Таблиця похідних і правила диференціювання
Похідна — це той інструмент, без якого не обійтися ні в задачах на дотичну, ні в дослідженні функції, ні у фізиці. Але щоб ним користуватися, потрібні дві речі: таблиця похідних елементарних функцій і п'ять правил диференціювання. Усе інше — комбінації цих двох наборів. У цій статті ми зберемо таблицю повністю, розберемо кожне правило й особливо ретельно — ланцюгове, бо саме воно щороку з'їдає найбільше балів. Учні Tutor-Math доводять цю техніку до автоматизму, і ви теж зможете.
Якщо саме поняття похідної поки що виглядає туманно, спершу перегляньте статтю про означення похідної та її геометричний зміст — тут ми вважаємо, що границя різницевого відношення вже знайома.
Що таке диференціювання
Похідною функції \(f(x)\) у точці \(x\) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}. \]Операцію знаходження похідної називають диференціюванням.
Рахувати цю границю щоразу — марна трата часу. Її один раз обчислили для всіх базових функцій, а результат записали в таблицю. Далі ми користуємося таблицею плюс правилами.
Таблиця похідних елементарних функцій
Це той мінімум, який має бути в пам'яті. Скрізь \(C\) — стала, \(n\) — довільний дійсний показник, \(a > 0\), \(a \neq 1\).
Стала і степенева функція:
\[ \begin{array}{ll} (C)' = 0, & (x)' = 1, \\[6pt] (x^n)' = n x^{n-1}, & \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}, \\[10pt] \left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. & \end{array} \]Показникова і логарифмічна:
\[ \begin{array}{ll} (e^x)' = e^x, & (a^x)' = a^x \ln a, \\[10pt] (\ln x)' = \dfrac{1}{x}, & (\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}. \end{array} \]Тригонометричні:
\[ \begin{array}{ll} (\sin x)' = \cos x, & (\cos x)' = -\sin x, \\[10pt] (\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}, & (\operatorname{ctg} x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}. \end{array} \]Обернені тригонометричні:
\[ \begin{array}{ll} (\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, & (\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \\[10pt] (\operatorname{arctg} x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}, & (\operatorname{arcctg} x)' = -\dfrac{1}{1 + x^2}. \end{array} \]Зверніть увагу на закономірність: у кожній парі функція з приставкою co- (косинус, котангенс, арккосинус, арккотангенс) дає мінус. Це зручна страховка від помилки в знаку. Детальніше про самі функції — у статті про тригонометричні функції, а про \(\ln x\) та \(\log_a x\) — у матеріалі про логарифмічну функцію.
Правила диференціювання
Нехай \(u = u(x)\) і \(v = v(x)\) — диференційовні функції, \(k\) — стала. Тоді:
1. Похідна суми: \((u \pm v)' = u' \pm v'\).
2. Сталий множник: \((k u)' = k \cdot u'\).
3. Похідна добутку: \((u v)' = u' v + u v'\).
4. Похідна частки: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}\), де \(v \neq 0\).
5. Складена функція (ланцюгове правило): \(\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
Перші два правила інтуїтивні: похідна лінійна. А от третє й четверте ламають інтуїцію — похідна добутку не дорівнює добутку похідних. У правилі частки критичний момент — порядок доданків у чисельнику: спочатку \(u'v\), потім мінус \(uv'\). Переставите — отримаєте відповідь із протилежним знаком.
Ланцюгове правило: алгоритм «зовнішня — внутрішня»
Це головна складність теми, тож розберемо повільно. Складена функція — це функція, «вкладена» в іншу функцію. Наприклад, у виразі \(\sin(3x^2 + 5)\) є дві дії: спочатку рахуємо \(3x^2 + 5\), потім від результату беремо синус.
Внутрішня функція — та, що виконується першою (те, що «всередині» дужок або під знаком кореня чи логарифма). Зовнішня — та, що застосовується останньою до вже готового результату.
Похідна складеної функції: похідна зовнішньої, обчислена від внутрішньої, помножена на похідну внутрішньої.
