Вектори на площині: дії та координати
Вектор — перше поняття шкільної математики, у якому величина має не тільки розмір, а й напрям. Саме через це дев'ятикласники спотикаються: «додати» тут означає прикласти одну стрілку до кінця іншої. Але щойно з'являються координати, уся геометрія векторів перетворюється на арифметику з парами чисел. У Tutor-Math ми навмисно проходимо тему двічі — спершу геометрично, потім у координатах — бо саме зв'язок між цими двома мовами дає розуміння, а не завчені правила.
Що таке вектор
Означення. Вектор — це напрямлений відрізок, тобто відрізок, у якого вказано, яка точка є початком, а яка кінцем.
Вектор із початком у точці \(A\) і кінцем у точці \(B\) позначають \(\vec{AB}\). Позначають вектори й однією малою літерою: \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\). Порядок літер принциповий: \(\vec{AB}\) і \(\vec{BA}\) — різні вектори, вони мають однакову довжину, але протилежні напрями.
Модулем (довжиною) вектора \(\vec{AB}\) називають довжину відрізка \(AB\). Позначення: \(|\vec{AB}|\).
Окремо стоїть нульовий вектор \(\vec{0}\), у якого початок збігається з кінцем: модуль дорівнює нулю, напрям вважають невизначеним. Він з'являється як результат обчислень, наприклад \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\).
Вектор задається напрямом і довжиною, а не положенням
Це головна ідея теми, і саме її найчастіше пропускають. Відрізок \(AB\) — конкретна множина точок: перенесли його — дістали інший відрізок. З вектором усе інакше.
Означення. Два ненульові вектори називають рівними, якщо вони мають однакову довжину й однаковий напрям.
Зверніть увагу: в означенні немає жодного слова про те, де вектор розташований. Паралельно перенесений вектор — це той самий вектор. Тому рівні вектори можуть лежати в різних кінцях аркуша, не мати жодної спільної точки — і все одно бути рівними.
Практичний наслідок: вектор можна відкласти від будь-якої точки, і такий вектор єдиний. Саме ця свобода дає змогу прикладати вектори один до одного при додаванні, і саме тому в координатах вектор описується однією парою чисел, а не чотирма координатами двох точок.
Протилежними називають вектори, які мають однакову довжину, але протилежні напрями. Вектор, протилежний до \(\vec{a}\), позначають \(-\vec{a}\). Зокрема, \(\vec{BA}=-\vec{AB}\).
Колінеарні вектори
Означення. Ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Колінеарні вектори бувають двох типів: співнапрямлені (позначають \(\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}\)) — напрями збігаються, і протилежно напрямлені (\(\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}\)) — напрями протилежні. Довжини при цьому можуть бути будь-якими: колінеарність нічого не говорить про модуль. Не плутайте її з рівністю — рівні вектори колінеарні, співнапрямлені і однакової довжини.
Додавання векторів: правило трикутника
Правило трикутника. Щоб додати \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\), відкладіть \(\vec{a}\) від довільної точки \(A\), а потім від його кінця \(B\) відкладіть \(\vec{b}\). Вектор від початку першого до кінця другого і є сумою: \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).
Правило працює для будь-яких двох векторів і природно поширюється на кілька (правило многокутника): відкладаємо їх ланцюжком, і сума — це вектор від початку першого до кінця останнього. Якщо ланцюжок замкнувся, сума дорівнює \(\vec{0}\).
Правило паралелограма
Правило паралелограма. Відкладіть \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) від однієї точки й добудуйте паралелограм. Сума \(\vec{a}+\vec{b}\) — це діагональ паралелограма, що виходить із тієї самої точки.
Це те саме додавання, просто інша картинка: правило паралелограма зручне, коли обидва вектори вже задані від спільної точки (сили, швидкості у фізиці). Обмеження одне — для колінеарних векторів паралелограма не вийде, там залишається правило трикутника.
Додавання векторів має ті самі властивості, що й додавання чисел: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\) і \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).
Віднімання векторів
Означення. Різниця \(\vec{a}-\vec{b}\) — це сума \(\vec{a}\) з вектором, протилежним до \(\vec{b}\): \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\).
Є й швидший геометричний спосіб: відкладіть \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) від спільної точки \(O\). Тоді \(\vec{a}-\vec{b}\) іде від кінця \(\vec{b}\) до кінця \(\vec{a}\):
\[\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA}\]
Перевірка правилом трикутника: \(\vec{OB}+\vec{BA}=\vec{OA}\), отже \(\vec{BA}=\vec{OA}-\vec{OB}\). Напрям «від відніманого до зменшуваного» — типове місце помилки.
