Основное тригонометрическое тождество и следствия
В 10 классе тригонометрия перестаёт быть «таблицей значений для треугольника» и становится алгеброй. Ключ к этой алгебре — одно короткое равенство, из которого выводится почти всё остальное: основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла, позволяет найти все функции по одной известной и делает возможным упрощение громоздких выражений. На занятиях в Tutor-Math мы отдельно отрабатываем не саму формулу — её выучивают за минуту — а выбор знака при извлечении корня. Именно там теряют баллы 9 из 10 учеников.
Формулировка тождества
Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла \(\alpha\) выполняется равенство\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
Запись \(\sin^2\alpha\) означает \((\sin\alpha)^2\), а не синус от квадрата. Это соглашение о сокращении, и путать его нельзя: \(\sin^2\alpha \ne \sin(\alpha^2)\).
Слово «тождество» здесь принципиально. Это не уравнение, которое выполняется для каких-то отдельных углов, — оно верно для каждого \(\alpha\): для \(30^\circ\), для \(-17{,}4^\circ\), для \(1000^\circ\). Поэтому подставлять его можно где угодно и без оговорок.
Доказательство через единичную окружность
Возьмём окружность радиуса \(1\) с центром в начале координат — единичную окружность. Повернём точку \(P(1;0)\) вокруг центра на угол \(\alpha\). Она перейдёт в точку \(P_\alpha\), и по определению тригонометрических функций её координаты — это как раз косинус и синус:
\[ P_\alpha(\cos\alpha;\ \sin\alpha) \]Точка \(P_\alpha\) лежит на окружности радиуса \(1\), а уравнение такой окружности — \(x^2 + y^2 = 1\). Подставляем координаты:
\[ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \]Доказательство закончено. По сути это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой \(1\): катеты равны \(|\cos\alpha|\) и \(|\sin\alpha|\). Поэтому тождество иногда называют «тригонометрической теоремой Пифагора».
Из этого же чертежа сразу следует вывод о границах значений: ни одна координата точки единичной окружности не выходит за промежуток от \(-1\) до \(1\), значит
\[ -1 \le \sin\alpha \le 1, \qquad -1 \le \cos\alpha \le 1 \]Поэтому условие «\(\sin\alpha = 1{,}2\)» — это не сложная задача, а задача без решений.
Следствие 1: выражение одной функции через другую
Из тождества легко выразить квадрат каждой функции:
\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \]А вот дальше начинается главная ловушка темы. Извлекая квадратный корень, получаем два варианта:
\[ \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} \]Правило выбора знака. Знак перед корнем определяет четверть, в которой лежит угол, а не формула. Формула даёт только модуль.
Запомнить знаки проще через координаты: синус — это ордината (ось \(Oy\)), косинус — абсцисса (ось \(Ox\)).
- I четверть (\(0 < \alpha < 90^\circ\)): \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha > 0\).
- II четверть (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)): \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha < 0\).
- III четверть (\(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)): \(\sin\alpha < 0\), \(\cos\alpha < 0\).
- IV четверть (\(270^\circ < \alpha < 360^\circ\)): \(\sin\alpha < 0\), \(\cos\alpha > 0\).
Тангенс и котангенс положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях, и отрицательны во II и IV.
Следствие 2: тождества с тангенсом и котангенсом
Напомним определения: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) при \(\sin\alpha \ne 0\). Разделим основное тождество почленно на \(\cos^2\alpha\):
\[ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} \]\[ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad \cos\alpha \ne 0 \]
Аналогично, разделив на \(\sin^2\alpha\), получаем котангенсный вариант:
\[ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha \ne 0 \]
И ещё одно равенство, которое следует прямо из определений — тангенс и котангенс являются взаимно обратными числами:
\[ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1 \]Оно работает лишь тогда, когда обе функции существуют, то есть \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\) одновременно. Для угла \(90^\circ\) тангенса нет, и равенство теряет смысл.
Пример 1. Найти все функции по синусу и четверти
Условие. Известно, что \(\sin\alpha = \dfrac{8}{17}\), причём \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Найти \(\cos\alpha\), \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{ctg}\alpha\).