Робочий алгоритм із чотирьох кроків:
- Крок 1. Запитайте себе: «Яку дію я виконаю останньою, якщо підставлю конкретне число замість \(x\)?» Це і є зовнішня функція.
- Крок 2. Позначте внутрішню функцію буквою \(t\). Тепер вираз має вигляд простої табличної функції від \(t\).
- Крок 3. Продиференціюйте зовнішню функцію за таблицею, не чіпаючи вміст \(t\): усередині залишається той самий вираз, що й був.
- Крок 4. Помножте результат на похідну внутрішньої функції \(t'\).
Для \(y = \sin(3x^2 + 5)\): останньою дією є синус, отже зовнішня — \(\sin t\), внутрішня — \(t = 3x^2 + 5\). Похідна зовнішньої: \(\cos t = \cos(3x^2+5)\). Похідна внутрішньої: \(t' = 6x\). Разом \(y' = 6x\cos(3x^2 + 5)\).
Якщо вкладень три й більше — правило застосовується стільки разів, скільки шарів, і всі похідні перемножуються. Розгортайте суворо ззовні всередину, шар за шаром.
Приклад 1. Многочлен: сума, сталий множник, степінь
Знайти похідну \(y = 4x^5 - 3x^4 + 2x - 9\).
Диференціюємо кожен доданок окремо (правило суми), сталі множники виносимо:
\[ y' = 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 4x^3 + 2 \cdot 1 - 0 = 20x^4 - 12x^3 + 2. \]Похідна вільного члена \(-9\) дорівнює нулю — це стала.
Відповідь: \(y' = 20x^4 - 12x^3 + 2\).
Приклад 2. Похідна добутку
Знайти похідну \(y = x^3 \cos x\).
Тут \(u = x^3\), \(v = \cos x\), отже \(u' = 3x^2\), \(v' = -\sin x\). За правилом добутку:
\[ y' = 3x^2 \cdot \cos x + x^3 \cdot (-\sin x) = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x. \]Виносимо спільний множник \(x^2\).
Відповідь: \(y' = x^2(3\cos x - x\sin x)\).
Приклад 3. Похідна частки
Знайти похідну \(y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}\).
Беремо \(u = 2x - 1\), \(v = x^2 + 3\), тоді \(u' = 2\), \(v' = 2x\):
\[ y' = \frac{2(x^2 + 3) - (2x - 1)\cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}. \]Розкриваємо чисельник: \(2x^2 + 6 - 4x^2 + 2x = -2x^2 + 2x + 6\). Отже
\[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2(x^2 - x - 3)}{(x^2+3)^2}. \]Знаменник \(x^2 + 3\) ніколи не дорівнює нулю, тож похідна існує на всій числовій прямій.
Відповідь: \(y' = \dfrac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}\).
Приклад 4. Ланцюгове правило в чистому вигляді
Знайти похідну \(y = (3x^2 + 4)^5\).
Останньою дією є піднесення до п'ятого степеня, отже зовнішня функція — \(t^5\), внутрішня — \(t = 3x^2 + 4\).
- Похідна зовнішньої: \((t^5)' = 5t^4 = 5(3x^2+4)^4\) — вміст дужок не змінюємо.
- Похідна внутрішньої: \(t' = 6x\).
Відповідь: \(y' = 30x(3x^2 + 4)^4\).
Приклад 5. Подвійне вкладення
Знайти похідну \(y = \ln(\cos 4x)\).
Тут три шари: \(4x\), потім косинус, потім логарифм. Розгортаємо ззовні всередину:
- Зовнішня — логарифм: \((\ln t)' = \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{\cos 4x}\).
- Наступний шар — косинус: \((\cos 4x)' = -\sin 4x \cdot (4x)' = -4\sin 4x\).
Відповідь: \(y' = -4\operatorname{tg} 4x\).
Приклад 6. Комбінація кількох правил
Знайти похідну \(y = \dfrac{\ln 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) при \(x > 0\).
Тут працюють одразу три правила: частки і двічі ланцюгове. Позначимо \(u = \ln 2x\), \(v = \sqrt{x^2+1}\).
Похідна чисельника: \(u' = \dfrac{1}{2x}\cdot 2 = \dfrac{1}{x}\).
