\[ b = 2m - a = 2\cdot 12 - 15 = 24-15 = 9. \]Перевірка: \(\frac{15+9}{2}=\frac{24}{2}=12\) — збігається з умовою.
Відповідь: \(9\) см.
Приклад 4. Висота через середню лінію
Площа трапеції дорівнює \(40\) см\(^2\), а її середня лінія — \(8\) см. Знайдіть висоту.
Скористаємось формулою \(S=m\cdot h\):
\[ h = \frac{S}{m} = \frac{40}{8} = 5. \]Перевірка: \(8\cdot 5=40\) см\(^2\) — площа збігається.
Відповідь: \(5\) см.
Приклад 5. Основи за середньою лінією та їх різницею
Середня лінія трапеції дорівнює \(10\) см, а різниця основ — \(6\) см. Знайдіть основи.
Крок 1. Із формули середньої лінії отримуємо суму основ: \(a+b=2m=2\cdot 10=20\).
Крок 2. За умовою \(a-b=6\). Складаємо систему:
\[ \begin{cases} a+b=20,\\ a-b=6. \end{cases} \]Крок 3. Додамо рівняння: \(2a=26\), звідки \(a=13\). Тоді \(b=20-13=7\).
Перевірка: \(\frac{13+7}{2}=10\) і \(13-7=6\) — обидві умови виконано.
Відповідь: \(13\) см і \(7\) см.
Приклад 6. Відрізок між діагоналями
Основи трапеції дорівнюють \(14\) см і \(6\) см. Знайдіть відрізок середньої лінії, який лежить між діагоналями.
Крок 1. Нехай \(AD=14\), \(BC=6\), а \(M\) і \(N\) — середини бічних сторін. Діагоналі перетинають середню лінію в точках \(K\) і \(L\).
Крок 2. Відрізок \(ML\) — середня лінія трикутника \(ABD\) (точка \(L\) — середина діагоналі \(BD\)), тому \(ML=\frac{1}{2}AD=7\).
Крок 3. Відрізок \(MK\) — середня лінія трикутника \(ABC\), тому \(MK=\frac{1}{2}BC=3\).
Крок 4. Шуканий відрізок: \(KL=ML-MK=7-3=4\) см. У загальному вигляді \(KL=\frac{a-b}{2}\).
Перевірка координатами: візьмемо \(A(0;0)\), \(D(14;0)\), \(B(3;4)\), \(C(9;4)\). Середня лінія лежить на прямій \(y=2\). Діагональ \(AC\) перетинає її в точці \(x=4{,}5\), діагональ \(BD\) — у точці \(x=8{,}5\). Різниця дорівнює \(8{,}5-4{,}5=4\) — збігається.
Відповідь: \(4\) см.
Типові помилки
- Плутати середню лінію з медіаною. Медіана йде з вершини до середини протилежної сторони, середня лінія сполучає дві середини й вершин не торкається.
- У трапеції брати середини основ замість бічних сторін. Відрізок, що сполучає середини основ, — це зовсім інший об'єкт, і формула \(m=\frac{a+b}{2}\) до нього не застосовна.
- Додавати основи й забувати поділити на два. Записують \(m=a+b\) і отримують відповідь удвічі більшу за правильну.
- Множити площу на \(\frac{1}{2}\) замість \(\frac{1}{4}\). Коефіцієнт подібності \(\frac{1}{2}\) стосується довжин; площі відносяться як квадрат коефіцієнта.
- У зворотній задачі ділити замість множити. Якщо дано середню лінію, то сторона дорівнює її подвоєнню: \(AC=2\,MN\), а не \(\frac{MN}{2}\).
- Вважати, що середня лінія трапеції дорівнює півсумі бічних сторін. У формулі беруть участь тільки основи.
Висновок
Уся тема тримається на двох рівностях: \(MN=\frac{1}{2}AC\) для трикутника та \(m=\frac{a+b}{2}\) для трапеції. Обидві виводяться з подібності, обидві працюють в обидві сторони — від сторони до середньої лінії й навпаки. Якщо ви бачите в умові слово «середина», майже завжди варто спробувати провести середню лінію: вона дає паралельність і зв'язок довжин одночасно.
Хочете розібрати геометрію системно, а не завчати формули напередодні контрольної? Запишіться на пробне заняття — розберемо саме ті задачі, які зараз викликають труднощі.
Чим середня лінія відрізняється від медіани?
Середня лінія сполучає середини двох сторін і не проходить через вершини. Медіана виходить із вершини й закінчується в середині протилежної сторони. У трикутника є три середні лінії й три медіани, але це різні відрізки.
Скільки середніх ліній у трикутника і трапеції?
У трикутника — три, бо з трьох сторін можна утворити три пари. У трапеції середня лінія одна: вона сполучає середини двох бічних сторін.
Чому площа серединного трикутника у чотири рази менша?
Серединний трикутник подібний до вихідного з коефіцієнтом \(k=\frac{1}{2}\). Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто як \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\).
Як знайти основу трапеції, знаючи середню лінію?
Із формули \(m=\frac{a+b}{2}\) випливає, що сума основ дорівнює \(2m\). Якщо відома одна основа, друга дорівнює \(2m-a\). Наприклад, при \(m=12\) і \(a=15\) отримуємо \(b=24-15=9\).
