Формулы сложения и двойного угла
Таблица значений синуса и косинуса охватывает лишь несколько «удобных» углов: \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\). Но в задачах постоянно встречаются \(15^\circ\), \(75^\circ\), \(22{,}5^\circ\) — и именно формулы сложения позволяют получить их точные значения, разложив угол на сумму или разность табличных. Из этих же формул вырастают формулы двойного угла, понижения степени и преобразования суммы в произведение — весь рабочий инструментарий тригонометрии 10 класса.
На занятиях в Tutor-Math мы не заставляем зубрить этот блок формул списком. Ученик должен видеть, что все они — следствия двух базовых равенств, и уметь вывести остальное за полминуты на черновике. Тогда формула не «вылетает из головы» на контрольной.
Формулы сложения: синус и косинус суммы и разности
Для любых углов \(\alpha\) и \(\beta\):
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] \[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\] \[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\] \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]
Две вещи, которые надо запомнить накрепко. Во-первых, в синусе функции перемешиваются (синус-косинус, косинус-синус), а в косинусе — нет (косинус-косинус, синус-синус). Во-вторых, знак в косинусе противоположен знаку в скобках: в \(\cos(\alpha+\beta)\) стоит минус, в \(\cos(\alpha-\beta)\) — плюс. В синусе знак совпадает со знаком в скобках.
Эти равенства выполняются тождественно, то есть при любых значениях углов. Если забыли знак — подставьте \(\alpha=\beta=0\) или \(\alpha=\beta=45^\circ\) и проверьте: \(\cos(45^\circ+45^\circ)=\cos 90^\circ=0\), а \(\cos 45^\circ\cos 45^\circ-\sin 45^\circ\sin 45^\circ=0{,}5-0{,}5=0\). Совпало — знак верный.
Для тангенса формулы следуют из деления:
\[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta},\qquad \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\]Здесь знаки, наоборот, «перевёрнуты» относительно числителя — в знаменателе суммы стоит минус.
Формулы двойного угла
Положим \(\beta=\alpha\) в формулах сложения — и получим двойной угол без единого нового доказательства:
\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\] \[\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\] \[\operatorname{tg}2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\]
Формула косинуса двойного угла имеет ещё две формы. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), заменяем в ней то \(\sin^2\alpha\), то \(\cos^2\alpha\):
\[\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\]Когда какая форма удобнее. Это не педантизм, это экономия времени:
- \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) — когда известны обе функции или нужно разложить выражение на множители: \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)\).
- \(2\cos^2\alpha-1\) — когда в задаче фигурирует только косинус и когда из выражения надо «вытащить» \(\cos^2\alpha\).
- \(1-2\sin^2\alpha\) — когда работаем только с синусом. Именно эта форма даёт удобные свёртки вида \(1-2\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ\).
Проверка на числах: \(2\cos^2 15^\circ-1=2\cdot 0{,}9659258^2-1=0{,}8660254=\cos 30^\circ\). Сходится.
Главная ловушка: \(\sin 2\alpha \ne 2\sin\alpha\)
Это самая распространённая ошибка всей темы. Соблазн «вынести двойку» огромен, потому что запись \(\sin 2\alpha\) визуально похожа на произведение. Но синус — это функция, а не множитель: \(2\alpha\) стоит внутри функции, и вынести его оттуда нельзя, как нельзя из \(\sqrt{4x}\) сделать \(4\sqrt{x}\).
Числовой контрпример. Возьмём \(\alpha=30^\circ\):
\[\sin 2\alpha=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866\] \[2\sin\alpha=2\sin 30^\circ=2\cdot\frac{1}{2}=1\]Числа разные: \(0{,}866\ne 1\). Ещё резче при \(\alpha=45^\circ\): \(\sin 90^\circ=1\), а \(2\sin 45^\circ=\sqrt{2}\approx 1{,}414\). Значение вообще вышло за пределы области значений синуса — верный признак того, что формула применена неправильно, ведь \(|\sin x|\le 1\) всегда.
Правильно только так: \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\). Косинус — не декорация, без него равенство ложно.
То же касается остального: \(\cos 2\alpha\ne 2\cos\alpha\), \(\sin\frac{\alpha}{2}\ne\frac{\sin\alpha}{2}\), \(\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta\). Общее правило: ни одна тригонометрическая функция не является линейной.
