Формулы приведения

Формулы приведения: как не учить наизусть

В учебнике за 10 класс формулы приведения занимают целую таблицу на 32 строки, и первое желание школьника — выучить её механически. Это худший из возможных путей: таблица забывается за две недели, а на контрольной ученик путает знак и теряет задание целиком. На самом деле все 32 строки выводятся из одного правила в два предложения. На занятиях в Tutor-Math мы вообще не даём эту таблицу учить — мы даём алгоритм, который воспроизводит любую её строку за пять секунд. Разберём этот алгоритм пошагово.

Что такое формулы приведения

Формулы приведения — это тождества, которые превращают тригонометрическую функцию «большого» угла в функцию острого угла. Большой угол всегда записывают в виде «прямой угол, умноженный на целое число, плюс-минус острый угол».

Определение. Формулы приведения выражают \(\sin\), \(\cos\), \(\operatorname{tg}\), \(\operatorname{ctg}\) от углов вида

\[90^{\circ}\cdot k \pm \alpha,\qquad k\in\mathbb{Z},\quad 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ},\]

через функции одного лишь острого угла \(\alpha\).

То есть \(\sin 150^{\circ}\), \(\cos 240^{\circ}\), \(\operatorname{tg}(180^{\circ}+\alpha)\) — всё это должно свестись к чему-то от \(30^{\circ}\), \(60^{\circ}\) или \(\alpha\). Зачем это нужно: таблица значений существует только для острых углов, поэтому любое вычисление и любое упрощение выражения рано или поздно упирается в приведение. Без него не решается ни одно серьёзное тригонометрическое уравнение.

Главное правило, заменяющее таблицу

Вот оно. Прочитайте дважды — дальше вся статья будет его применением.

Правило приведения.

1. Функция: если угол откладывается от вертикали (\(90^{\circ}\) или \(270^{\circ}\)), функция меняется на кофункцию: \(\sin\leftrightarrow\cos\), \(\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}\). Если угол откладывается от горизонтали (\(180^{\circ}\) или \(360^{\circ}\)), функция не меняется.

2. Знак: берём знак исходной функции в той четверти, куда попадает исходный угол — при этом \(\alpha\) считаем острым.

Два пункта полностью независимы друг от друга. Первый решает, какую функцию писать. Второй решает, с каким знаком. Не смешивайте их — именно слияние этих двух вопросов в один и порождает все ошибки.

Почему это работает, а не магия

Правило не возникло из ниоткуда. Возьмите единичную окружность: точка с углом \(\alpha\) имеет координаты \((\cos\alpha;\ \sin\alpha)\), то есть косинус — это горизонтальная координата, синус — вертикальная. Подробнее об этом — в статье о тригонометрических функциях.

Теперь посмотрите, что делает поворот на \(90^{\circ}\). Он переводит горизонтальную ось в вертикальную, а вертикальную — в горизонтальную. Оси меняются ролями, значит, координаты меняются ролями, значит, синус и косинус меняются ролями. Вот и вся замена на кофункцию: она физически отражает обмен осей.

А поворот на \(180^{\circ}\) оставляет горизонталь горизонталью, а вертикаль вертикалью — меняется лишь направление. Роли не поменялись, поэтому функция та же, а вот знак может стать противоположным. Отсюда и вторая часть правила.

Знаки по четвертям тоже не нужно зубрить, они видны из координат: во II четверти \(x<0\), \(y>0\) — значит, косинус минус, синус плюс. В III обе координаты отрицательны — синус и косинус минус, а тангенс (их отношение) плюс. В IV \(x>0\), \(y<0\) — косинус плюс, синус минус.

Мнемоника «конь» — и что за ней стоит

Классическая подсказка звучит так: представьте, что вы стоите на окружности в точке откладывания угла, и спросите себя «менять ли функцию?». Для \(90^{\circ}\) и \(270^{\circ}\) вы смотрите вдоль вертикальной оси и киваете головой вверх-вниз — это «да, менять». Для \(180^{\circ}\) и \(360^{\circ}\) ось горизонтальная, голова качается влево-вправо — «нет, не менять». Во многих школах ту же идею подают как «функция ходит конём»: шахматный конь движется буквой Г, то есть с поворотом на прямой угол, — и именно прямой угол перебрасывает функцию на кофункцию.

Мнемоника удобна, но она лишь кодирует геометрию из предыдущего раздела: вертикальная ось = обмен координат = обмен функций. Если вы понимаете эту связь, подсказка нужна вам один раз; если не понимаете — она будет работать, пока вы не забудете, в какую сторону кивать. Поэтому учите логику, а «конь» пусть будет предохранителем.

