Теорема Вієта та її застосування
Теорема Вієта — це коротка формула, яка зв'язує корені квадратного рівняння з його коефіцієнтами, не вимагаючи ці корені шукати. Восьмикласнику вона дає три речі: усний добір коренів, миттєву перевірку відповіді й уміння рахувати вирази від коренів без самих коренів. На заняттях у Tutor-Math ми ставимо її одразу після дискримінанта, бо саме тоді вона економить найбільше часу на контрольних. Розберімо формулювання, обернену теорему й усі типові застосування з прикладами.
Формулювання для зведеного рівняння
Зведеним називають квадратне рівняння, у якого старший коефіцієнт дорівнює одиниці: \(x^2+px+q=0\). Для нього теорема звучить максимально просто.
Теорема Вієта. Якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\), то
\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.\]
Словами: сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток — вільному члену без зміни знака. Мінус стоїть лише в сумі — це те місце, де плутаються найчастіше.
Перевіримо на рівнянні \(x^2-7x+12=0\). Його корені — 3 і 4 (підстановка: \(9-21+12=0\) і \(16-28+12=0\)). Тут \(p=-7\), \(q=12\). Сума коренів \(3+4=7=-(-7)\) — збіглося. Добуток \(3\cdot 4=12\) — теж збіглося.
Формулювання для загального вигляду
Якщо старший коефіцієнт не одиниця, рівняння \(ax^2+bx+c=0\) при \(a\neq 0\) можна поділити на \(a\). Виходить зведене рівняння \(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\), а звідси одразу загальна форма теореми.
Якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені рівняння \(ax^2+bx+c=0\), то
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.\]
Зведений випадок — це просто окремий випадок при \(a=1\). Запам'ятовувати дві формули не потрібно: достатньо однієї загальної.
Головне обмеження: дискримінант
Теорема Вієта говорить про корені. Якщо коренів немає, говорити нема про що. Тому перед будь-яким її використанням треба переконатися, що дискримінант \(D=b^2-4ac\) невід'ємний.
Важливо. Співвідношення Вієта справджуються лише тоді, коли \(D\geqslant 0\), тобто коли дійсні корені існують. При \(D<0\) жодних \(x_1\) і \(x_2\) серед дійсних чисел немає, і формули сум та добутків застосовувати не можна.
Класична пастка: рівняння \(x^2-2x+5=0\). Формально «сума коренів дорівнює 2, добуток 5» — і учень записує це у відповідь. Але \(D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0\), тому дійсних коренів немає взагалі. Правильна відповідь — «коренів немає», а не набір чисел.
Якщо ж \(D=0\), корені збігаються, і теорема працює: обидва корені дорівнюють одному й тому самому числу, а сума й добуток рахуються як для двох однакових коренів. Детальніше про сам дискримінант — у статті про квадратні рівняння.
Обернена теорема Вієта і усний добір коренів
Пряма теорема йде від коренів до коефіцієнтів. Обернена — навпаки, і саме вона дозволяє розв'язувати рівняння усно.
Обернена теорема Вієта. Якщо числа \(m\) і \(n\) такі, що \(m+n=-p\) і \(mn=q\), то \(m\) і \(n\) — корені рівняння \(x^2+px+q=0\).
Алгоритм усного добору для зведеного рівняння:
- Записати, чому дорівнює добуток коренів (це \(q\)) і чому сума (це \(-p\)).
- Перебрати пари цілих дільників числа \(q\) — їх зазвичай небагато.
- Вибрати ту пару, сума якої дорівнює \(-p\).
- Підставити знайдені числа в рівняння для контролю.
Знаки підказує сам добуток. Якщо \(q>0\), корені однакового знака, і цей знак протилежний знаку \(p\). Якщо \(q<0\), корені різних знаків, і більший за модулем має знак, протилежний до \(p\).
Приклад 1. Розв'язати усно \(x^2+2x-15=0\).
Тут \(p=2\), \(q=-15\), тому \(x_1x_2=-15\) і \(x_1+x_2=-2\). Добуток від'ємний — корені різних знаків. Пари дільників числа 15: \(1\) і \(15\), \(3\) і \(5\). Пара \(3\) і \(5\) з різними знаками дає суму \(-2\), якщо взяти \(3\) і \(-5\). Перевірка підстановкою: \(9+6-15=0\) і \(25-10-15=0\).
