Застосування похідної: зростання, спадання, екстремуми
Похідну вчать не заради самої похідної. Її головна цінність у тому, що одне-єдине число — знак \(f'(x)\) — розповідає, як поводиться графік: піднімається він чи опускається, де в нього вершина, а де западина. На заняттях у Tutor-Math ми доводимо цю тему до автоматизму, бо дослідження функції — це і задача НМТ, і фундамент, без якого не буде ні побудови графіків, ні прикладних задач на оптимізацію. Розберемо всю схему: від знака похідної до найбільшого значення на відрізку.
Знак похідної й монотонність
Похідна в точці — це кутовий коефіцієнт дотичної (докладно про це в статті про означення похідної). Якщо дотична йде вгору, її нахил додатний, і функція в цьому місці зростає. Якщо вниз — нахил від'ємний, функція спадає. Це не метафора, а строга теорема.
Достатня ознака монотонності. Нехай функція \(f\) диференційовна на проміжку \(I\). Якщо \(f'(x) > 0\) для всіх \(x \in I\), то \(f\) зростає на \(I\). Якщо \(f'(x) < 0\) для всіх \(x \in I\), то \(f\) спадає на \(I\).
Зверніть увагу на слово «проміжок». Ознака працює на зв'язній множині. Якщо область визначення розірвана (наприклад, викинуто нуль), то проміжки монотонності доводиться виписувати окремо для кожної частини — зливати їх в один не можна.
Критичні точки і необхідна умова екстремуму
Означення. Точка \(x_0\) з області визначення називається критичною, якщо \(f'(x_0) = 0\) або похідна в цій точці не існує.
Необхідна умова екстремуму (теорема Ферма). Якщо \(x_0\) — точка екстремуму функції \(f\) і в цій точці існує похідна, то \(f'(x_0) = 0\).
Геометрично це очевидно: у вершині горба чи на дні ями дотична горизонтальна. Логіка теореми одностороння — вона говорить лише те, що екстремуми треба шукати серед критичних точок. Обернене твердження неправильне, і саме на цьому провалюється більшість учнів.
Головне: не кожна критична точка є екстремумом
Розглянемо \(y = x^3\). Її похідна \(y' = 3x^2\), і \(y'(0) = 0\) — точка \(x = 0\) критична. Але екстремуму в ній немає: при \(x \ne 0\) маємо \(3x^2 > 0\), тобто похідна додатна і ліворуч, і праворуч від нуля. Функція зростає на всій числовій прямій, просто в нулі на мить «пригальмовує» — дотична там горизонтальна, а графік її перетинає.
Висновок, який треба запам'ятати назавжди: рівність \(f'(x_0) = 0\) сама по собі екстремуму не дає. Екстремум дає зміна знака похідної.
Достатня умова екстремуму. Нехай \(x_0\) — критична точка, а функція неперервна в ній. Якщо при переході через \(x_0\) похідна змінює знак з «+» на «−», то \(x_0\) — точка максимуму. Якщо з «−» на «+» — точка мінімуму. Якщо знак не змінюється, екстремуму немає.
Алгоритм дослідження функції
- Знайти область визначення \(D(f)\).
- Обчислити \(f'(x)\) за таблицею похідних і правилами диференціювання.
- Знайти критичні точки: розв'язати \(f'(x) = 0\) і додати точки, де похідної не існує.
- Позначити на числовій прямій критичні точки й точки розриву, визначити знак \(f'\) на кожному проміжку — зручно методом інтервалів (див. нерівності).
- За знаками виписати проміжки зростання і спадання, а за змінами знака — екстремуми.
- Обчислити значення функції в точках екстремуму.
Приклад 1. Проміжки монотонності та екстремуми
Дослідити функцію \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\).
Область визначення — уся числова пряма. Похідна: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)\).
Критичні точки: \(x = -1\) і \(x = 3\). Перевіряємо знаки пробними числами: \(f'(-2) = 15 > 0\), \(f'(0) = -9 < 0\), \(f'(4) = 15 > 0\).
Отже, у точці \(x = -1\) похідна змінює знак з «+» на «−» — це максимум; у точці \(x = 3\) з «−» на «+» — це мінімум. Значення: \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\), \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\).
Відповідь: зростає на \((-\infty;\,-1]\) і \([3;\,+\infty)\), спадає на \([-1;\,3]\); точка максимуму \(x = -1\), \(f(-1) = 10\); точка мінімуму \(x = 3\), \(f(3) = -22\).
Приклад 2. Критична точка без екстремуму
Дослідити \(f(x) = x^4 - 4x^3\).
