Вписане та описане коло трикутника
У будь-який трикутник можна вписати рівно одне коло і навколо будь-якого трикутника можна описати рівно одне коло. Звучить просто, але саме тут школярі плутають два центри, два радіуси й чотири формули, які виглядають схоже. У Tutor-Math ми даємо тему як пару «центр — формула радіуса» з чітким критерієм, коли яку формулу брати. Нижче — означення, всі робочі формули, окремий розбір прямокутного і рівностороннього трикутників та шість повністю обчислених прикладів.
Два кола, два центри: означення
Вписане коло — коло, яке дотикається до всіх трьох сторін трикутника. Його центр — інцентр — лежить у точці перетину бісектрис трикутника. Радіус позначають \(r\).
Описане коло — коло, яке проходить через усі три вершини трикутника. Його центр лежить у точці перетину серединних перпендикулярів до сторін. Радіус позначають \(R\).
Логіка обох центрів однакова й варта того, щоб її зрозуміти раз і назавжди. Точки бісектриси кута рівновіддалені від сторін кута — тому точка перетину трьох бісектрис рівновіддалена від усіх трьох сторін, і ця спільна відстань і є \(r\). Точки серединного перпендикуляра рівновіддалені від кінців відрізка — тому точка перетину трьох серединних перпендикулярів рівновіддалена від усіх трьох вершин, і ця спільна відстань є \(R\).
Звідси відразу два наслідки. Перший: інцентр завжди лежить усередині трикутника, бо бісектриси йдуть усередину. Другий: центр описаного кола може опинитися і поза трикутником — про це окремий розділ. Якщо бісектриси й серединні перпендикуляри для вас поки що розмиті поняття, спершу перегляньте медіани, висоти та бісектриси, а базову термінологію кола — у статті про коло і круг.
Радіус вписаного кола: \(r=\frac{S}{p}\)
Основна формула. Якщо \(S\) — площа трикутника, а \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) — його півпериметр, то
\[r=\frac{S}{p},\qquad\text{рівносильно}\qquad S=p\,r\]
Виведення займає один рядок. З'єднайте інцентр із трьома вершинами — трикутник розпадеться на три менші. Основа кожного — сторона трикутника, а висота — радіус \(r\), бо радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до сторони. Складаємо площі:
\[S=\tfrac{1}{2}ar+\tfrac{1}{2}br+\tfrac{1}{2}cr=\tfrac{1}{2}(a+b+c)\,r=p\,r\]Практично це означає, що вписане коло майже ніколи не рахують напряму. Спочатку знаходять площу — найчастіше за формулою Герона — а потім ділять її на півпериметр. Усі способи знайти \(S\) зібрані в статті про площу трикутника.
Радіус описаного кола: дві формули
Через три сторони і площу: \(\;R=\dfrac{abc}{4S}\).
Через теорему синусів: \(\;R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{b}{2\sin B}=\dfrac{c}{2\sin C}\).
Друга формула — це просто розширена теорема синусів, записана відносно \(R\). Важлива деталь: сторона й синус мають відповідати одне одному — у чисельнику сторона \(a\), у знаменнику синус протилежного до неї кута \(A\). Це помилка номер один у темі.
Обидві формули дають той самий результат, але вимагають різних даних, і саме тому їх дві. Синусна працює навіть тоді, коли відома лише одна сторона й один кут — решта трикутника не потрібна.
Критерій: яку формулу брати
Це головний практичний розділ. Дивіться не на формулу, а на те, що дано.
- Дано три сторони — рахуйте \(p\), потім \(S\) за Героном, далі \(r=\dfrac{S}{p}\) і \(R=\dfrac{abc}{4S}\). Універсальний шлях, працює завжди.
- Дано сторону і протилежний їй кут — тільки \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\). Найшвидший спосіб, інші тут безсилі.
- Трикутник прямокутний — не рахуйте нічого зайвого: \(R=\dfrac{c}{2}\) (половина гіпотенузи) і \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\).
- Трикутник рівносторонній — \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\), \(R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\), і завжди \(R=2r\).
- Дано \(S\) і \(p\) (або периметр) — одразу \(r=\dfrac{S}{p}\), Герон не потрібен.
І контрольне співвідношення, яке варто тримати в голові: на одному й тому самому трикутнику мають одночасно виконуватися \(S=pr\) і \(S=\dfrac{abc}{4R}\). Якщо підставили і не збіглося — десь помилка в арифметиці.
Де лежить центр описаного кола
Положення інцентра питань не викликає — він завжди всередині. А от центр описаного кола поводиться по-різному, і саме на цьому будують задачі.
