Степінь з від'ємним показником

Степінь з цілим від'ємним показником

У 7 класі показник степеня був натуральним числом і означав просту річ: скільки разів множник повторюється. У 8 класі показник раптом стає нулем або від'ємним — і тут більшість учнів переходить у режим «запам'ятаю правило». Насправді ніхто нічого не вигадував: і \(a^0\), і \(a^{-n}\) з'явилися як єдино можливі продовження вже відомих властивостей. У цій статті розберемо, звідки вони беруться, як з ними рахувати і навіщо це потрібно у фізиці та хімії. Репетитори Tutor-Math починають цю тему саме з питання «чому», бо зазубрене правило розсипається на першій же контрольній.

Що вже відомо: степінь з натуральним показником

Нагадаємо базу. Для натурального \(n\) запис \(a^n\) означає добуток \(n\) однакових множників:

\[ a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{множників}} \]

І виконуються п'ять властивостей:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a^m)^n=a^{mn} \] \[ (ab)^n=a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]

Зверніть увагу на другу властивість: у 7 класі вона працювала лише за умови \(m>n\). Інакше показник виходив нульовим або від'ємним, а такі степені ще не були означені. Саме ця «діра» і закривається в 8 класі. Якщо базові властивості підзабулися, спершу варто повторити степінь з натуральним показником — далі все будується на ньому.

Нульовий показник: чому \(a^0=1\)

Візьмемо частку двох однакових степенів, наприклад \(\frac{5^3}{5^3}\). Порахуємо її двома способами.

• По-перше, будь-яке ненульове число, поділене саме на себе, дає одиницю: \(\frac{125}{125}=1\).
• По-друге, за властивістю частки степенів: \(\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0\).

Обидва обчислення правильні, отже їхні результати мають збігатися: \(5^0=1\). Ніякого свавілля тут немає — це єдине значення, при якому властивість \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) продовжує працювати і при \(m=n\).

Означення. Для будь-якого числа \(a\ne 0\) вважають, що \(a^0=1\).

Приклади: \(7^0=1\), \((-3)^0=1\), \(\left(\frac{2}{9}\right)^0=1\), \((1{,}75)^0=1\).

А чому не можна \(a=0\)? Повторимо міркування для нуля: \(0^0\) мав би дорівнювати \(\frac{0^3}{0^3}=\frac{0}{0}\), а ділення на нуль не має сенсу. Є й друга причина. Для будь-якого \(a\ne 0\) маємо \(a^0=1\), тобто «хочеться» покласти \(0^0=1\). Але для будь-якого натурального \(n\) маємо \(0^n=0\), тобто «хочеться» покласти \(0^0=0\). Два природних міркування дають різні відповіді — тому вираз \(0^0\) вважають невизначеним.

Означення степеня з від'ємним показником

Продовжимо ту саму логіку далі. Розглянемо \(\frac{5^3}{5^5}\). За властивістю частки це \(5^{3-5}=5^{-2}\). А прямим скороченням:

\[ \frac{5^3}{5^5}=\frac{5\cdot 5\cdot 5}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}=\frac{1}{5\cdot 5}=\frac{1}{5^2} \]

Отже, щоб властивість збереглася, доводиться прийняти \(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\). Звідси загальне означення.

Означення. Якщо \(a\ne 0\) і \(n\) — натуральне число, то \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \] Тобто степінь з від'ємним показником — це одиниця, поділена на степінь з протилежним (додатним) показником.

Умова \(a\ne 0\) обов'язкова і не є формальністю: при \(a=0\) у знаменнику опиняється нуль. Вирази \(0^{-1}\), \(0^{-5}\) не мають сенсу — так само, як \(\frac{1}{0}\).

Кілька значень для відчуття:

\[ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \qquad 10^{-4}=\frac{1}{10\,000}=0{,}0001 \qquad (-5)^{-2}=\frac{1}{(-5)^2}=\frac{1}{25} \]

Знак результату визначається тільки основою і парністю показника, як і раніше: \((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}\). Від'ємний показник сам по собі знак не змінює — він «перевертає» число. Якщо тема знаків і модуля ще не автоматизована, корисно повторити додатні й від'ємні числа та модуль.

Властивості: усе старе працює далі

Головна перевага такого означення в тому, що жодного нового набору правил учити не треба. Усі п'ять властивостей степеня залишаються чинними, але тепер уже для будь-яких цілих показників \(m\) і \(n\), а не лише натуральних (за умови \(a\ne 0\), \(b\ne 0\)):

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a^m)^n=a^{mn} \] \[ (ab)^n=a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]

Різниця лише в тому, що показники тепер додаються, віднімаються й множаться за правилами дій із цілими числами — зі знаками. Наприклад:

\[ 3^{-2}\cdot 3^{5}=3^{-2+5}=3^{3}=27 \qquad \frac{7^{-3}}{7^{-8}}=7^{-3-(-8)}=7^{5} \] \[ (2^{-3})^{-2}=2^{(-3)\cdot(-2)}=2^{6}=64 \]

Ще один зручний наслідок означення — правило перекидання множника через дробову риску:

\[ \frac{1}{a^{-n}}=a^{n} \qquad \frac{a^{-m}}{b^{-n}}=\frac{b^{n}}{a^{m}} \]

Простими словами: множник із від'ємним показником можна перенести з чисельника в знаменник (або навпаки), змінивши знак показника на протилежний.