Множення вектора на число
Означення. Добутком ненульового вектора \(\vec{a}\) на число \(k \neq 0\) називають вектор \(k\vec{a}\), у якого \(|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|\), причому \(k\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{a}\) при \(k > 0\) і \(k\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{a}\) при \(k < 0\).
Тобто число розтягує або стискає вектор, а від'ємне ще й розвертає його. Якщо \(k=0\) або \(\vec{a}=\vec{0}\), добуток дорівнює \(\vec{0}\). Зверніть увагу на модуль у формулі довжини: довжина не буває від'ємною, тому там саме \(|k|\).
Ознака колінеарності. Вектори \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) (де \(\vec{a}\neq\vec{0}\)) колінеарні тоді й лише тоді, коли існує число \(k\) таке, що \(\vec{b}=k\vec{a}\).
Координати вектора
Тепер переходимо на мову координат — саме тут тема стає простою. Про систему координат докладніше — у статті про координати на площині.
Правило. Якщо \(A(x_1;\ y_1)\) і \(B(x_2;\ y_2)\), то координати вектора \(\vec{AB}\) обчислюють як різницю координат кінця й початку: \[\vec{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1)\]
Тут одразу видно ідею «вектор не прив'язаний до місця»: якщо перенести обидві точки на однаковий вектор, різниці не зміняться. Тому два вектори рівні тоді й лише тоді, коли рівні їхні відповідні координати — перевірка зводиться до порівняння двох пар чисел.
Модуль вектора через координати
Якщо \(\vec{a}=(x;\ y)\), то, добудувавши прямокутний трикутник із катетами \(|x|\) і \(|y|\), за теоремою Піфагора дістанемо:
\[|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Для вектора, заданого точками, це те саме, що й формула відстані між точками:
\[|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Підкореневий вираз завжди невід'ємний; якщо корінь не добувається націло, відповідь лишають у вигляді кореня — про це є в статті про квадратний корінь.
Дії з векторами в координатах
Усі три операції в координатах виконують покоординатно. Нехай \(\vec{a}=(x_1;\ y_1)\), \(\vec{b}=(x_2;\ y_2)\), \(k\) — число. Тоді:
\[\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2;\ y_1+y_2)\] \[\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2;\ y_1-y_2)\] \[k\vec{a}=(kx_1;\ ky_1)\]
Саме тому координати так люблять на контрольних: замість побудов — три рядки арифметики. Вираз на кшталт \(2\vec{a}-3\vec{b}\) обчислюють у звичайному порядку: спершу множення на числа, потім віднімання.
Умова колінеарності в координатах
З ознаки \(\vec{b}=k\vec{a}\) в координатах маємо \(x_2=kx_1\) і \(y_2=ky_1\). Виключивши \(k\), дістаємо зручний критерій без ділення:
Умова колінеарності. Вектори \(\vec{a}=(x_1;\ y_1)\) і \(\vec{b}=(x_2;\ y_2)\) колінеарні тоді й лише тоді, коли \[x_1y_2-x_2y_1=0\]
Форму з пропорцією \(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{y_2}{y_1}\) теж використовують, але вона ламається, коли якась із координат дорівнює нулю. Записуйте умову через добутки — вона працює завжди. Знак \(k\) показує тип колінеарності: при \(k > 0\) вектори співнапрямлені, при \(k < 0\) — протилежно напрямлені.
Приклад 1. Координати вектора і його модуль
Дано точки \(A(-2;\ 3)\) і \(B(4;\ -5)\). Знайти координати та модулі векторів \(\vec{AB}\) і \(\vec{BA}\).
Від координат кінця віднімаємо координати початку:
\[\vec{AB}=(4-(-2);\ -5-3)=(6;\ -8)\]
\[|\vec{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]
Тепер міняємо ролі точок:
\[\vec{BA}=(-2-4;\ 3-(-5))=(-6;\ 8)\]
\[|\vec{BA}|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}=10\]
Координати протилежні за знаками, модулі однакові — так і має бути для протилежних векторів.
Відповідь: \(\vec{AB}=(6;\ -8)\), \(|\vec{AB}|=10\); \(\vec{BA}=(-6;\ 8)\), \(|\vec{BA}|=10\).
Приклад 2. Дії з векторами в координатах
Дано \(\vec{a}=(6;\ 1)\) і \(\vec{b}=(2;\ -2)\). Знайти \(\vec{a}+\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\), \(|\vec{a}-\vec{b}|\) та \(|2\vec{a}-3\vec{b}|\).
