Додатні й від'ємні числа, модуль, координатна площина
Шостий клас — момент, коли числова пряма раптом продовжується вліво від нуля, а разом із нею з'являються від'ємні числа, модуль і координатна площина. Для багатьох школярів це перший справді абстрактний стрибок: до цього числа були «кількістю», тепер вони стали ще й «напрямком». На заняттях у Tutor-Math ми проходимо цю тему повільно й через наочність — бо помилки в знаках, закладені тут, тягнуться потім у рівняння, функції та всю алгебру. Розберімо все з нуля: означення, правила знаків, координатні чверті й приклади, доведені до відповіді.
Додатні й від'ємні числа. Числова пряма
До шостого класу учень працює з натуральними числами та нулем. Тепер до них додаються числа зі знаком «мінус»: \(-1\), \(-2\), \(-7\), а також від'ємні дроби на кшталт \(-\tfrac{3}{4}\) і від'ємні десяткові \(-0{,}5\).
Натуральні числа, протилежні їм від'ємні та нуль разом утворюють множину цілих чисел. Її позначають літерою \(\mathbb{Z}\):
\[\mathbb{Z} = \{\ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}\]Наочна модель — числова пряма: пряма з вибраним початком (точкою \(0\)), одиничним відрізком і напрямком. Праворуч від нуля стоять додатні числа, ліворуч — від'ємні. Нуль не є ні додатним, ні від'ємним: це межа між ними.
Правило порівняння. З двох чисел більше те, яке на числовій прямій стоїть правіше. Тому будь-яке додатне число більше за будь-яке від'ємне, а з двох від'ємних більше те, що ближче до нуля: \(-2 > -9\).
Саме тут ховається перша типова помилка: дев'ятка більша за двійку, тому здається, що й \(-9\) має бути більшим за \(-2\). Але на прямій \(-9\) стоїть далеко ліворуч, а отже — менше. Термометр допомагає: \(-9^\circ\) холодніше, ніж \(-2^\circ\).
Протилежні числа
Два числа називають протилежними, якщо вони відрізняються лише знаком: \(7\) і \(-7\), \(-0{,}5\) і \(0{,}5\). На числовій прямій вони стоять по різні боки від нуля на однаковій відстані від нього.
Означення. Числа \(a\) і \(-a\) називають протилежними. Їхня сума дорівнює нулю: \(a + (-a) = 0\). Число, протилежне до нуля, — сам нуль.
Запис \(-a\) читають не як «мінус а», а як «число, протилежне до \(a\)». Це важливо: якщо \(a = -6\), то \(-a = 6\), тобто вираз зі знаком мінус може виявитися додатним числом.
Модуль числа
Означення. Модулем числа \(a\) називають відстань від початку координат до точки \(a\) на числовій прямій. Позначають \(|a|\).
Оскільки відстань не буває від'ємною, модуль будь-якого числа невід'ємний. Формально:
\[|a| = \begin{cases} a, & \text{якщо } a \geqslant 0,\\[4pt] -a, & \text{якщо } a < 0.\end{cases}\]Наприклад, \(|5| = 5\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(\left|-2{,}5\right| = 2{,}5\). Модуль просто «знімає» знак мінус, залишаючи саме число.
Геометричний зміст модуля — це і є ключ до розуміння. Запис \(|x| = 4\) означає: «точка \(x\) віддалена від нуля на 4 одиниці». Таких точок дві — \(4\) і \(-4\). А модуль різниці \(|a - b|\) дає відстань між двома точками прямої. Наприклад, відстань між \(-8\) і \(5\) дорівнює \(|5 - (-8)| = |13| = 13\).
Додавання від'ємних чисел
Додавання зручно уявляти як рух по прямій: додаємо додатне — крокуємо праворуч, додаємо від'ємне — ліворуч.
Правило додавання. Якщо знаки однакові — додають модулі, а перед результатом ставлять спільний знак. Якщо знаки різні — від більшого модуля віднімають менший, а перед результатом ставлять знак того числа, чий модуль більший.
Приклади: \(-4 + (-6) = -10\) (знаки однакові, \(4 + 6 = 10\), знак мінус). І навпаки, \(-9 + 4 = -5\), бо модулі різні: \(9 - 4 = 5\), а більший модуль у дев'ятки, яка від'ємна.
Віднімання від'ємних чисел
Правило віднімання. Відняти число — те саме, що додати протилежне до нього: \(a - b = a + (-b)\). Зокрема, \(a - (-b) = a + b\): два мінуси поспіль дають плюс.
Тобто \(3 - 8 = 3 + (-8) = -5\), а \(3 - (-8) = 3 + 8 = 11\). Віднімання як окрема дія фактично зникає: будь-яку різницю можна переписати як суму, і далі працює лише правило додавання.