Похідна знаменника: \(v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).
\[ y' = \frac{\dfrac{1}{x}\sqrt{x^2+1} - \ln 2x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2 + 1}. \]Зводимо чисельник до спільного знаменника \(x\sqrt{x^2+1}\):
\[ \frac{1}{x}\sqrt{x^2+1} - \frac{x\ln 2x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2 + 1 - x^2 \ln 2x}{x\sqrt{x^2+1}}. \]Ділимо на \(x^2+1\), додаючи степені кореня в знаменнику:
\[ y' = \frac{x^2 + 1 - x^2\ln 2x}{x\,(x^2+1)^{3/2}}. \]Відповідь: \(y' = \dfrac{x^2 + 1 - x^2\ln 2x}{x\,(x^2+1)^{3/2}}\).
Типові помилки
- Похідна добутку як добуток похідних. Запис \((uv)' = u'v'\) — найчастіша помилка теми. Перевірте на \(y = x \cdot x = x^2\): справжня похідна \(2x\), а «добуток похідних» дав би \(1\).
- Забутий множник із внутрішньої функції. \((\sin 5x)' = 5\cos 5x\), а не \(\cos 5x\). Якщо всередині не просто \(x\), множник обов'язковий.
- Зміна вмісту дужок. У \(\big((3x^2+4)^5\big)'\) степінь знижується, але сам вираз \(3x^2+4\) залишається недоторканим. Запис \(5(6x)^4\) — груба помилка.
- Переставлені доданки в правилі частки. Правильно \(u'v - uv'\), а не навпаки. Мнемоніка: «чисельник штрихуємо першим».
- Плутанина \((x^n)'\) та \((a^x)'\). У степеневій функції змінна в основі: \(n x^{n-1}\). У показниковій змінна в показнику: \(a^x \ln a\). Порівняйте \((x^3)' = 3x^2\) і \((3^x)' = 3^x\ln 3\).
- Похідна сталої. Учні часто «диференціюють» \(-9\) як \(-9\) або пишуть \(1\). Похідна будь-якого числа дорівнює нулю.
- Втрачений мінус у косинуса й котангенса. Механічна, але дуже дорога помилка в задачах на екстремуми.
Висновок
Таблиця похідних плюс п'ять правил закривають практично всі шкільні задачі на диференціювання. Ключ до впевненості — не зазубрювання, а розпізнавання структури виразу: сума це, добуток, частка чи вкладення. Щойно структуру визначено, залишається чиста техніка. Далі ці навички знадобляться в темі застосування похідної до дослідження функції.
Якщо ланцюгове правило досі відчувається як лотерея — приходьте на пробне заняття. За одну зустріч ми розберемо алгоритм «зовнішня — внутрішня» на ваших задачах і побудуємо план підготовки.
Скільки формул із таблиці похідних треба знати напам'ять?
Усі, що наведені вище, — приблизно шістнадцять. На іспиті таблиці не видають. На практиці найчастіше трапляються степенева, показникова, логарифмічна, синус і косинус; обернені тригонометричні потрібні рідше, але зустрічаються в завданнях підвищеної складності.
Як зрозуміти, що функція складена?
Підставте замість \(x\) конкретне число і простежте порядок дій на калькуляторі. Якщо дій більше однієї і вони виконуються послідовно, а не паралельно — функція складена. Дія, виконана останньою, і є зовнішня функція.
Чи можна не користуватися правилом частки?
Так. Будь-яку частку \(\dfrac{u}{v}\) можна записати як добуток \(u \cdot v^{-1}\) і застосувати правило добутку разом із ланцюговим. Результат буде той самий, але зазвичай це вимагає більше перетворень. Правило частки швидше, тому його варто вивчити.
Що робити, якщо у виразі одразу кілька правил?
Рухайтеся зверху вниз за структурою. Спершу визначте головну операцію всього виразу — саме її правило застосовуйте першим. Похідні окремих частин рахуйте як підзадачі, за потреби виписуючи їх окремо. Так навіть громіздкий вираз розпадається на кілька простих кроків.
