Вписанный и центральный угол: теорема, следствия, примеры
Тема вписанного угла — одна из самых выгодных в планиметрии: правил здесь буквально три, а задач, которые они открывают, — десятки. Ученики часто заучивают формулировку наизусть, но не видят нужную конфигурацию на чертеже, поэтому задача кажется «нерешаемой». На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем именно распознавание: сначала найти на чертеже дугу, на которую опирается угол, и только потом вспоминать формулу. Ниже — тот же порядок действий.
Центральный угол и градусная мера дуги
Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на неё опирается.
То есть дуга и центральный угол — фактически одно и то же число, записанное двумя способами. Если \( \angle AOB = 76^\circ \), то дуга \( AB \) (та, что лежит внутри угла) тоже имеет меру \( 76^\circ \). Вторая, бо́льшая дуга \( AB \) равна \( 360^\circ - 76^\circ = 284^\circ \).
Отсюда первое практическое правило: в задаче про углы в окружности всегда полезно отмечать дуги, а не сами углы. Дуги легко складывать — сумма всех дуг окружности равна \( 360^\circ \). Базовые понятия окружности — радиус, хорда, дуга, сектор — разобраны в статье окружность и круг.
Вписанный угол
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность (то есть содержат хорды). Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которая лежит внутри угла и не содержит его вершины.
Последнее уточнение критично. Стороны угла отсекают две дуги; «рабочая» — та, которая не содержит вершину угла. Если взять не ту дугу, ответ будет неверным, и именно здесь ученики теряют баллы чаще всего.
Теорема о вписанном угле
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Другими словами, вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается: \( \angle ACB = \tfrac{1}{2}\,\angle AOB = \tfrac{1}{2}\,\smile\! AB \).
Читать это равенство нужно в обе стороны. Знаем дугу — делим пополам и получаем вписанный угол. Знаем вписанный угол — умножаем на два и получаем дугу (а значит, и центральный угол). Например, вписанный угол \( 25^\circ \) опирается на дугу \( 50^\circ \), и центральный угол на эту же дугу равен \( 50^\circ \).
Два следствия, которые и решают задачи
Сама теорема в чистом виде встречается редко. Работают два её следствия.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Это очевидно из теоремы: все они равны половине одной и той же дуги, поэтому и между собой равны. Практически это означает: если на чертеже есть хорда \( AB \) и несколько точек \( C, D, E \) на одной дуге, то \( \angle ACB = \angle ADB = \angle AEB \). Вершину угла можно «двигать» по дуге — величина не изменится. Именно отсюда берутся подобные треугольники в задачах на пересекающиеся хорды.
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Диаметр стягивает полуокружность, то есть дугу \( 180^\circ \), а половина от \( 180^\circ \) — это \( 90^\circ \). Это самое частое применение всей темы: как только в задаче появляется диаметр и точка на окружности, у вас бесплатно появляется прямоугольный треугольник, а с ним — теорема Пифагора и вся тригонометрия прямоугольного треугольника.
Утверждение работает и в обратную сторону: если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр. Это даёт способ находить радиус описанной окружности прямоугольного треугольника без всяких формул.
Как распознать «угол опирается на диаметр», когда об этом не сказано
В условии слово «диаметр» часто не звучит вообще. Вот надёжные сигналы, что конфигурация именно та:
- Центр окружности лежит на стороне треугольника. Если \( O \) — центр описанной окружности и \( O \in AC \), то \( AC \) проходит через центр, значит \( AC \) — диаметр, значит \( \angle ABC = 90^\circ \).
- Сторона равна \( 2R \). Условие «\( AC = 2R \)» или «\( AC \) равно диаметру» — то же самое утверждение другими словами.
- Точки \( A \) и \( C \) симметричны относительно центра (\( AO = OC \) и \( A, O, C \) на одной прямой) — снова диаметр.
- Окружность построена на отрезке как на диаметре. Формулировка «окружность с диаметром \( AB \) пересекает…» означает: любая точка \( M \) этой окружности даёт \( \angle AMB = 90^\circ \).
- Обратный ход: в треугольнике обнаружился прямой угол. Тогда гипотенуза автоматически является диаметром описанной окружности, а центр — её серединой. Прямой угол иногда нужно сначала обнаружить самому: проверьте стороны по теореме Пифагора.
- Дуга равна \( 180^\circ \) или сумма других дуг даёт \( 180^\circ \) — стягивающая хорда является диаметром.
Правило-памятка: увидел в задаче об окружности слова «диаметр», «центр на стороне», «\( 2R \)» — сразу ставь прямой угол на чертеже, ещё до того, как понял, зачем он нужен. В девяти случаях из десяти именно он и будет ключом.
Угол между хордой и касательной
Угол между касательной к окружности и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, расположенной внутри этого угла.