Алгоритм в четыре шага

• Шаг 1. Убрать полные обороты. Для \(\sin\) и \(\cos\) период — \(360^{\circ}\) (\(2\pi\)), для \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) — \(180^{\circ}\) (\(\pi\)). Прибавляем или вычитаем столько периодов, чтобы угол попал в промежуток от \(0^{\circ}\) до \(360^{\circ}\).
• Шаг 2. Записать угол как \(90^{\circ}\cdot k\pm\alpha\) с острым \(\alpha\). Например, \(210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}\), а \(310^{\circ}=270^{\circ}+40^{\circ}\).
• Шаг 3. Решить судьбу функции: \(90^{\circ}\), \(270^{\circ}\) — меняем на кофункцию; \(180^{\circ}\), \(360^{\circ}\) — оставляем.
• Шаг 4. Поставить знак: определяем четверть исходного угла и берём знак исходной функции в этой четверти.

Ещё одна полезная деталь к шагу 1: отрицательные углы сначала удобно перевести в положительные по формулам чётности — \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), а \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), \(\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha\). Или просто прибавить нужное количество полных оборотов — результат будет тот же.

Пример 1. Один угол — два разложения

Вычислить \(\sin 150^{\circ}\).

Способ А (от горизонтали). \(150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}\). Ось горизонтальная — функция не меняется, остаётся синус. Угол \(150^{\circ}\) лежит во II четверти, где синус положителен. Значит, \(\sin 150^{\circ}=+\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\).

Способ Б (от вертикали). \(150^{\circ}=90^{\circ}+60^{\circ}\). Ось вертикальная — синус меняется на косинус. Четверть та же, II, синус там положителен. Значит, \(\sin 150^{\circ}=+\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\).

Ответы совпали — и это не случайность, а проверка того, что правило согласовано. Раскладывать можно любым удобным способом.

Ответ: \(\dfrac{1}{2}\).

Пример 2. Приведение через \(270^{\circ}\)

Вычислить \(\cos 240^{\circ}\).

Шаг 1: угол уже в пределах оборота. Шаг 2: \(240^{\circ}=270^{\circ}-30^{\circ}\). Шаг 3: \(270^{\circ}\) — вертикаль, поэтому косинус становится синусом. Шаг 4: \(240^{\circ}\) — это III четверть (от \(180^{\circ}\) до \(270^{\circ}\)), косинус там отрицателен, ставим минус.

\[\cos 240^{\circ}=-\sin 30^{\circ}=-\dfrac{1}{2}.\]

Обратите внимание на шаг 4: знак мы взяли для косинуса, хотя в результате пишем синус. Знак всегда определяет исходная функция, а не та, что получилась после замены.

Ответ: \(-\dfrac{1}{2}\).

Пример 3. Тангенс в IV четверти

Вычислить \(\operatorname{tg}315^{\circ}\).

\(315^{\circ}=360^{\circ}-45^{\circ}\) — горизонталь, тангенс остаётся тангенсом. Угол \(315^{\circ}\) в IV четверти: там \(\sin<0\), \(\cos>0\), значит, \(\operatorname{tg}<0\). Ставим минус.

\[\operatorname{tg}315^{\circ}=-\operatorname{tg}45^{\circ}=-1.\]

Ответ: \(-1\).

Пример 4. Отрицательный угол, больший оборота

Вычислить \(\sin(-1230^{\circ})\).

Шаг 1 — убираем полные обороты. Период синуса \(360^{\circ}\), нужно четыре оборота: \(4\cdot 360^{\circ}=1440^{\circ}\), и \(-1230^{\circ}+1440^{\circ}=210^{\circ}\). Значит, \(\sin(-1230^{\circ})=\sin 210^{\circ}\).

Шаг 2: \(210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}\). Шаг 3: горизонталь — функция та же, синус. Шаг 4: \(210^{\circ}\) в III четверти, синус там отрицателен.

\[\sin(-1230^{\circ})=\sin 210^{\circ}=-\sin 30^{\circ}=-\dfrac{1}{2}.\]

Ответ: \(-\dfrac{1}{2}\).

Пример 5. Упрощение выражения с \(\alpha\)

Упростить \(\dfrac{\sin(90^{\circ}+\alpha)\cdot\operatorname{tg}(180^{\circ}-\alpha)}{\cos(360^{\circ}-\alpha)}\), считая \(\alpha\) острым.