Формулы понижения степени и половинного угла
Решим равенства \(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) и \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) относительно квадратов:
\[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\]
Это формулы понижения степени: вторая степень исчезает, зато угол удваивается. Они незаменимы при интегрировании и при упрощении выражений с квадратами.
Если в них заменить \(\alpha\) на \(\frac{\alpha}{2}\), получим формулы половинного угла:
\[\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\qquad \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\]Знак перед корнем определяет четверть, в которой лежит угол \(\frac{\alpha}{2}\), а не угол \(\alpha\). Это место, где теряется больше всего баллов: ученик находит четверть исходного угла и ставит знак наугад.
Преобразование суммы в произведение и наоборот
\[\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\] \[\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\] \[\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\] \[\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\]
Обратите внимание на минус в последней формуле — его забывают почти всегда. Проверка: \(\cos 75^\circ-\cos 15^\circ=-0{,}7071\), а \(-2\sin 45^\circ\sin 30^\circ=-2\cdot 0{,}7071\cdot 0{,}5=-0{,}7071\). Без минуса получился бы неверный знак.
Обратные формулы (произведение в сумму) получают сложением формул сложения:
\[2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta),\qquad 2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\]Преобразование суммы в произведение — главный инструмент при решении тригонометрических уравнений: уравнение вида «сумма \(=0\)» после свёртывания в произведение распадается на два простых.
Примеры с решением
Пример 1. Вычислить \(\sin 75^\circ\).
Раскладываем \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) — оба слагаемых табличные:
\[\sin 75^\circ=\sin 45^\circ\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\]Числовая проверка: \(\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0{,}6124\), \(\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}3536\), сумма \(\approx 0{,}9659\) — ровно столько, сколько даёт калькулятор для \(\sin 75^\circ\).
Ответ: \(\sin 75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}9659\).
Пример 2. Вычислить \(\cos 15^\circ\) и \(\operatorname{tg}75^\circ\).
Берём \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\):
\[\cos 15^\circ=\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]Результат совпал с \(\sin 75^\circ\) — и это не случайность: \(\cos 15^\circ=\sin(90^\circ-15^\circ)=\sin 75^\circ\) по формулам приведения.
Теперь тангенс, через \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\):
\[\operatorname{tg}75^\circ=\frac{\operatorname{tg}45^\circ+\operatorname{tg}30^\circ}{1-\operatorname{tg}45^\circ\operatorname{tg}30^\circ}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\]Проверка: \(2+\sqrt{3}\approx 3{,}7321\), и \(\operatorname{tg}75^\circ\approx 3{,}7321\).
Ответ: \(\cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(\operatorname{tg}75^\circ=2+\sqrt{3}\).
Пример 3. Известно, что \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\), угол \(\alpha\) — в первой четверти. Найти \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\), \(\operatorname{tg}2\alpha\).
В первой четверти косинус положителен: \(\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}\).
\[\sin 2\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}\]Косинус двойного угла посчитаем всеми тремя формами — результат должен совпасть:
\[\cos 2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25};\quad 2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25};\quad 1-2\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25}\]Контроль: \(\left(\frac{24}{25}\right)^2+\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{576+49}{625}=1\) — основное тождество выполнено, значит ошибки нет.
\[\operatorname{tg}2\alpha=\frac{24/25}{7/25}=\frac{24}{7}\]Ответ: \(\sin 2\alpha=\dfrac{24}{25}\), \(\cos 2\alpha=\dfrac{7}{25}\), \(\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{24}{7}\).
Пример 4. Упростить выражение \(\dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}\).
Здесь как раз и работает выбор формы. В числителе раскрываем двойной угол, а в знаменателе берём ту форму косинуса, которая даёт \(\cos^2\alpha\):
\[\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1+(2\cos^2\alpha-1)}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\]Если бы мы взяли форму \(1-2\sin^2\alpha\), единица не сократилась бы — выражение только усложнилось. Числовая проверка при \(\alpha=1\) рад: левая часть \(\approx 1{,}5574\), \(\operatorname{tg}1\approx 1{,}5574\).
Ответ: \(\operatorname{tg}\alpha\).
Пример 5. Вычислить \(\cos 22{,}5^\circ\).
Угол \(22{,}5^\circ\) — половина табличного \(45^\circ\). По формуле половинного угла:
\[\cos 22{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\]Знак плюс — потому что \(22{,}5^\circ\) лежит в первой четверти, где косинус положителен. Проверка: \(\sqrt{2+1{,}4142}=\sqrt{3{,}4142}\approx 1{,}8478\), разделить на \(2\) — \(0{,}9239\). Калькулятор для \(\cos 22{,}5^\circ\) даёт то же самое.