Шаг 1. Из основного тождества находим квадрат косинуса:
\[ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \]Шаг 2. Извлекаем корень — и именно здесь определяем знак. Угол лежит во II четверти, а там косинус отрицателен:
\[ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} \]Шаг 3. Тангенс и котангенс по определению:
\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{8/17}{-15/17} = -\frac{8}{15}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{15}{8} \]Проверка. \(\left(\frac{8}{17}\right)^2 + \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = \frac{64 + 225}{289} = 1\). Знаки согласованы: во II четверти тангенс и котангенс должны быть отрицательными — так и получилось.
Ответ: \(\cos\alpha = -\dfrac{15}{17}\), \(\operatorname{tg}\alpha = -\dfrac{8}{15}\), \(\operatorname{ctg}\alpha = -\dfrac{15}{8}\).
Пример 2. Найти синус и косинус по тангенсу
Условие. \(\operatorname{tg}\alpha = -\dfrac{5}{12}\), угол \(\alpha\) лежит в IV четверти. Найти \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\).
Шаг 1. Используем тождество с тангенсом:
\[ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144} \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\alpha = \frac{144}{169} \]Шаг 2. В IV четверти косинус положителен, поэтому
\[ \cos\alpha = \frac{12}{13} \]Шаг 3. Синус находим из определения тангенса: \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).
\[ \sin\alpha = -\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13} \]Проверка. \(\frac{25}{169} + \frac{144}{169} = 1\), и \(\frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}\) — тангенс совпадает с условием. В IV четверти синус действительно отрицателен.
Ответ: \(\sin\alpha = -\dfrac{5}{13}\), \(\cos\alpha = \dfrac{12}{13}\).
Пример 3. Упрощение выражения с разностью четвёртых степеней
Условие. Упростить \(\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha\).
Первые два слагаемых — разность квадратов для \(\sin^2\alpha\) и \(\cos^2\alpha\):
\[ \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) \]Вторая скобка равна \(1\), поэтому всё выражение превращается в
\[ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \]Проверка при \(\alpha = 30^\circ\): \(\left(\frac12\right)^4 - \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^4 + \frac34 = \frac{1}{16} - \frac{9}{16} + \frac{12}{16} = \frac{4}{16} = \frac14 = \sin^2 30^\circ\).
Ответ: \(\sin^2\alpha\).
Пример 4. Упрощение с котангенсом
Условие. Упростить \(\sin^2\alpha + \sin^2\alpha \cdot \operatorname{ctg}^2\alpha\), где \(\sin\alpha \ne 0\).
Выносим общий множитель за скобки и применяем котангенсное тождество:
\[ \sin^2\alpha\,(1 + \operatorname{ctg}^2\alpha) = \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 \]Проверка при \(\alpha = 60^\circ\): \(\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1}{\sqrt3}\), поэтому выражение равно \(\frac34 + \frac34\cdot\frac13 = \frac34 + \frac14 = 1\).
Ответ: \(1\).
Пример 5. Вычисление дроби по известному тангенсу
Условие. Известно, что \(\operatorname{tg}\alpha = 2\). Вычислить \(\dfrac{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha + 4\cos\alpha}\).
Поскольку \(\operatorname{tg}\alpha\) существует, то \(\cos\alpha \ne 0\). Разделим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\) — дробь от этого не изменится:
\[ \frac{3\operatorname{tg}\alpha - 2}{\operatorname{tg}\alpha + 4} = \frac{3\cdot 2 - 2}{2 + 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]Проверка. При \(\operatorname{tg}\alpha = 2\) можно взять \(\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt5}\), \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt5}\). Тогда числитель равен \(\frac{6-2}{\sqrt5} = \frac{4}{\sqrt5}\), знаменатель \(\frac{2+4}{\sqrt5} = \frac{6}{\sqrt5}\), а их отношение \(\frac46 = \frac23\).
Ответ: \(\dfrac{2}{3}\).
Пример 6. Произведение синуса и косинуса по их сумме
Условие. Известно, что \(\sin\alpha + \cos\alpha = 1{,}4\). Найти \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\).