У гострокутному трикутнику центр описаного кола лежить усередині трикутника.
У прямокутному — на середині гіпотенузи.
У тупокутному — поза трикутником, з іншого боку від найдовшої сторони.
Випадок прямокутного трикутника треба знати напам'ять — це найчастіше завдання теми. Пояснення просте: вписаний кут спирається на діаметр тоді й лише тоді, коли він прямий. Отже, гіпотенуза прямокутного трикутника — це діаметр описаного кола, а її середина — центр. Звідси одразу два наслідки:
- \(R=\dfrac{c}{2}\), де \(c\) — гіпотенуза;
- медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи (вона ж радіус, бо з'єднує центр із вершиною).
Прямокутний трикутник: формула \(r=\frac{a+b-c}{2}\)
Для прямокутного трикутника з катетами \(a\), \(b\) і гіпотенузою \(c\):
\[r=\frac{a+b-c}{2}\]
Формула виглядає загадково, але виводиться з відрізків дотичних. Дотичні, проведені з однієї точки до кола, рівні. Із вершини прямого кута виходять два таких відрізки, і разом із двома радіусами вони утворюють квадрат зі стороною \(r\). Тому катети розбиваються так: \(a=r+x\), \(b=r+y\), а гіпотенуза \(c=x+y\). Додаємо перші дві рівності й віднімаємо третю: \(a+b-c=2r\).
Цю формулу не обов'язково зубрити — вона легко перевіряється через \(r=\dfrac{S}{p}\), але на контрольній економить дві хвилини.
Рівносторонній трикутник: \(R=2r\)
У рівносторонньому трикутнику бісектриси, медіани, висоти й серединні перпендикуляри збігаються — тому обидва центри збігаються теж. Ця спільна точка ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини. Більша частина — це \(R\), менша — \(r\). Звідси й головне співвідношення:
\[R=2r\]Через сторону \(a\): висота дорівнює \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), тому \(R=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) і \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\). Важливо: рівність \(R=2r\) виконується лише для рівностороннього трикутника — переносити її на інші трикутники не можна.
Приклад 1. Трикутник зі сторонами 13, 14, 15
Знайти \(r\) і \(R\), а тоді перевірити узгодженість обох формул площі.
Півпериметр: \(p=\dfrac{13+14+15}{2}=21\). Площа за Героном:
\[S=\sqrt{21\cdot(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84\]Далі радіуси:
\[r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4,\qquad R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8{,}125\]Перевірка узгодженості на тому самому трикутнику: \(p\,r=21\cdot 4=84=S\) — збіглося; \(\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{2730}{4\cdot 8{,}125}=\dfrac{2730}{32{,}5}=84=S\) — теж збіглося.
Відповідь: \(r=4\), \(R=8{,}125\); обидві формули площі дають \(S=84\).
Приклад 2. Прямокутний трикутник з катетами 6 і 8
Гіпотенуза: \(c=\sqrt{36+64}=10\). Використовуємо «швидкі» формули:
\[R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5,\qquad r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2\]Перевіримо загальними формулами. \(S=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24\), \(p=\dfrac{6+8+10}{2}=12\), звідси \(r=\dfrac{24}{12}=2\) і \(R=\dfrac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=\dfrac{480}{96}=5\). Значення ті самі.
Відповідь: \(r=2\), \(R=5\), центр описаного кола — середина гіпотенузи.
Приклад 3. Радіус описаного кола дорівнює 6,5
Трикутник прямокутний, один із катетів дорівнює 5. Знайти радіус вписаного кола.
Оскільки трикутник прямокутний, гіпотенуза — діаметр: \(c=2R=2\cdot 6{,}5=13\). Другий катет за теоремою Піфагора: \(b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Тепер \(r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{5+12-13}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).
Контроль: \(S=\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30\), \(p=\dfrac{5+12+13}{2}=15\), \(\dfrac{S}{p}=\dfrac{30}{15}=2\). Сходиться.
Відповідь: \(r=2\).
Приклад 4. Сторона 12 лежить проти кута \(120^\circ\)
Тут дано рівно те, що потрібно синусній формулі: сторону і протилежний їй кут. Жодних інших даних не треба.
\[R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12}{2\sin 120^\circ}=\frac{12}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\]Зверніть увагу: кут тупий, але \(\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — синус додатний, формула працює без застережень. Спроба замість цього шукати площу приречена: трьох сторін ми не знаємо.
Відповідь: \(R=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\).
Приклад 5. Рівносторонній трикутник зі стороною 6
\[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\approx 1{,}73,\qquad R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\]Співвідношення \(R=2r\) виконується: \(2\sqrt{3}=2\cdot\sqrt{3}\).