Додаємо й віднімаємо покоординатно:
\[\vec{a}+\vec{b}=(6+2;\ 1+(-2))=(8;\ -1)\]
\[\vec{a}-\vec{b}=(6-2;\ 1-(-2))=(4;\ 3)\]
\[|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\]
Для останнього виразу спершу множимо на числа: \(2\vec{a}=(12;\ 2)\), \(3\vec{b}=(6;\ -6)\). Тоді
\[2\vec{a}-3\vec{b}=(12-6;\ 2-(-6))=(6;\ 8)\]
\[|2\vec{a}-3\vec{b}|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]
Відповідь: \((8;\ -1)\); \((4;\ 3)\); \(5\); \(10\).
Приклад 3. Перевірка колінеарності та невідома координата
а) Чи колінеарні \(\vec{p}=(4;\ -6)\) і \(\vec{q}=(-6;\ 9)\)?
\[x_1y_2-x_2y_1=4\cdot 9-(-6)\cdot(-6)=36-36=0\]
Умова виконується — вектори колінеарні. Знайдемо коефіцієнт: \(-6=k\cdot 4\), звідси \(k=-1{,}5\); перевіряємо другу координату: \(-1{,}5\cdot(-6)=9\) — збігається. Оскільки \(k < 0\), вектори протилежно напрямлені.
б) Чи колінеарні \(\vec{r}=(3;\ 5)\) і \(\vec{s}=(6;\ 9)\)?
\[3\cdot 9-6\cdot 5=27-30=-3\neq 0\]
Не колінеарні. Пастка: перші координати відносяться як \(1:2\), а другі — ні, тож «на око» помилитися легко.
в) При якому \(m\) вектори \(\vec{u}=(3;\ m)\) і \(\vec{v}=(-6;\ 10)\) колінеарні?
\[3\cdot 10-(-6)\cdot m=0 \Rightarrow 30+6m=0 \Rightarrow m=-5\]
Перевірка: \(\vec{u}=(3;\ -5)\), і справді \(-2\vec{u}=(-6;\ 10)=\vec{v}\).
Відповідь: а) колінеарні, протилежно напрямлені; б) не колінеарні; в) \(m=-5\).
Приклад 4. Четверта вершина паралелограма
Дано три вершини паралелограма \(ABCD\): \(A(1;\ 2)\), \(B(4;\ 6)\), \(C(16;\ 11)\). Знайти вершину \(D\) і периметр.
У паралелограмі \(ABCD\) сторони \(AB\) і \(DC\) паралельні й рівні, а порядок обходу вершин дає рівність векторів \(\vec{AB}=\vec{DC}\). Спочатку
\[\vec{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;\ 4)\]
Нехай \(D(x;\ y)\). Тоді \(\vec{DC}=(16-x;\ 11-y)\), і з рівності відповідних координат:
\[16-x=3,\quad 11-y=4 \Rightarrow x=13,\ y=7\]
Отже \(D(13;\ 7)\). Перевірка через другу пару сторін: \(\vec{AD}=(12;\ 5)\) і \(\vec{BC}=(12;\ 5)\) — рівні, паралелограм справжній.
Довжини сторін: \(|\vec{AB}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), \(|\vec{BC}|=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\). Периметр:
\[P=2(5+13)=36\]
Відповідь: \(D(13;\ 7)\), \(P=36\).
Приклад 5. Вектор заданої довжини й напряму
Дано \(\vec{a}=(3;\ -4)\). Знайти вектор \(\vec{m}\), співнапрямлений з \(\vec{a}\), довжиною 15, і вектор \(\vec{n}\), протилежно напрямлений до \(\vec{a}\), довжиною 10.
Спочатку модуль вихідного вектора: \(|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).
Шуканий вектор має вигляд \(k\vec{a}\), причому \(|k\vec{a}|=|k|\cdot 5\). Для \(\vec{m}\): \(|k|\cdot 5=15\), звідси \(|k|=3\); співнапрямленість означає \(k > 0\), тому \(k=3\):
\[\vec{m}=3\vec{a}=(9;\ -12),\qquad |\vec{m}|=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\]
Для \(\vec{n}\): \(|k|\cdot 5=10\), отже \(|k|=2\); протилежний напрям дає \(k=-2\):
\[\vec{n}=-2\vec{a}=(-6;\ 8),\qquad |\vec{n}|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]
Відповідь: \(\vec{m}=(9;\ -12)\), \(\vec{n}=(-6;\ 8)\).
