Скалярний добуток векторів: означення, координати, кут
Скалярний добуток — це та операція, після якої вектори перестають бути «стрілочками на малюнку» і починають працювати як інструмент. Саме через нього перевіряють перпендикулярність, знаходять кути в трикутнику й обчислюють довжини, не вимірюючи нічого лінійкою. У Tutor-Math ми проходимо цю тему одразу після дій з векторами на площині, і майже завжди перше запитання дев'ятикласника однакове: «а що ми взагалі отримали в результаті?». Відповідь на нього — половина розуміння теми, тож із неї й почнемо.
Означення через модулі й косинус кута
Скалярним добутком двох ненульових векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) називають число, що дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними:
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi,\]
де \(\varphi\) — кут між векторами, \(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ\). Якщо хоча б один із векторів нульовий, скалярний добуток вважають рівним нулю.
Позначають скалярний добуток крапкою — \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), або просто \(\vec{a}\,\vec{b}\). Кут між векторами відкладають від спільного початку: щоб його побачити, вектори треба звести в одну точку. Це важливо, бо вектор вільно переноситься по площині, і кут між двома стрілками, намальованими в різних кутках аркуша, визначають саме після такого зведення.
Результат скалярного добутку — число, а не вектор. Це головне, що варто запам'ятати з першої хвилини. Ми беремо два вектори, а отримуємо звичайний дійсний скаляр: у нього немає ні напряму, ні стрілки над буквою. Тому записи на кшталт «\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) напрямлений так само, як \(\vec{a}\)» позбавлені змісту, а сама назва операції — «скалярний» — про це прямо натякає.
Скалярний добуток у координатах
Друге означення — робоче. Саме ним користуються в задачах, бо воно не вимагає знати кут.
Якщо \(\vec{a}(x_1;y_1)\) і \(\vec{b}(x_2;y_2)\), то
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2.\]
Тобто перемножуємо перші координати, перемножуємо другі та додаємо результати. Ніяких віднімань, ніякого «навхрест» — це типова плутанина з іншими формулами. Якщо вектор заданий двома точками, координати спершу знаходять як різницю «кінець мінус початок»: для \(A(x_A;y_A)\) і \(B(x_B;y_B)\) маємо \(\vec{AB}(x_B-x_A;\;y_B-y_A)\). Детальніше про це — у статті про координати на площині.
Обидва означення описують одне й те саме число. Прирівнявши їх, отримуємо формулу для косинуса кута, до якої ще повернемось:
\[\cos\varphi=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}.\]
Знак добутку: гострий кут чи тупий
Модулі векторів завжди додатні, тому знак усього виразу \(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi\) визначає лише косинус. А косинус на проміжку від \(0^\circ\) до \(180^\circ\) поводиться передбачувано. Звідси — правило, яке дозволяє відповісти про кут, навіть не обчислюючи його:
- \(\vec{a}\cdot\vec{b} > 0\) — кут гострий (\(\varphi < 90^\circ\));
- \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\) — кут прямий (вектори перпендикулярні);
- \(\vec{a}\cdot\vec{b} < 0\) — кут тупий (\(\varphi > 90^\circ\)).
У задачах на кшталт «визначте вид кута \(A\) трикутника» цього достатньо: рахуємо один добуток і дивимось на знак. Обчислювати сам кут не потрібно.
Умова перпендикулярності — головне застосування
Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
\[\vec{a}\perp\vec{b}\iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad\text{тобто}\qquad x_1x_2+y_1y_2=0.\]
Причина проста: \(\cos 90^\circ = 0\), а модулі ненульових векторів у нуль перетворитися не можуть. Отже, добуток дорівнює нулю рівно тоді, коли нулю дорівнює косинус.
Це найцінніше, що дає тема. Перевірка перпендикулярності перетворюється на одне множення й одне додавання — без побудов, без транспортира, без теорем. Через цю умову доводять, що трикутник прямокутний, що чотирикутник — прямокутник або ромб, знаходять невідому координату вектора, складають рівняння прямої, перпендикулярної до заданої. Якщо в умові задачі є слово «перпендикулярні» і є координати — майже напевно потрібен скалярний добуток.
Кут між векторами
Коли потрібне не просто «гострий чи тупий», а конкретне значення, працює формула косинуса. Порядок дій завжди той самий: скалярний добуток → обидва модулі → підстановка → \(\arccos\).
Нагадаємо, що модуль вектора за координатами обчислюють як \(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\) — це просто теорема Піфагора для прямокутного трикутника з катетами \(x_1\) і \(y_1\). Якщо ж кут шукають у трикутнику зі сторонами, а не векторами, часто зручнішою виявляється теорема косинусів: формально ці два підходи еквівалентні, і теорему косинусів навіть можна вивести зі скалярного добутку.