Перевірка загальними формулами: \(p=9\), \(S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\), тоді \(r=\dfrac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3}\) і \(R=\dfrac{6\cdot 6\cdot 6}{4\cdot 9\sqrt{3}}=\dfrac{216}{36\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\). Усе сходиться.
Відповідь: \(r=\sqrt{3}\), \(R=2\sqrt{3}\), і справді \(R=2r\).
Приклад 6. Тупокутний трикутник 7, 15, 20
Спершу переконаємось, що трикутник тупокутний: \(7^2+15^2=49+225=274\), а \(20^2=400\). Оскільки \(274 < 400\), кут проти сторони 20 тупий.
Півпериметр \(p=\dfrac{7+15+20}{2}=21\). Площа:
\[S=\sqrt{21\cdot(21-7)(21-15)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}=\sqrt{1764}=42\] \[r=\frac{42}{21}=2,\qquad R=\frac{7\cdot 15\cdot 20}{4\cdot 42}=\frac{2100}{168}=12{,}5\]Зверніть увагу на \(R=12{,}5\): це більше за половину найдовшої сторони (\(20:2=10\)) — саме тому центр описаного кола вийшов за межі трикутника. Вписане коло, як завжди, всередині.
Відповідь: \(r=2\), \(R=12{,}5\), центр описаного кола лежить поза трикутником.
Типові помилки
- Плутають центри. Інцентр — перетин бісектрис, центр описаного кола — перетин серединних перпендикулярів. Це різні точки (збігаються лише в рівносторонньому трикутнику).
- У формулі \(r=\dfrac{S}{p}\) підставляють периметр замість півпериметра. Відповідь виходить удвічі меншою. У формулі стоїть саме \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\).
- У синусній формулі беруть «не той» кут. \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\) вимагає кут, протилежний стороні \(a\), а не будь-який кут трикутника.
- Забувають двійку: пишуть \(R=\dfrac{a}{\sin A}\). У розширеній теоремі синусів \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\), тобто відношення дає діаметр, а не радіус.
- Переносять \(R=2r\) на довільний трикутник. Це властивість виключно рівностороннього. Для 13-14-15 маємо \(r=4\), \(R=8{,}125\) — і \(8{,}125\ne 8\).
- Застосовують \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\) до непрямокутного трикутника. Формула виведена з квадрата біля прямого кута й без нього не працює.
- Вважають, що центр описаного кола завжди всередині. У тупокутному трикутнику він зовні, у прямокутному — на стороні.
Висновок
Уся тема тримається на чотирьох формулах: \(r=\dfrac{S}{p}\), \(R=\dfrac{abc}{4S}\), \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\) і — для прямокутного трикутника — \(R=\dfrac{c}{2}\) з \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\). Вибирайте формулу за даними задачі, а не за звичкою, і завжди перевіряйте результат співвідношенням \(S=pr\). Якщо тема не збирається в цілісну картину, приходьте на пробне заняття — розберемо на ваших задачах і закриємо прогалини за кілька занять.
Чи в кожен трикутник можна вписати коло?
Так, і рівно одне. Бісектриси будь-якого трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від усіх трьох сторін — вона і є центром вписаного кола. Так само в будь-якого трикутника є рівно одне описане коло. Для чотирикутників це вже не так: там потрібні спеціальні умови.
Чому радіус описаного кола прямокутного трикутника — половина гіпотенузи?
Бо вписаний кут дорівнює \(90^\circ\) тоді й лише тоді, коли він спирається на діаметр. Прямий кут трикутника спирається на гіпотенузу, отже гіпотенуза — діаметр описаного кола, а її середина — центр. Звідси \(R=\dfrac{c}{2}\) і відомий наслідок: медіана до гіпотенузи дорівнює її половині.
Як швидко знайти \(r\) і \(R\), якщо дано лише три сторони?
Порахуйте півпериметр \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\), потім площу за формулою Герона, а далі \(r=\dfrac{S}{p}\) і \(R=\dfrac{abc}{4S}\). Це універсальний шлях: три сторони однозначно задають трикутник, тож обидва радіуси знаходяться без жодних додаткових даних.
Чи правда, що \(R\) завжди більший за \(r\)?
Так, для будь-якого трикутника виконується нерівність Ейлера \(R\ge 2r\), причому рівність \(R=2r\) досягається лише для рівностороннього. Тобто описане коло не просто більше — його радіус щонайменше вдвічі більший за радіус вписаного. Для трикутника 13-14-15: \(r=4\), \(R=8{,}125\), і справді \(8{,}125>8\).