Степінь дробу з від'ємним показником

Окремий випадок, який зустрічається в задачах найчастіше. Застосуємо означення до дробу \(\frac{a}{b}\):

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{n}}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

Правило. Щоб піднести дріб до від'ємного степеня, треба перевернути дріб і піднести його до відповідного додатного степеня: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}, \quad a\ne 0,\ b\ne 0 \]

Наприклад, \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{2}\right)^{3}=\frac{125}{8}=15{,}625\), а \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}\). Десятковий дріб перед цим зручно перевести у звичайний: \(0{,}2=\frac{1}{5}\), тому \(0{,}2^{-2}=5^2=25\). Тут стануть у пригоді навички зі статей про звичайні дроби та десяткові дроби.

Стандартний вигляд числа

Ось де від'ємні показники перестають бути шкільною абстракцією. У фізиці та хімії постійно з'являються числа, які незручно і небезпечно писати десятковим дробом — легко загубити нуль.

Стандартним виглядом числа називають запис \(a\cdot 10^{k}\), де \(1\le a<10\), а \(k\) — ціле число. Число \(k\) називають порядком числа.

Правило переведення просте: кому переносять так, щоб перед нею залишилася рівно одна ненульова цифра, і рахують, на скільки розрядів її зсунули. Зсув уліво дає додатний порядок, зсув управо — від'ємний:

\[ 384\,000\,000=3{,}84\cdot 10^{8} \qquad 0{,}00047=4{,}7\cdot 10^{-4} \qquad 0{,}000000025=2{,}5\cdot 10^{-8} \]

Реальні величини:

• Маса електрона — приблизно \(9{,}109\cdot 10^{-31}\) кг. У звичайному записі це нуль, кома і тридцять нулів перед цифрами \(9109\). Записати таке без помилки практично неможливо.
• Заряд електрона — \(1{,}602\cdot 10^{-19}\) Кл.
• Діаметр атома — порядку \(10^{-10}\) м, тобто \(0{,}1\) нанометра. Саме тому \(10^{-10}\) м має власну назву — ангстрем.
• Довжина хвилі зеленого світла — близько \(5\cdot 10^{-7}\) м.

Дії зі стандартним виглядом виконують окремо для чисел і окремо для степенів десятки. Наприклад:

\[ (3\cdot 10^{-5})\cdot(4\cdot 10^{8})=(3\cdot 4)\cdot 10^{-5+8}=12\cdot 10^{3}=1{,}2\cdot 10^{4} \]

Останній крок важливий: \(12\cdot 10^{3}\) — ще не стандартний вигляд, бо \(12>10\). Треба «поправити» перший множник і збільшити порядок на одиницю.

Приклади з розв'язанням

Приклад 1. Обчислити \(2^{-3}+3^{-1}\).

• За означенням: \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\), \(3^{-1}=\frac{1}{3}\).
• Спільний знаменник \(24\): \(\frac{1}{8}=\frac{3}{24}\), \(\frac{1}{3}=\frac{8}{24}\).
• Додаємо: \(\frac{3}{24}+\frac{8}{24}=\frac{11}{24}\).

Відповідь: \(2^{-3}+3^{-1}=\frac{11}{24}\).

Приклад 2. Обчислити \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}-\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}\).

• Перевертаємо перший дріб: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}\).
• Перевертаємо другий: \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}=\frac{9}{1}=9\).
• Віднімаємо: \(\frac{9}{4}-9=\frac{9}{4}-\frac{36}{4}=-\frac{27}{4}=-6{,}75\).

Відповідь: \(-\frac{27}{4}=-6{,}75\).

Приклад 3. Обчислити \(\dfrac{(3^{-2})^{2}\cdot 3^{5}}{3^{-3}}\).

• Внутрішній степінь: \((3^{-2})^{2}=3^{(-2)\cdot 2}=3^{-4}\).
• Множення в чисельнику: \(3^{-4}\cdot 3^{5}=3^{-4+5}=3^{1}\).
• Ділення: \(\frac{3^{1}}{3^{-3}}=3^{1-(-3)}=3^{4}=81\).

Відповідь: \(81\).

Приклад 4. Спростити вираз \(\dfrac{a^{-3}b^{5}}{a^{-7}b^{2}}\) і записати без від'ємних показників (\(a\ne 0\), \(b\ne 0\)).