Ответ: \(\cos 22{,}5^\circ=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0{,}9239\).
Пример 6. Вычислить \(\sin 75^\circ+\sin 15^\circ\), не находя слагаемых по отдельности.
\[\sin 75^\circ+\sin 15^\circ=2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2}=2\sin 45^\circ\cos 30^\circ\] \[=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\]Проверка: \(\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}2247\); прямое сложение \(0{,}9659+0{,}2588=1{,}2247\). Совпадает.
Ответ: \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}2247\).
Типичные ошибки
- «Вынесение» множителя из-под функции: \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\) или \(\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\cos\alpha}{2}\). Контрпример при \(\alpha=30^\circ\) развенчивает это за десять секунд.
- Путаница знаков в формулах сложения. Чаще всего пишут \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\). В косинусе знак всегда противоположен знаку в скобках.
- Забытый минус в формуле \(\cos x-\cos y\). Это единственная из четырёх формул суммы-произведения, которая начинается с минуса.
- Неверная четверть в половинном угле. Знак корня определяется четвертью угла \(\frac{\alpha}{2}\), а не \(\alpha\). Если \(\alpha=300^\circ\) (четвёртая четверть), то \(\frac{\alpha}{2}=150^\circ\) — вторая четверть, там косинус отрицателен.
- Выбор неудобной формы \(\cos 2\alpha\). Формально не ошибка, но решение раздувается вдвое. Смотрите, что стоит рядом: единица в сумме — берите \(2\cos^2\alpha-1\), единица в разности — \(1-2\sin^2\alpha\).
- Потеря области определения в тангенсе. Формула \(\operatorname{tg}2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\) не работает, когда \(\operatorname{tg}\alpha=\pm 1\), то есть при \(\alpha=45^\circ\): знаменатель обращается в нуль.
- Отсутствие самопроверки. Нашли \(\sin 2\alpha\) и \(\cos 2\alpha\) — подставьте в \(\sin^2+\cos^2=1\). Это стоит пяти секунд и ловит почти любую арифметическую погрешность.
Вывод
Формулы сложения — фундамент; двойной угол, половинный угол, понижение степени и преобразование суммы в произведение являются их прямыми следствиями. Достаточно уверенно помнить четыре базовых равенства для синуса и косинуса — остальное выводится за несколько строк. А самое важное правило темы умещается в одну строку: \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), и никакого «сокращения» здесь не существует.
Если формулы выучены, но в задачах всё равно выходит путаница со знаками и выбором формы — приходите на пробное занятие. Разберём ваш конкретный пробел и подберём систему упражнений, которая закроет его за несколько недель.
Почему \(\sin 2\alpha\) не равно \(2\sin\alpha\)?
Потому что синус — функция, а не множитель, и \(2\alpha\) стоит под знаком функции. Проверьте на \(\alpha=45^\circ\): \(\sin 90^\circ=1\), а \(2\sin 45^\circ\approx 1{,}414\). Второе число больше единицы, чего для синуса вообще не бывает. Правильная формула — \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\).
Какую из трёх форм \(\cos 2\alpha\) выбирать?
Смотрите на исходное выражение. Если в нём уже есть \(\sin^2\alpha\) — берите \(1-2\sin^2\alpha\). Если \(\cos^2\alpha\) — берите \(2\cos^2\alpha-1\). Если нужно разложение на множители — форма \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) даёт разность квадратов. Все три равносильны, разница лишь в объёме работы.
Нужно ли учить формулы суммы-произведения наизусть?
Да, эти четыре формулы используются слишком часто, чтобы выводить их каждый раз. Мнемоника: в результате всегда полусумма и полуразность углов; синус с синусом и косинус с косинусом дают одинаковые функции в произведении, а разность косинусов — единственная, что начинается с минуса.
Как вычислить значение для нетабличного угла?
Попробуйте представить его как сумму, разность, удвоение или половину табличного. \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\), \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\), \(22{,}5^\circ=45^\circ:2\), \(105^\circ=60^\circ+45^\circ\). Если ни одно представление не работает (например, для \(10^\circ\)), точного значения в радикалах, как правило, не существует — нужен калькулятор.