Это та же теорема о вписанном угле в предельном случае: представьте, что вершина вписанного угла скользит по окружности и сливается с точкой \( A \) — одна сторона угла превращается в касательную. Следствие для задач: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны. Свойства самой касательной разобраны в статье касательная к окружности.
Вписанный четырёхугольник
Сумма противоположных углов вписанного (циклического) четырёхугольника равна \( 180^\circ \). И наоборот: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \( 180^\circ \), около него можно описать окружность.
Доказательство в одну строку: углы \( A \) и \( C \) — вписанные, они опираются на две дуги \( BCD \) и \( BAD \), которые вместе составляют всю окружность, то есть \( 360^\circ \). Половина от \( 360^\circ \) — это \( 180^\circ \). О том, когда окружность вообще можно вписать или описать, читайте в статье вписанная и описанная окружность.
Два полезных частных случая: около параллелограмма окружность можно описать только тогда, когда он прямоугольник; около трапеции — только когда она равнобедренная.
Пример 1. Переход между центральным и вписанным углом
Центральный угол \( \angle AOB = 76^\circ \). Найти вписанный угол \( \angle ACB \), где \( C \) — точка бо́льшей дуги. Отдельно: вписанный угол равен \( 25^\circ \) — какова дуга, на которую он опирается?
Дуга \( AB \), на которую опирается \( \angle ACB \), равна центральному углу, то есть \( 76^\circ \). По теореме о вписанном угле \( \angle ACB = 76^\circ : 2 = 38^\circ \).
Вторая часть — обратный ход: дуга равна удвоенному вписанному углу, \( 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ \).
Ответ: \( \angle ACB = 38^\circ \); дуга равна \( 50^\circ \).
Пример 2. Угол, опирающийся на диаметр
\( AB \) — диаметр окружности, \( AB = 25 \) см, точка \( C \) лежит на окружности, \( AC = 15 \) см. Найти \( BC \) и высоту \( CH \), проведённую к \( AB \).
Угол \( \angle ACB \) опирается на диаметр, значит \( \angle ACB = 90^\circ \). Треугольник \( ACB \) прямоугольный с гипотенузой \( AB \):
\[ BC = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20. \]
Высоту находим через площадь: \( \tfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \), откуда
\[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12. \]
Проверка: \( AH = \frac{15^2}{25} = 9 \), \( BH = \frac{20^2}{25} = 16 \), и \( 9 + 16 = 25 = AB \).
Ответ: \( BC = 20 \) см, \( CH = 12 \) см.
Пример 3. Равные углы на одну дугу
Хорды \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( P \). Известно, что \( \angle BAC = 42^\circ \), \( \angle ABD = 63^\circ \). Найти \( \angle APB \) и \( \angle ACD \).
В треугольнике \( APB \) два угла уже известны (это углы \( \angle PAB = \angle CAB = 42^\circ \) и \( \angle PBA = \angle DBA = 63^\circ \)), поэтому
\[ \angle APB = 180^\circ - 42^\circ - 63^\circ = 75^\circ. \]
Дальше — следствие 1. Углы \( \angle ACD \) и \( \angle ABD \) вписанные и опираются на одну дугу \( AD \), причём точки \( B \) и \( C \) лежат по одну сторону от хорды \( AD \). Значит, \( \angle ACD = \angle ABD = 63^\circ \).
Ответ: \( \angle APB = 75^\circ \), \( \angle ACD = 63^\circ \).
Пример 4. Угол между хордой и касательной
К окружности в точке \( A \) проведена касательная, угол между касательной и хордой \( AB \) равен \( 58^\circ \). Найти дугу \( AB \), центральный угол \( \angle AOB \) и углы треугольника \( AOB \).
Дуга внутри угла между касательной и хордой равна удвоенному углу: \( 2 \cdot 58^\circ = 116^\circ \). Центральный угол на эту дугу такой же: \( \angle AOB = 116^\circ \).
Треугольник \( AOB \) равнобедренный, так как \( OA = OB = R \). Углы при основании:
\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 116^\circ}{2} = 32^\circ. \]
Контроль: \( \angle OAB + 58^\circ = 32^\circ + 58^\circ = 90^\circ \) — и это верно, потому что радиус \( OA \) перпендикулярен касательной в точке касания.
Ответ: дуга \( AB = 116^\circ \), \( \angle AOB = 116^\circ \), углы при основании по \( 32^\circ \).
Пример 5. Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность, \( \angle A = 3x - 10^\circ \), \( \angle C = x + 30^\circ \). Найти \( x \) и все известные углы. Дополнительно: \( \angle B = 95^\circ \) — найти \( \angle D \).