Похідна: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)\). Критичні точки: \(x = 0\) і \(x = 3\).
Множник \(4x^2\) невід'ємний завжди, тому знак похідної визначає лише дужка \((x - 3)\). Пробні значення: \(f'(-1) = -16 < 0\), \(f'(1) = -8 < 0\), \(f'(2) = -16 < 0\), \(f'(4) = 64 > 0\).
Через точку \(x = 0\) похідна проходить, не змінюючи знака (мінус зліва, мінус справа) — екстремуму немає, хоча \(f'(0) = 0\). У точці \(x = 3\) знак змінюється з «−» на «+»: це мінімум, \(f(3) = 81 - 108 = -27\).
Відповідь: спадає на \((-\infty;\,3]\), зростає на \([3;\,+\infty)\); єдиний екстремум — мінімум \(f(3) = -27\); точка \(x = 0\) критична, але екстремумом не є.
Приклад 3. Функція з розривом області визначення
Дослідити \(f(x) = x + \dfrac{4}{x}\).
Область визначення: \(x \ne 0\). Похідна: \(f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\).
Критичні точки: \(x = -2\) і \(x = 2\). Точка \(x = 0\) критичною не є — вона не входить в область визначення, але на числовій прямій її теж треба відзначити. Пробні значення: \(f'(-3) = \tfrac{5}{9} > 0\), \(f'(-1) = -3 < 0\), \(f'(1) = -3 < 0\), \(f'(3) = \tfrac{5}{9} > 0\).
У точці \(x = -2\) знак змінюється з «+» на «−» — максимум, \(f(-2) = -2 - 2 = -4\). У точці \(x = 2\) з «−» на «+» — мінімум, \(f(2) = 2 + 2 = 4\).
Зверніть увагу на дивну на перший погляд річ: локальний максимум \(-4\) менший за локальний мінімум \(4\). Суперечності немає — ці точки лежать на різних гілках графіка, розділених розривом, а слово «локальний» означає порівняння лише з найближчими сусідами.
Відповідь: зростає на \((-\infty;\,-2]\) і \([2;\,+\infty)\), спадає на \([-2;\,0)\) і \((0;\,2]\); максимум \(f(-2) = -4\), мінімум \(f(2) = 4\).
Найбільше і найменше значення на відрізку
Тут задача інша: потрібні не локальні вершини, а глобальний рекорд на заданому відрізку \([a;\,b]\). Неперервна на відрізку функція обов'язково досягає і найбільшого, і найменшого значення, але досягти їх вона може у двох різних місцях: або у внутрішній критичній точці, або на кінці відрізка.
Алгоритм. Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції на \([a;\,b]\): 1) знайти критичні точки, що лежать усередині відрізка; 2) обчислити значення функції в цих точках і на обох кінцях \(a\) та \(b\); 3) вибрати з отриманих чисел найбільше й найменше.
Досліджувати знаки похідної тут не потрібно — достатньо порівняти скінченний список чисел. Але кінці відрізка пропускати не можна ніколи: саме на них часто й припадає відповідь.
Приклад 4. Екстремум усередині відрізка
Знайти найбільше і найменше значення \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\) на відрізку \([-2;\,3]\).
Похідна: \(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)\). Критичні точки \(x = -1\) і \(x = 2\) — обидві лежать усередині відрізка.
Обчислюємо чотири значення: \(f(-2) = -16 - 12 + 24 + 1 = -3\); \(f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8\); \(f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19\); \(f(3) = 54 - 27 - 36 + 1 = -8\).
Відповідь: найбільше значення \(8\) при \(x = -1\), найменше значення \(-19\) при \(x = 2\).
Приклад 5. Максимум на кінці відрізка
Знайти найбільше і найменше значення \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) на відрізку \([0;\,3]\).
Похідна: \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\). Критичні точки \(x = 1\) і \(x = -1\), але \(x = -1\) не належить відрізку \([0;\,3]\) — її відкидаємо.
Значення: \(f(0) = 2\); \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\); \(f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\).
Найбільше значення досягається на правому кінці, де жодного екстремуму немає. Якби ми шукали лише серед критичних точок, відповідь була б грубо неправильною.
Відповідь: найбільше значення \(20\) при \(x = 3\), найменше значення \(0\) при \(x = 1\).
Приклад 6. Задача на оптимізацію
Ділянку прямокутної форми обгороджують парканом із трьох боків — четвертим боком слугує стіна будівлі. Довжина паркана \(60\) м. Якими мають бути сторони ділянки, щоб її площа була найбільшою?