Відповідь: \(x_1=3\), \(x_2=-5\).
Приклад 2. Розв'язати усно \(x^2-13x+40=0\).
Маємо \(x_1x_2=40\), \(x_1+x_2=13\). Добуток додатний, сума додатна — обидва корені додатні. Пари дільників 40: \(1\) і \(40\), \(2\) і \(20\), \(4\) і \(10\), \(5\) і \(8\). Сума 13 виходить лише в останньої. Перевірка: \(25-65+40=0\), \(64-104+40=0\). Для контролю \(D=169-160=9\geqslant 0\) — корені справді існують.
Відповідь: \(x_1=5\), \(x_2=8\).
Швидка перевірка знайдених коренів
Це найчастіше застосування теореми на практиці. Ви розв'язали рівняння через дискримінант, отримали два числа — і за п'ять секунд перевіряєте їх, не підставляючи в рівняння.
Приклад 3. Розв'язати \(3x^2-11x+6=0\) і перевірити відповідь за Вієтом.
Дискримінант: \(D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot 6=121-72=49\), \(\sqrt{D}=7\). Корені: \(x=\dfrac{11\pm 7}{6}\), тобто \(x_1=\dfrac{18}{6}=3\) і \(x_2=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).
Перевірка за Вієтом: сума має дорівнювати \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{11}{3}\). Рахуємо: \(3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}\) — збіглося. Добуток має дорівнювати \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{3}=2\). Рахуємо: \(3\cdot\dfrac{2}{3}=2\) — збіглося. Обидві умови виконано, отже корені правильні.
Відповідь: \(x_1=3\), \(x_2=\dfrac{2}{3}\).
Зверніть увагу: перевіряти треба обидві рівності. Одна сума нічого не гарантує — числа \(3\) і \(\dfrac{2}{3}\) можна замінити іншою парою з тією самою сумою, але добуток її вже викриє.
Складання рівняння за його коренями
Задача, обернена до розв'язування: дано корені, треба записати рівняння. Тут працює обернена теорема безпосередньо.
Якщо потрібне зведене рівняння з коренями \(x_1\) і \(x_2\), то воно має вигляд
\[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.\]
Приклад 4. Скласти зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа \(-4\) і \(7\).
Сума: \(-4+7=3\). Добуток: \(-4\cdot 7=-28\). Отже \(-p=3\), тобто \(p=-3\), і \(q=-28\). Рівняння: \(x^2-3x-28=0\).
Перевірка підстановкою: \((-4)^2-3\cdot(-4)-28=16+12-28=0\) і \(7^2-3\cdot 7-28=49-21-28=0\). Той самий результат дає розкриття дужок у добутку \((x+4)(x-7)=x^2-3x-28\) — це та сама ідея, що й у розкладанні многочленів на множники.
Відповідь: \(x^2-3x-28=0\).
Приклад 5. Скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого \(\dfrac{1}{2}\) і \(-3\).
Сума: \(\dfrac{1}{2}+(-3)=-\dfrac{5}{2}\). Добуток: \(\dfrac{1}{2}\cdot(-3)=-\dfrac{3}{2}\). Зведене рівняння: \(x^2+\dfrac{5}{2}x-\dfrac{3}{2}=0\). Щоб позбутися дробів, множимо обидві частини на 2: \(2x^2+5x-3=0\).
Перевірка: при \(x=\dfrac{1}{2}\) маємо \(2\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2}-3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}-3=0\); при \(x=-3\) маємо \(18-15-3=0\).
Відповідь: \(2x^2+5x-3=0\).
Симетричні вирази від коренів
Найсильніше застосування теореми: обчислити вираз від коренів, самі корені не знаходячи. Працює це тоді, коли вираз симетричний — не змінюється при заміні \(x_1\) на \(x_2\) і навпаки. Такий вираз завжди вдається записати через суму \(S=x_1+x_2\) і добуток \(P=x_1x_2\).
Робочі перетворення, які варто знати напам'ять:
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P\]
\[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{S}{P}\]
\[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=S^2-4P\]
Перше отримують із формул скороченого множення: у квадраті суми \((x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\) віднімають подвоєний добуток. Друге — звичайне зведення дробів до спільного знаменника.
Приклад 6. Корені рівняння \(x^2-6x+4=0\) позначено \(x_1\) і \(x_2\). Знайти \(x_1^2+x_2^2\) і \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\).