Приклад 6. Рівні вектори в різних місцях площини
Дано \(A(-3;\ 1)\), \(B(0;\ 5)\), \(C(2;\ -2)\), \(D(5;\ 2)\). Довести, що \(\vec{AB}=\vec{CD}\).
Обчислюємо координати обох векторів:
\[\vec{AB}=(0-(-3);\ 5-1)=(3;\ 4)\]
\[\vec{CD}=(5-2;\ 2-(-2))=(3;\ 4)\]
Відповідні координати збігаються, отже вектори рівні. Їхні модулі, звісно, теж однакові: \(|\vec{AB}|=|\vec{CD}|=\sqrt{9+16}=5\).
Найважливіше тут — відрізки \(AB\) і \(CD\) не мають жодної спільної точки й лежать у різних частинах площини, але вектори рівні, бо збігаються довжина й напрям: \(CD\) — це просто паралельно перенесений \(AB\).
Відповідь: \(\vec{AB}=\vec{CD}=(3;\ 4)\), обидва модулі дорівнюють 5.
Типові помилки
- Плутають порядок точок. Пишуть \(\vec{AB}=(x_1-x_2;\ y_1-y_2)\), тобто віднімають кінець від початку. Правило одне: кінець мінус початок.
- Вважають, що вектори в різних місцях площини не можуть бути рівними. Можуть. Вектор задається лише довжиною й напрямом; положення в означення не входить.
- Ототожнюють колінеарність із рівністю. Вектори \((1;\ 2)\) і \((-5;\ -10)\) колінеарні, але ані рівні, ані навіть співнапрямлені.
- Плутають напрям різниці. Пишуть \(\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{AB}\). Насправді \(\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA}\) — вектор іде від кінця відніманого до кінця зменшуваного.
- Забувають модуль числа. Пишуть \(|k\vec{a}|=k|\vec{a}|\) і для \(k=-3\) дістають від'ємну довжину. Правильно \(|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|\).
- Додають модулі замість векторів. Із \(|\vec{a}|=3\) і \(|\vec{b}|=4\) не випливає \(|\vec{a}+\vec{b}|=7\): це так лише для співнапрямлених векторів.
- Ділять на нульову координату. У пропорції \(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{y_2}{y_1}\) знаменник може дорівнювати нулю. Форма \(x_1y_2-x_2y_1=0\) від цього застрахована.
Висновок
Вектори тримаються на двох речах. Перша — розуміння, що вектор є довжина плюс напрям, а не «стрілка в конкретному місці». Друга — координатний апарат: \(\vec{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1)\), \(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\), покоординатні дії й умова \(x_1y_2-x_2y_1=0\). Опанувавши їх, ви без зусиль підете далі — до скалярного добутку й кутів між векторами.
Якщо дитина плутає \(\vec{AB}\) і \(\vec{BA}\) або не бачить різниці між колінеарністю й рівністю, прогалина вузька й закривається за кілька занять. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач перевірить базу з координат і закриє саме те місце, де ламається розуміння.
Часті питання
Чи можуть рівні вектори лежати в різних місцях площини?
Так. В означенні рівності векторів ідеться лише про довжину й напрям — положення там не згадується. Тому вектор \(\vec{AB}\) з точками \(A(-3;\ 1)\), \(B(0;\ 5)\) і вектор \(\vec{CD}\) з точками \(C(2;\ -2)\), \(D(5;\ 2)\) рівні: обидва мають координати \((3;\ 4)\), хоча відрізки не мають спільних точок.
Чим колінеарні вектори відрізняються від рівних?
Колінеарні лежать на одній прямій або на паралельних прямих, але їхні довжини й напрями можуть відрізнятися. Рівні — це окремий випадок колінеарних: однакова довжина плюс однаковий напрям. Наприклад, \((1;\ 2)\) і \((-5;\ -10)\) колінеарні, але не рівні.
Коли краще використовувати правило трикутника, а коли паралелограма?
Правило трикутника універсальне: воно працює завжди, зокрема для колінеарних векторів і для суми кількох векторів ланцюжком. Правило паралелограма зручне, коли обидва вектори вже відкладені від однієї точки, але для колінеарних векторів воно не застосовне — паралелограм не будується.
Як перевірити колінеарність, якщо одна з координат дорівнює нулю?
Використовуйте умову \(x_1y_2-x_2y_1=0\) — вона не містить ділення й працює за будь-яких координат. Наприклад, для \((0;\ 3)\) і \((0;\ -7)\) дістаємо \(0\cdot(-7)-0\cdot 3=0\), тобто вектори колінеарні, хоча пропорцію тут записати неможливо.
