Теорема синусів
Теорема синусів разом із теоремою косинусів — це два основні інструменти для розв'язування довільних трикутників. Якщо теорема Піфагора працює тільки для прямокутного трикутника, то теорема синусів не має такого обмеження. У цій статті — формулювання, розширена форма з радіусом описаного кола, типові задачі та найчастіші помилки.
Формулювання теореми синусів
Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних до них кутів.
Тобто у довільному трикутнику \(ABC\) виконується рівність:
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]
Тут \(a\), \(b\), \(c\) — сторони трикутника, а \(A\), \(B\), \(C\) — протилежні до них кути. Сторона \(a\) лежить проти кута \(A\), сторона \(b\) — проти кута \(B\), сторона \(c\) — проти кута \(C\). Це співвідношення «сторона навпроти свого кута» треба запам'ятати першим — саме на ньому будуються всі подальші обчислення.
Розширена теорема синусів
Повне формулювання містить ще одну важливу величину — радіус описаного навколо трикутника кола \(R\):
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]
Це і є розширена (узагальнена) теорема синусів. Вона дає змогу знаходити радіус описаного кола, знаючи лише одну сторону та протилежний до неї кут:
\[R=\frac{a}{2\sin A}\]
Саме через рівність \(2R\) теорема синусів пов'язує трикутник із описаним колом, і саме ця форма найчастіше зустрічається в задачах ЗНО та НМТ підвищеної складності.
Наслідки з теореми синусів
З теореми випливає кілька корисних фактів:
- проти більшої сторони трикутника лежить більший кут, і навпаки — проти більшого кута лежить більша сторона;
- рівні сторони лежать проти рівних кутів (звідси властивості рівнобедреного трикутника);
- відношення сторони до синуса протилежного кута однакове для всіх трьох пар і дорівнює діаметру описаного кола.
Порада: щоб швидше розібратися в темі та навчитися бачити, яку саме теорему застосувати, запишіться на онлайн заняття з математики в Tutor-Math.
Коли застосовувати теорему синусів
Теорема синусів працює тоді, коли в умові є пара «сторона — протилежний кут». Розрізняють три випадки:
- Відома сторона і два кути — знаходимо будь-яку іншу сторону. Найпростіший випадок, розв'язок завжди єдиний.
- Відомі дві сторони і кут, протилежний одній з них — знаходимо другий кут. Це так званий неоднозначний випадок: розв'язків може бути два, один або жодного.
- Потрібен радіус описаного кола — достатньо однієї пари «сторона — протилежний кут».
Якщо ж відомі дві сторони і кут між ними або всі три сторони, теорема синусів не допоможе — там потрібна теорема косинусів.
Приклад 1. Знайти сторону за двома кутами
У трикутнику \(ABC\) відомо: \(a=8\), \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\). Знайти сторону \(b\).
За теоремою синусів:
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{a\sin B}{\sin A}\]
Підставляємо значення:
\[b=\frac{8\cdot\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=8\sqrt{2}\approx 11{,}31\]
Відповідь: \(b=8\sqrt{2}\approx 11{,}31\).
Приклад 2. Знайти кут і врахувати неоднозначність
У трикутнику відомо: \(a=10\), \(b=6\), \(\angle B=30^\circ\). Знайти кут \(A\).
Виражаємо синус шуканого кута:
\[\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{10\cdot 0{,}5}{6}\approx 0{,}833\]
Тепер увага — це і є неоднозначний випадок. Синус набуває однакового значення для гострого і тупого кута, тому маємо два варіанти:
\[A\approx 56^\circ 27' \quad\text{або}\quad A\approx 123^\circ 33'\]
Обидва варіанти треба перевірити на сумісність: сума кутів трикутника має дорівнювати \(180^\circ\). Для першого випадку \(\angle C\approx 93^\circ 33'\), для другого \(\angle C\approx 26^\circ 27'\). Обидві суми коректні, отже задача має два розв'язки. Пропустити другий — типова помилка на контрольних.
Приклад 3. Знайти радіус описаного кола
Сторона трикутника дорівнює \(12\), протилежний до неї кут — \(60^\circ\). Знайти радіус описаного кола.
\[R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12}{2\sin 60^\circ}=\frac{12}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\]
Відповідь: \(R=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\).
Теорема синусів чи теорема косинусів: як обрати
Учні найчастіше плутаються саме тут. Правило вибору просте — дивіться, що дано в умові:
- дано сторону і протилежний їй кут — теорема синусів;
- дано дві сторони і кут між ними — теорема косинусів;
- дано три сторони і треба знайти кут — теорема косинусів;
- потрібен радіус описаного кола — теорема синусів.
Часто в одній задачі теореми застосовують послідовно: спочатку косинусів, щоб знайти невідому сторону, потім синусів, щоб знайти кути. Обидві теореми входять до переліку, який ми розібрали у статті Топ 5 теорем з геометрії для ДПА та ЗНО.
Типові помилки
- Втрата другого розв'язку. Коли шукаєте кут через синус, завжди перевіряйте тупий варіант \(180^\circ-A\).
- Неправильна пара. У формулу підставляють сторону і кут, які не є протилежними. Перевіряйте: сторона \(a\) — тільки з кутом \(A\).
- Плутанина з \(R\) і \(2R\). У розширеній теоремі відношення дорівнює саме діаметру, а не радіусу.
- Калькулятор у режимі радіанів. Для градусної міри переконайтеся, що калькулятор у режимі DEG.
Висновок
Теорема синусів — базовий інструмент геометрії 9 класу, без якого не обійтися ні на ДПА, ні на НМТ. Ключове, що варто винести: рівність \(\frac{a}{\sin A}=2R\), правило вибору між синусами й косинусами та обов'язкова перевірка другого розв'язку в неоднозначному випадку.
Якщо тема дається складно — не залишайте прогалину. Геометрія побудована як піраміда, і пропущена теорема 9 класу відгукнеться в 10-му. Запишіться на безкоштовне пробне заняття в Tutor-Math, і викладач розбере тему в темпі, комфортному саме для вас.