Скалярний квадрат і зв'язок із модулем
Особливий випадок — коли вектор множать сам на себе. Кут між вектором і ним самим дорівнює \(0^\circ\), а \(\cos 0^\circ = 1\), тому
\[\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot 1=|\vec{a}|^2.\]
Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля: \(\vec{a}^{\,2}=|\vec{a}|^2\). Звідси \(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^{\,2}}\).
Це місток між «числовою» операцією й довжиною. Він дозволяє рахувати модуль суми або різниці векторів, не переходячи до координат. Наприклад, якщо \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=4\), а кут між ними \(60^\circ\), то \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot4\cdot0{,}5=6\), і
\[|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})^2=\vec{a}^{\,2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^{\,2}=9+12+16=37,\]
тобто \(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}\approx 6{,}08\). Зверніть увагу: формула квадрата суми працює точно так само, як в алгебрі, — і це не збіг, а наслідок властивостей, які йдуть далі.
Властивості скалярного добутку
- Переставна: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\).
- Розподільна: \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\).
- Сполучна щодо числового множника: \((k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\).
- Скалярний квадрат невід'ємний: \(\vec{a}^{\,2}=|\vec{a}|^2\ge 0\), причому нулю він дорівнює лише для нульового вектора.
Перші три властивості означають, що дужки з векторами розкривають за звичними правилами алгебри. Але є межа: сполучної властивості для трьох векторів не існує. Вираз \((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}\) — це число, помножене на вектор, тобто вектор, колінеарний \(\vec{c}\); а \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\) — вектор, колінеарний \(\vec{a}\). Це різні об'єкти, і запис \(\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\vec{c}\) без дужок сенсу не має.
Приклад 1. Добуток за координатами і вид кута
Дано \(\vec{a}(3;-2)\) і \(\vec{b}(4;5)\). Знайти \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) і визначити, гострий чи тупий кут між векторами.
За координатною формулою: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot4+(-2)\cdot5=12-10=2\).
Число додатне, отже кут гострий. Для контролю можна знайти й саме значення: \(|\vec{a}|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\), \(|\vec{b}|=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\), тому \(\cos\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}}=\dfrac{2}{\sqrt{533}}\approx 0{,}0866\), звідки \(\varphi\approx 85^\circ\) — справді гострий, хоч і майже прямий.
Відповідь: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\); кут гострий.
Приклад 2. Добуток за означенням
Відомо, що \(|\vec{a}|=6\), \(|\vec{b}|=5\), а кут між векторами \(120^\circ\). Знайти \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).
Тут координат немає, тому працюємо першим означенням. \(\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}\), отже
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=6\cdot5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-15.\]
Від'ємний результат узгоджується з правилом знаків: кут \(120^\circ\) тупий.
Відповідь: \(-15\).
Приклад 3. Умова перпендикулярності
При якому значенні \(x\) вектори \(\vec{a}(4;-3)\) і \(\vec{b}(x;8)\) перпендикулярні?
Умова перпендикулярності: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\). Складаємо рівняння:
\[4\cdot x+(-3)\cdot 8=0,\qquad 4x-24=0,\qquad x=6.\]
Перевірка: при \(x=6\) маємо \(\vec{b}(6;8)\), тоді \(4\cdot6+(-3)\cdot8=24-24=0\) — умова виконується.
Відповідь: \(x=6\).
Приклад 4. Кут між векторами
Знайти кут між \(\vec{a}(2;2)\) і \(\vec{b}(0;-3)\).
Крок 1. Скалярний добуток: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot0+2\cdot(-3)=-6\). Знак від'ємний — уже зрозуміло, що кут тупий.
Крок 2. Модулі: \(|\vec{a}|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(|\vec{b}|=\sqrt{0+9}=3\).
Крок 3. Косинус:
\[\cos\varphi=\frac{-6}{2\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{-6}{6\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Крок 4. \(\varphi=\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=135^\circ\).
Відповідь: \(135^\circ\).
Приклад 5. Розкриття дужок
Відомо, що \(|\vec{a}|=2\), \(|\vec{b}|=3\), кут між ними \(60^\circ\). Обчислити \((\vec{a}+2\vec{b})\cdot(3\vec{a}-\vec{b})\).
Спершу знайдемо \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot3\cdot\cos 60^\circ=2\cdot3\cdot0{,}5=3\).
Тепер розкриваємо дужки за розподільною властивістю, пам'ятаючи, що \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\) і \(\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}|^2\):
\[(\vec{a}+2\vec{b})(3\vec{a}-\vec{b})=3\vec{a}^{\,2}-\vec{a}\vec{b}+6\vec{b}\vec{a}-2\vec{b}^{\,2}=3|\vec{a}|^2+5\,\vec{a}\vec{b}-2|\vec{b}|^2.\]
Підставляємо: \(3\cdot4+5\cdot3-2\cdot9=12+15-18=9\).
Відповідь: \(9\).