Множення й ділення від'ємних чисел
Правило знаків. Для множення й ділення:
\((+)\cdot(+) = (+)\), \(\;(-)\cdot(-) = (+)\),
\((+)\cdot(-) = (-)\), \(\;(-)\cdot(+) = (-)\).
Модулі при цьому просто перемножують або ділять.
Отже, \((-6)\cdot(-7) = 42\), а \((-6)\cdot 7 = -42\); \(-72 : (-9) = 8\), а \(72 : (-9) = -8\).
Для добутку кількох множників діє зручне узагальнення: якщо від'ємних множників парна кількість, добуток додатний; якщо непарна — від'ємний. Наприклад, \((-3)\cdot(-4)\cdot(-2) = -24\): трьох мінусів, кількість непарна, результат від'ємний. Ті самі правила знаків працюють і з десятковими дробами, і зі звичайними дробами — змінюється лише техніка обчислення модулів.
Координатна площина
Одна пряма задає положення точки одним числом. Щоб описати положення на площині, беруть дві перпендикулярні числові прямі зі спільним початком.
- Вісь абсцис \(Ox\) — горизонтальна, додатний напрямок праворуч.
- Вісь ординат \(Oy\) — вертикальна, додатний напрямок угору.
- Початок координат \(O\) — точка перетину осей, їй відповідає пара \((0;\,0)\).
Положення точки записують упорядкованою парою: \(A(x;\,y)\), де \(x\) — абсциса, \(y\) — ордината. Порядок принциповий: \(A(3;\,-5)\) і \(B(-5;\,3)\) — різні точки. Щоб знайти точку за координатами, від початку рухаються вздовж \(Ox\) на \(x\) одиниць, потім паралельно \(Oy\) на \(y\) одиниць.
Осі ділять площину на чотири координатні чверті, які нумерують проти годинникової стрілки, починаючи з правої верхньої. Знаки координат у них такі:
- I чверть: \(x > 0\), \(y > 0\) — обидві координати додатні.
- II чверть: \(x < 0\), \(y > 0\).
- III чверть: \(x < 0\), \(y < 0\) — обидві від'ємні.
- IV чверть: \(x > 0\), \(y < 0\).
Точки, що лежать на самих осях, не належать жодній чверті. Якщо \(y = 0\), точка на осі \(Ox\); якщо \(x = 0\) — на осі \(Oy\).
Приклад 1. Обчислення з модулями
Обчислити \(|-7| + |4| - |-3|\) і знайти відстань між точками \(-8\) і \(5\) на числовій прямій.
Спочатку розкриваємо кожен модуль: \(|-7| = 7\), \(|4| = 4\), \(|-3| = 3\). Далі рахуємо: \(7 + 4 - 3 = 8\).
Відстань знаходимо як модуль різниці: \(|5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13\).
Відповідь: \(8\); відстань дорівнює \(13\).
Приклад 2. Ланцюжок додавання й віднімання
Обчислити \(-12 + 5 - (-8) - 15\).
Крок 1. \(-12 + 5\): знаки різні, \(12 - 5 = 7\), більший модуль у від'ємного числа, отже \(-7\).
Крок 2. \(-7 - (-8) = -7 + 8 = 1\): віднімання від'ємного замінюємо додаванням додатного.
Крок 3. \(1 - 15 = -14\).
Відповідь: \(-14\).
Приклад 3. Множення, ділення й модуль в одному виразі
Обчислити \(-18 : (-3) + (-5)\cdot 4 - |-6|\).
Спершу виконуємо дії другого ступеня — множення й ділення, а модуль розкриваємо одразу.
\(-18 : (-3) = 6\) (мінус на мінус дає плюс).
\((-5)\cdot 4 = -20\) (знаки різні).
\(|-6| = 6\).
Тепер сума: \(6 + (-20) - 6 = -14 - 6 = -20\).
Відповідь: \(-20\).
Приклад 4. Рівняння виду \(|x| = a\)
Розв'язати рівняння: а) \(|x| = 6\); б) \(|x| = 0\); в) \(|x| = -3\).
а) Модуль — це відстань від нуля. Точок, віддалених від нуля на 6 одиниць, дві: \(6\) і \(-6\). Перевірка: \(|6| = 6\) і \(|-6| = 6\). Обидва корені підходять.
б) Відстань дорівнює нулю лише для самої точки \(0\). Єдиний корінь: \(x = 0\).
в) Модуль не може бути від'ємним, бо це відстань. Розв'язків немає.
Відповідь: а) \(x = 6\) або \(x = -6\); б) \(x = 0\); в) розв'язків немає.
Приклад 5. Рівняння виду \(|x - a| = b\)
Розв'язати рівняння \(|x - 3| = 5\).