Возводим обе части в квадрат:
\[ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha \]Значит, \(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1{,}96\), откуда
\[ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1{,}96 - 1}{2} = \frac{0{,}96}{2} = 0{,}48 \]Проверка. Если сумма равна \(1{,}4\), а произведение \(0{,}48\), то \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) — корни уравнения \(t^2 - 1{,}4t + 0{,}48 = 0\). Дискриминант \(1{,}96 - 1{,}92 = 0{,}04\), корни \(t_1 = 0{,}8\) и \(t_2 = 0{,}6\). Действительно, \(0{,}8^2 + 0{,}6^2 = 1\) — условие непротиворечиво.
Ответ: \(0{,}48\).
Типичные ошибки
- Знак ставят «по формуле», а не по четверти. Самая распространённая ошибка темы: ученик пишет \(\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}\) с плюсом автоматически. Корень всегда неотрицателен, поэтому знак нужно поставить вручную, посмотрев на четверть.
- Игнорируют условие о четверти. Если в задаче написано «\(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)», это не декорация — это единственный источник информации о знаках. Без него ответов было бы два.
- Путают \(\sin^2\alpha\) и \(\sin\alpha^2\). Первое — квадрат синуса, второе — синус квадрата угла. Это разные числа.
- Пишут \(\sin\alpha + \cos\alpha = 1\). В квадрате — да, без квадратов — нет. Проверьте на \(\alpha = 30^\circ\): \(0{,}5 + 0{,}866 \approx 1{,}366\).
- Забывают об области определения. Тождество \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\) не действует при \(\cos\alpha = 0\), а \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\) — при \(\alpha = 90^\circ k\). В тригонометрических уравнениях это источник посторонних корней.
- Принимают невозможные условия. Если в задаче \(\cos\alpha = -1{,}5\) или \(\sin\alpha + \cos\alpha = 2\), решений нет: первое противоречит границам, второе — оценке \(|\sin\alpha+\cos\alpha| \le \sqrt2\).
Вывод
Основное тригонометрическое тождество — это три символа, из которых вырастает весь аппарат преобразований: выражение функций одна через другую, формулы с тангенсом и котангенсом, упрощение выражений, подготовка уравнений к решению. Техническая часть проста, и за час практики она доводится до автоматизма. Сложное здесь только одно — дисциплина со знаками: сначала четверть, потом корень, никогда наоборот.
Если ребёнок знает формулу, но стабильно теряет баллы на знаках или «зависает» на упрощениях, пробел узкий и закрывается за несколько занятий. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: преподаватель проверит базу по единичной окружности и отработает именно тот шаг, где ломается решение.
Частые вопросы
Почему в основном тождестве стоит именно единица?
Потому что синус и косинус — это координаты точки на окружности радиуса \(1\). Уравнение единичной окружности имеет вид \(x^2+y^2=1\), и после подстановки \(x=\cos\alpha\), \(y=\sin\alpha\) справа остаётся единица. Если бы радиус окружности равнялся \(R\), справа стояло бы \(R^2\).
Как понять, какой знак ставить перед корнем?
Знак не зависит от формулы — его определяет четверть, в которой лежит угол. Синус положителен в I и II четвертях, косинус — в I и IV. Поэтому сначала посмотрите на условие о границах угла, определите четверть, и только потом ставьте плюс или минус перед арифметическим корнем.
Можно ли найти все функции, если четверть не указана?
Нет, однозначно — нельзя. По известному \(\sin\alpha\) без указания четверти косинус имеет два возможных значения, противоположных по знаку, а вместе с ним двоятся тангенс и котангенс. В таком случае в ответе записывают оба варианта.
Откуда берётся формула \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\)?
Это основное тождество, поделённое почленно на \(\cos^2\alpha\). Первое слагаемое даёт \(\operatorname{tg}^2\alpha\), второе — единицу, а правая часть становится \(\frac{1}{\cos^2\alpha}\). Формула справедлива для всех углов, где \(\cos\alpha \ne 0\).