Спершу переконуємося, що корені існують: \(D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 4=36-16=20>0\). Далі за теоремою Вієта \(S=x_1+x_2=6\), \(P=x_1x_2=4\).
Перший вираз: \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P=36-8=28\).
Другий вираз: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{S}{P}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\).
Контроль: справжні корені тут \(3\pm\sqrt{5}\), і \((3-\sqrt{5})^2+(3+\sqrt{5})^2=9-6\sqrt{5}+5+9+6\sqrt{5}+5=28\). Через Вієта відповідь вийшла без жодного квадратного кореня в обчисленнях.
Відповідь: \(x_1^2+x_2^2=28\), \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{3}{2}\).
Той самий підхід працює, коли відомий лише один корінь. Скажімо, у рівнянні \(x^2-5x+q=0\) один корінь дорівнює 2. Сума коренів дорівнює 5, тому другий корінь \(5-2=3\), а \(q=2\cdot 3=6\). Отримане рівняння \(x^2-5x+6=0\) підстановка підтверджує: \(4-10+6=0\) і \(9-15+6=0\).
Типові помилки
- Знак у сумі. Пишуть \(x_1+x_2=p\) замість \(x_1+x_2=-p\). Мінус є тільки в сумі; у добутку його немає.
- Застосування без перевірки дискримінанта. Для \(x^2-2x+5=0\) записують «сума 2, добуток 5», хоча \(D=-16<0\) і коренів немає. Спочатку \(D\), потім Вієт.
- Загальний вигляд плутають зі зведеним. Для \(3x^2-11x+6=0\) пишуть \(x_1+x_2=11\) замість \(\dfrac{11}{3}\). Ділити на \(a\) обов'язково.
- Перевіряють лише одну умову. Збіг суми ще не доводить, що корені правильні — треба контролювати й добуток.
- Добір «навмання» без урахування знаків. Якщо \(q<0\), корені точно різних знаків, і перебирати пари з однаковими знаками — марна робота.
- Спроба знайти самі корені там, де потрібен лише симетричний вираз. Для \(x_1^2+x_2^2\) корені шукати не треба: \(S^2-2P\) дає відповідь одразу.
- Розкриття квадрата суми з помилкою. Пишуть \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2\), забувши відняти \(2x_1x_2\).
Висновок
Теорема Вієта — не альтернатива дискримінанту, а його швидкий супутник. Дискримінант відповідає на питання «чи є корені», Вієт — на питання «що з ними можна зробити далі». Разом вони закривають більшість задач восьмого класу про квадратні рівняння, а в старшій школі виходять на дослідження знаків коренів і на квадратичну функцію.
Якщо усний добір коренів поки не виходить автоматично, це питання практики, а не здібностей: потрібно 20–30 відпрацьованих рівнянь під контролем. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math — розберемо вашу конкретну проблему з темою і складемо план, як довести навик до автоматизму.
Чи можна користуватися теоремою Вієта, якщо дискримінант від'ємний?
Ні. Теорема говорить про корені рівняння, а при \(D<0\) дійсних коренів не існує, тому й сума з добутком не мають сенсу. Завжди спочатку рахуйте \(D=b^2-4ac\) і лише при \(D\geqslant 0\) застосовуйте формули Вієта.
Чим обернена теорема Вієта відрізняється від прямої?
Пряма теорема йде від коренів до коефіцієнтів: якщо корені є, то їхня сума дорівнює \(-p\), а добуток \(q\). Обернена йде у зворотному напрямку: якщо ви підібрали два числа з такою сумою й таким добутком, то це і є корені рівняння. Саме обернена теорема дозволяє розв'язувати рівняння усно.
Як застосувати теорему Вієта, якщо старший коефіцієнт не дорівнює одиниці?
Використовуйте загальну форму: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) і \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\). Або поділіть усе рівняння на \(a\) і працюйте зі зведеним. Для \(3x^2-11x+6=0\) це дає суму \(\dfrac{11}{3}\) і добуток 2.
Навіщо теорема Вієта, якщо є формула дискримінанта?
Заради швидкості й задач іншого типу. Вона дає усний розв'язок для рівнянь із цілими коренями, миттєву перевірку вже знайдених коренів і — найголовніше — дозволяє обчислювати вирази на кшталт \(x_1^2+x_2^2\) чи \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\), взагалі не знаходячи самих коренів.