Крок 1. Змінна. Нехай \(x\) — довжина сторони, перпендикулярної до стіни (таких сторін дві), у метрах. Тоді на сторону, паралельну стіні, залишається \(60 - 2x\) метрів.
Крок 2. Функція та її область. Площа \(S(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2\). Обидві сторони мають бути додатними, тому \(0 < x < 30\).
Крок 3. Похідна. \(S'(x) = 60 - 4x\). Прирівнюємо до нуля: \(60 - 4x = 0\), звідки \(x = 15\).
Крок 4. Перевірка. При \(x < 15\) маємо \(S'(x) > 0\), при \(x > 15\) — \(S'(x) < 0\): знак змінюється з «+» на «−», отже, \(x = 15\) — точка максимуму. Контроль підстановкою: \(S(14) = 448\), \(S(15) = 450\), \(S(16) = 448\).
Крок 5. Відповідь по суті задачі. Сторони: \(15\) м і \(60 - 30 = 30\) м, площа \(S = 15 \cdot 30 = 450\) м². Зауважте, що оптимальна ділянка тут не квадрат — квадрат був би відповіддю, якби огорожа йшла всіма чотирма боками. Це типова пастка: умова про стіну змінює формулу, а не інтуїцію (про поведінку таких виразів — у статті про квадратичну функцію).
Відповідь: сторони 15 м і 30 м, найбільша площа 450 м².
Типові помилки
- Оголошувати екстремумом кожен корінь рівняння \(f'(x) = 0\). Класичний контрприклад — \(y = x^3\) у нулі. Обов'язково перевіряйте зміну знака.
- Забувати кінці відрізка в задачі на найбільше й найменше значення. Приклад 5 показує, як через це втрачається правильна відповідь.
- Не перевіряти, чи критична точка належить відрізку. Корені похідної за межами \([a;\,b]\) до розгляду не беруть.
- Плутати точку екстремуму зі значенням екстремуму. Точка максимуму — це \(x\), максимум функції — це \(f(x)\). У прикладі 1 точка максимуму \(-1\), а максимум \(10\).
- Об'єднувати проміжки монотонності через розрив. У прикладі 3 функція спадає на \([-2;\,0)\) і на \((0;\,2]\), але не на всьому \([-2;\,2]\): нуль не входить в область визначення.
- Ігнорувати точки, де похідної не існує. У \(y = |x|\) похідної в нулі немає, проте це точка мінімуму. Критичні точки — це не лише нулі похідної.
- Зупинятися на знайденому \(x\) в задачі на оптимізацію. Питали розміри й площу — треба дати розміри й площу, а не голий корінь рівняння.
Висновок
Уся тема тримається на одній ідеї: знак похідної керує напрямком руху графіка, а зміна цього знака — це і є екстремум. Опанувавши перевірку зміни знака та дисципліну «завжди рахувати кінці відрізка», ви закриваєте цілий клас задач НМТ, включно з прикладними задачами на оптимізацію. Якщо алгоритм поки не складається в цілісну картину — приходьте на пробне заняття: розберемо вашу конкретну задачу від першої похідної до відповіді.
Чим точка максимуму відрізняється від найбільшого значення функції?
Точка максимуму — поняття локальне: значення функції в ній більше, ніж у сусідніх точках. Найбільше значення на відрізку — глобальне: воно більше за всі інші значення на цьому відрізку. Локальний максимум може не бути найбільшим значенням, а найбільше значення може досягатися на кінці відрізка, де взагалі немає екстремуму.
Чи завжди рівність \(f'(x_0) = 0\) означає екстремум?
Ні. Це лише необхідна умова: у точці екстремуму гладкої функції похідна дорівнює нулю, але не навпаки. Для \(y = x^3\) маємо \(y'(0) = 0\), проте функція зростає на всій прямій. Екстремум є тільки тоді, коли похідна при переході через точку змінює знак.
Що робити, якщо похідна в точці не існує?
Така точка теж вважається критичною і підлягає перевірці. Наприклад, у \(y = |x|\) похідної в нулі немає, але зліва вона дорівнює \(-1\), а справа \(1\) — знак змінюється з «−» на «+», отже, це точка мінімуму. Головна вимога — щоб функція в цій точці була неперервною.
Як знайти найбільше значення функції на відрізку?
Знайти похідну, розв'язати \(f'(x) = 0\), відібрати корені, що лежать усередині відрізка, обчислити значення функції в них та на обох кінцях відрізка і вибрати найбільше з отриманих чисел. Досліджувати знаки похідної при цьому не потрібно.