• Окремо для \(a\): \(a^{-3-(-7)}=a^{-3+7}=a^{4}\).
• Окремо для \(b\): \(b^{5-2}=b^{3}\).
• Перемножуємо: \(a^{4}b^{3}\).

Відповідь: \(a^{4}b^{3}\).

Приклад 5. Обчислити \(\dfrac{6\cdot 10^{-4}}{3\cdot 10^{-9}}\) і записати у стандартному вигляді.

• Ділимо числові множники: \(6:3=2\).
• Ділимо степені десятки: \(\frac{10^{-4}}{10^{-9}}=10^{-4-(-9)}=10^{5}\).
• Отримали \(2\cdot 10^{5}\); умова \(1\le 2<10\) виконана, тобто це вже стандартний вигляд (звичайним записом — \(200\,000\)).

Відповідь: \(2\cdot 10^{5}=200\,000\).

Типові помилки

• Плутають \(a^{-n}\) і \(-a^{n}\). Це різні речі: \(2^{-3}=\frac{1}{8}\), а \(-2^{3}=-8\). Від'ємний показник означає перевертання (взяття оберненого числа), а не зміну знака. Перевірка на одному прикладі рятує від половини помилок у темі.
• Забувають умову \(a\ne 0\). Записи \(0^{-2}\) і \(0^{0}\) не мають сенсу. У завданнях із буквами (наприклад \(x^{-3}\)) обов'язково вказують область допустимих значень: \(x\ne 0\).
• Втрачають знак показника при діленні. У \(\frac{7^{-3}}{7^{-8}}\) віднімання дає \(-3-(-8)=+5\), а не \(-11\) і не \(-5\). Дужки навколо від'ємного показника писати обов'язково.
• Перевертають дріб, але не підносять до степеня. \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}\) — це \(\left(\frac{5}{2}\right)^{3}=\frac{125}{8}\), а не \(\frac{5}{2}\).
• Вважають, що \(a^{-n}\) завжди від'ємне. Ні: \(2^{-3}=\frac{1}{8}>0\). Знак залежить від основи, а не від показника.
• Зупиняються на \(12\cdot 10^{3}\). Це правильне число, але не стандартний вигляд — перший множник має бути від \(1\) до \(10\).
• Рахують порядок «за кількістю нулів». У \(0{,}00047\) нулів після коми три, а порядок \(-4\): рахувати треба зсув коми до першої значущої цифри.

Висновок

Уся тема тримається на одній ідеї: означення \(a^0=1\) і \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) вибрані не випадково, а так, щоб уже відомі властивості степеня працювали далі без винятків. Тому нового вчити майже нічого — треба лише впевнено діяти з цілими числами в показниках і не забувати про \(a\ne 0\). Практична винагорода приходить одразу: стандартний вигляд числа робить читабельними величини від маси електрона до відстані між зорями, а далі цей самий апарат веде до логарифмів у старшій школі.

Якщо приклади на властивості степеня досі вимагають підглядання у зошит, справа зазвичай не в темі 8 класу, а в прогалині нижче — дії з дробами або зі знаками. Репетитори Tutor-Math спочатку знаходять цю прогалину, а вже потім будують тему. Запишіться на пробне заняття: воно починається з діагностики реальних помилок дитини, а не з переказу підручника.

Питання та відповіді

Чому \(a^0=1\), а не \(0\)?

Бо тільки таке значення узгоджується з властивістю частки степенів. Частка \(\frac{5^3}{5^3}\) дорівнює \(1\) як число, поділене саме на себе, і водночас дорівнює \(5^{3-3}=5^0\). Отже \(5^0=1\). Це не окреме правило, а наслідок уже відомих властивостей.

Чому вираз \(0^0\) не має значення?

Тому що два природних міркування дають різні відповіді. З одного боку, \(a^0=1\) для всіх \(a\ne 0\), і хочеться покласти \(0^0=1\). З іншого — \(0^n=0\) для всіх натуральних \(n\), і хочеться покласти \(0^0=0\). Суперечність не розв'язується, тому в шкільній математиці \(0^0\) вважають невизначеним.

Чи є \(2^{-3}\) від'ємним числом?

Ні. \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\) — додатне число, менше за одиницю. Від'ємний показник означає перехід до оберненого числа, а не зміну знака. Від'ємним результат буде лише тоді, коли від'ємна сама основа з непарним показником: \((-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\).

Як швидко записати число у стандартному вигляді?

Перенести кому так, щоб ліворуч від неї залишилася одна ненульова цифра, і порахувати кількість розрядів зсуву. Зсув уліво дає додатний порядок, управо — від'ємний. Наприклад, \(0{,}00047=4{,}7\cdot 10^{-4}\), а \(384\,000\,000=3{,}84\cdot 10^{8}\).