Приклад 6. Кути трикутника за координатами вершин
Дано \(A(1;2)\), \(B(5;4)\), \(C(3;-2)\). Довести, що трикутник \(ABC\) прямокутний, і знайти кут \(B\).
Кут \(A\) утворюють вектори, що виходять із вершини \(A\):
\(\vec{AB}(5-1;\;4-2)=(4;2)\), \(\vec{AC}(3-1;\;-2-2)=(2;-4)\).
\[\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\cdot2+2\cdot(-4)=8-8=0.\]
Добуток дорівнює нулю, отже \(\vec{AB}\perp\vec{AC}\) і кут \(A\) прямий — трикутник прямокутний.
Для кута \(B\) беремо вектори з вершини \(B\): \(\vec{BA}(1-5;\;2-4)=(-4;-2)\) і \(\vec{BC}(3-5;\;-2-4)=(-2;-6)\).
\(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=(-4)(-2)+(-2)(-6)=8+12=20\); \(|\vec{BA}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\), \(|\vec{BC}|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}\).
\[\cos B=\frac{20}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{40}}=\frac{20}{\sqrt{800}}=\frac{20}{20\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad B=45^\circ.\]
Результат логічний: катети \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=2\sqrt{5}\) рівні, тож трикутник рівнобедрений прямокутний, а гострі кути в ньому по \(45^\circ\). Такі співвідношення докладно розібрані в матеріалі про тригонометрію прямокутного трикутника.
Відповідь: кут \(A=90^\circ\), кут \(B=45^\circ\).
Типові помилки
- Записують результат як вектор. Стрілка над відповіддю, фраза «вектор \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)» — груба помилка. Результат завжди число.
- Плутають формулу з координатами інших дій. При додаванні векторів координати додають окремо і в результаті виходить вектор \((x_1+x_2;\,y_1+y_2)\); при скалярному множенні координати перемножують і сумують в одне число. Це різні операції з різними за природою результатами.
- Не зводять вектори до спільного початку. Кут між \(\vec{AB}\) і \(\vec{BC}\) — це не кут \(B\) трикутника, а суміжний до нього. Для кута \(B\) потрібні \(\vec{BA}\) і \(\vec{BC}\) — обидва з вершини \(B\).
- Беруть координати як «початок мінус кінець». Напрям вектора перевертається, знак добутку теж, і гострий кут «стає» тупим. Завжди кінець мінус початок.
- Вважають, що з \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) випливає рівність нулю одного з векторів. Для чисел це так, для векторів — ні: нульовий добуток ненульових векторів означає лише перпендикулярність.
- Скорочують на вектор. Із \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) не випливає \(\vec{b}=\vec{c}\): достатньо, щоб \(\vec{a}\) був перпендикулярний до \(\vec{b}-\vec{c}\).
- Гублять знак косинуса тупого кута. \(\cos 120^\circ=-0{,}5\), а не \(0{,}5\) — половина помилок у задачах «за означенням» саме тут.
Висновок
Скалярний добуток — компактна операція з великим радіусом дії: два означення, одна умова перпендикулярності, одна формула кута. Якщо тримати в голові, що результат — число, і що його знак одразу повідомляє про вид кута, більшість задач теми розв'язуються в два рядки. Проблеми зазвичай починаються не з формул, а з дрібниць: не той порядок точок у векторі, не з тієї вершини взяті напрями, загублений мінус у косинусі.
Якщо ці дрібниці постійно з'їдають бали, найшвидший спосіб їх прибрати — розібрати кілька задач разом із викладачем, який бачить, де саме ламається логіка. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: за одну зустріч ми пройдемо обидва означення, умову перпендикулярності й типові формати задач ДПА та НМТ.
Чому результат скалярного добутку — число, а не вектор?
Бо за означенням це добуток трьох чисел: двох модулів і косинуса кута. Модуль — число, косинус — число, отже й результат число. У координатному записі це видно ще ясніше: \(x_1x_2+y_1y_2\) — сума двох добутків, тобто один скаляр без жодного напряму.
Як швидко перевірити перпендикулярність векторів?
Обчислити \(x_1x_2+y_1y_2\). Якщо вийшов нуль — вектори перпендикулярні; якщо ні — не перпендикулярні. Це працює для будь-яких ненульових векторів і не потребує ні побудови, ні знаходження кута.
Що означає від'ємний скалярний добуток?
Що кут між векторами тупий, тобто більший за \(90^\circ\). Модулі завжди додатні, тому знак усього виразу задає лише косинус, а він від'ємний саме на проміжку від \(90^\circ\) до \(180^\circ\).
Чи можна помножити скалярно три вектори?
Ні. Після першого множення \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) виходить число, а число з вектором скалярно не множать — число множать на вектор, отримуючи знову вектор. Тому \((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}\) і \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\) — різні вектори, а запис без дужок некоректний.