Углы \( A \) и \( C \) противоположные, поэтому их сумма равна \( 180^\circ \):
\[ (3x - 10) + (x + 30) = 180 \;\Rightarrow\; 4x + 20 = 180 \;\Rightarrow\; x = 40. \]
Подставляем обратно: \( \angle A = 3 \cdot 40 - 10 = 110^\circ \), \( \angle C = 40 + 30 = 70^\circ \). Проверка: \( 110^\circ + 70^\circ = 180^\circ \) — равенство выполняется.
Углы \( B \) и \( D \) тоже противоположные: \( \angle D = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \). Контроль суммы всех углов четырёхугольника: \( 110 + 95 + 70 + 85 = 360 \).
Ответ: \( x = 40 \), \( \angle A = 110^\circ \), \( \angle C = 70^\circ \), \( \angle D = 85^\circ \).
Пример 6. Диаметр, о котором не сказано ни слова
Стороны треугольника равны \( 15 \), \( 20 \) и \( 25 \) см. Найти радиус описанной окружности.
Слова «диаметр» в условии нет, поэтому ищем прямой угол. Проверяем наибольшую сторону:
\[ 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2. \]
Равенство выполняется, значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный, и прямой угол лежит против стороны \( 25 \). Прямой вписанный угол опирается только на диаметр, поэтому сторона \( 25 \) см — это диаметр описанной окружности. Отсюда
\[ R = \frac{25}{2} = 12{,}5 \text{ см}. \]
Тот же результат даёт теорема синусов: \( R = \dfrac{c}{2\sin C} = \dfrac{25}{2 \cdot \sin 90^\circ} = 12{,}5 \).
Ответ: \( R = 12{,}5 \) см.
Типичные ошибки
- Берут не ту дугу. Вписанный угол опирается на дугу, не содержащую его вершину. Если взять вторую дугу, вместо \( 38^\circ \) получится \( 142^\circ \).
- Умножают вместо того, чтобы делить. Вписанный угол — половина дуги. Ошибка с удвоением даёт ровно вчетверо больший ответ, чем правильный.
- Считают равными любые вписанные углы. Равны только те, что опираются на одну и ту же дугу. Углы на две разные дуги, дополняющие друг друга, в сумме дают \( 180^\circ \), а не равны между собой.
- Не замечают диаметр. Формулировка «центр окружности лежит на стороне \( AC \)» — это скрытое условие \( \angle B = 90^\circ \). Пропустив его, ученик начинает решать через теорему косинусов там, где хватило бы Пифагора.
- Путают вписанный угол с углом между хордами. Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме двух противоположных дуг, а не половине одной.
- Применяют «сумма \( 180^\circ \)» к соседним углам четырёхугольника. Правило работает только для противоположных углов: \( A \) и \( C \), \( B \) и \( D \).
- Забывают, что описать окружность можно не всегда. Прежде чем пользоваться свойством вписанного четырёхугольника, нужно убедиться, что все четыре вершины действительно лежат на одной окружности.
Вывод
Вся тема держится на одном предложении: вписанный угол — половина дуги, на которую он опирается. Остальное — следствия, которые стоит довести до автоматизма: равные углы на одну дугу, прямой угол на диаметр, сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника \( 180^\circ \). Главный навык — не пересказ теоремы, а умение увидеть нужную конфигурацию на чертеже, особенно скрытое условие о диаметре.
Если задачи на окружность до сих пор выглядят как набор случайных чертежей, это вопрос практики под присмотром. Запишитесь на пробное занятие — разберём вашу конкретную задачу и построим порядок действий, работающий на любом чертеже.
Чем вписанный угол отличается от центрального?
Вершиной. У центрального угла вершина в центре окружности, у вписанного — на самой окружности. Центральный угол равен дуге, на которую опирается, а вписанный — половине этой дуги. Если оба угла опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше центрального.
Почему угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой?
Диаметр делит окружность пополам, поэтому стягивает дугу \( 180^\circ \). Вписанный угол равен половине своей дуги, то есть \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \). Это не зависит от того, где именно на окружности стоит вершина угла, — результат всегда \( 90^\circ \).
Как понять, что в задаче речь о диаметре, если слова «диаметр» нет?
Ищите один из сигналов: центр окружности лежит на стороне треугольника; сторона равна \( 2R \); окружность построена на отрезке как на диаметре; дуга равна \( 180^\circ \). Работает и обратный ход: если треугольник оказался прямоугольным (проверьте стороны теоремой Пифагора), то его гипотенуза — диаметр описанной окружности.
Около любого четырёхугольника можно описать окружность?
Нет. Только тогда, когда сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \). Например, около прямоугольника и квадрата окружность описать можно, а около произвольного параллелограмма или ромба — нет. Из трапеций подходят только равнобедренные.