Позначимо вираз під модулем як єдине ціле. Якщо модуль якогось виразу дорівнює 5, то сам вираз дорівнює \(5\) або \(-5\). Отримуємо два випадки:
- \(x - 3 = 5\), звідки \(x = 5 + 3 = 8\);
- \(x - 3 = -5\), звідки \(x = -5 + 3 = -2\).
Перевірка підстановкою обов'язкова. При \(x = 8\): \(|8 - 3| = |5| = 5\) — правильно. При \(x = -2\): \(|-2 - 3| = |-5| = 5\) — теж правильно.
Геометрично це читається так: \(|x - 3|\) — відстань від точки \(x\) до точки \(3\). Нас цікавлять точки, віддалені від трійки на 5 одиниць: одна праворуч (\(3 + 5 = 8\)), друга ліворуч (\(3 - 5 = -2\)).
Відповідь: \(x = 8\) або \(x = -2\).
Звичка отримувати два корені й перевіряти обидва підстановкою знадобиться пізніше, коли почнуться квадратні рівняння — там ситуація з двома розв'язками стане нормою.
Типові помилки
- Плутанина «мінус на мінус» при додаванні й множенні. Найпоширеніша помилка теми. Правило «мінус на мінус дає плюс» стосується множення й ділення, а не додавання. Тому \((-4)\cdot(-6) = 24\), але \(-4 + (-6) = -10\), а не \(10\). Перш ніж застосовувати правило знаків, подивіться, яка саме дія стоїть у виразі.
- Порівняння від'ємних чисел «за модулем». \(-9 < -2\), хоча \(9 > 2\). Орієнтир — розташування на прямій, а не величина без знака.
- Втрата другого кореня в рівнянні з модулем. З \(|x| = 6\) записують тільки \(x = 6\). Рівняння \(|x| = a\) при \(a > 0\) завжди має два корені.
- Модуль вважають «завжди зміною знака». \(|-a|\) не дорівнює \(a\) автоматично: якщо \(a\) від'ємне, результат буде \(-a\). Модуль повертає невід'ємне значення, а не «протилежне».
- Переставляння координат. Пара \((x;\,y)\) упорядкована: спершу абсциса, потім ордината. \(A(2;\,-5)\) лежить у IV чверті, а \(B(-5;\,2)\) — у II.
- Точку на осі відносять до чверті. Якщо хоча б одна координата дорівнює нулю, точка лежить на осі й не належить жодній чверті.
Висновок
Від'ємні числа, модуль і координатна площина — це не три окремі теми, а один зв'язний блок, побудований навколо ідеї числової прямої. Числова пряма дає порядок і знак, модуль перетворює положення на відстань, координатна площина повторює ту саму конструкцію двічі. Хто зрозумів пряму, той без зусиль розбереться і з чвертями.
Найважливіше тут — не завчити правила знаків, а довести їх до автоматизму на прикладах, бо саме помилки в знаках дають більшість «дурних» помилок у контрольних роботах наступних років. Якщо дитина плутається в знаках або втрачає корені в рівняннях із модулем, розібратися швидше з викладачем: запишіться на пробне заняття в Tutor-Math, і ми знайдемо конкретне місце, де ланцюжок розуміння рветься.
Чому мінус на мінус дає плюс?
Це наслідок збереження законів арифметики. Розгляньмо \((-3)\cdot(-4)\). Відомо, що \((-3)\cdot 4 = -12\) і що \((-3)\cdot 0 = 0\). Запишемо \(0 = (-3)\cdot(4 + (-4)) = (-3)\cdot 4 + (-3)\cdot(-4) = -12 + (-3)\cdot(-4)\). Щоб сума дорівнювала нулю, добуток \((-3)\cdot(-4)\) має дорівнювати \(12\). Правило не вигадане — воно єдине можливе.
Чи може модуль числа бути від'ємним?
Ні. Модуль — це відстань від нуля до точки на числовій прямій, а відстань завжди невід'ємна. Тому \(|a| \geqslant 0\) для будь-якого числа. Рівняння на кшталт \(|x| = -3\) розв'язків не має. Нулю дорівнює модуль лише одного числа — самого нуля.
Скільки коренів має рівняння з модулем?
Рівняння \(|x - a| = b\) при \(b > 0\) має рівно два корені: \(x = a + b\) і \(x = a - b\). При \(b = 0\) корінь один: \(x = a\). При \(b < 0\) розв'язків немає. Тому в рівнянні \(|x - 3| = 5\) два корені — \(8\) і \(-2\).
Як визначити чверть, у якій лежить точка?
За знаками координат. Обидві додатні — I чверть; абсциса від'ємна, ордината додатна — II; обидві від'ємні — III; абсциса додатна, ордината від'ємна — IV. Якщо хоча б одна координата дорівнює нулю, точка лежить на осі й до жодної чверті не належить.