Приводим каждый множитель отдельно:

• \(\sin(90^{\circ}+\alpha)\): вертикаль — синус становится косинусом; угол во II четверти, синус там положителен. Получаем \(\cos\alpha\).
• \(\operatorname{tg}(180^{\circ}-\alpha)\): горизонталь — тангенс остаётся; угол во II четверти, тангенс там отрицателен. Получаем \(-\operatorname{tg}\alpha\).
• \(\cos(360^{\circ}-\alpha)\): горизонталь — косинус остаётся; угол в IV четверти, косинус там положителен. Получаем \(\cos\alpha\).

\[\frac{\cos\alpha\cdot(-\operatorname{tg}\alpha)}{\cos\alpha}=-\operatorname{tg}\alpha.\]

Проверка подстановкой \(\alpha=60^{\circ}\): числитель \(\sin 150^{\circ}\cdot\operatorname{tg}120^{\circ}=\dfrac{1}{2}\cdot(-\sqrt{3})\), знаменатель \(\cos 300^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), частное равно \(-\sqrt{3}\); и действительно \(-\operatorname{tg}60^{\circ}=-\sqrt{3}\).

Ответ: \(-\operatorname{tg}\alpha\).

Пример 6. Радианы

Упростить \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(\pi+\alpha)\).

В радианах правило то же, нужно лишь помнить соответствие: \(\dfrac{\pi}{2}\) и \(\dfrac{3\pi}{2}\) — это вертикаль, \(\pi\) и \(2\pi\) — горизонталь.

\(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)\): вертикаль, синус становится косинусом; угол \(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\) при остром \(\alpha\) лежит в III четверти, где синус отрицателен. Значит, \(-\cos\alpha\).

\(\cos(\pi+\alpha)\): горизонталь, косинус остаётся; угол в III четверти, косинус отрицателен. Значит, \(-\cos\alpha\).

Сумма: \(-\cos\alpha-\cos\alpha=-2\cos\alpha\).

Ответ: \(-2\cos\alpha\).

Типичные ошибки

• Знак берут для новой функции. В примере \(\cos 240^{\circ}=-\sin 30^{\circ}\) ученик смотрит на синус и ставит плюс. Знак определяет исходная функция — здесь косинус.
• Четверть определяют по острому углу. В \(\operatorname{tg}(180^{\circ}-\alpha)\) смотрят на \(\alpha\) (I четверть) и ставят плюс. Четверть всегда определяет всё выражение \(180^{\circ}-\alpha\), а оно во II четверти.
• Меняют функцию возле \(180^{\circ}\). Самая частая ошибка: \(\sin(180^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\). Нет: \(180^{\circ}\) — горизонталь, функция не меняется, правильно \(\sin\alpha\).
• Забывают, что у тангенса период \(180^{\circ}\). Для \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) полные обороты убираются шагами по \(180^{\circ}\), а не по \(360^{\circ}\) — иначе работа удваивается.
• Не проверяют область определения. \(\operatorname{tg}90^{\circ}\) и \(\operatorname{ctg}180^{\circ}\) не существуют. Если после приведения в знаменателе оказывается ноль, выражение не имеет смысла при этом угле.
• Путают приведение с тождествами. Формула приведения меняет аргумент, а не саму функцию. Преобразования вроде \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) — это уже основное тригонометрическое тождество, другой инструмент.

Вывод

Формулы приведения — это не таблица, а два вопроса: «вертикаль или горизонталь?» и «какой знак у исходной функции в этой четверти?». Кто задаёт эти вопросы осознанно, тот воспроизводит любую строку таблицы устно и не боится ни отрицательных углов, ни углов в несколько оборотов. Следующий естественный шаг после приведения — формулы двойного угла, где эти навыки работают вместе.

Если тема пока путается — знак не тот, функция не та, — это почти всегда вопрос двадцати минут с преподавателем, который покажет окружность и пройдёт алгоритм на ваших собственных примерах. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math, и мы разберём именно те случаи, которые у вас не получаются.

Нужно ли учить таблицу формул приведения наизусть?

Нет. Вся таблица восстанавливается из одного правила: возле \(90^{\circ}\) и \(270^{\circ}\) функция меняется на кофункцию, возле \(180^{\circ}\) и \(360^{\circ}\) — нет, а знак берётся по четверти исходного угла для исходной функции. Это быстрее и надёжнее зубрёжки, потому что правило не забывается от волнения.

Как определить знак в формуле приведения?

Посмотрите, в какой четверти лежит исходный угол, когда \(\alpha\) острый, и вспомните знак исходной функции в этой четверти. Например, в \(\cos(270^{\circ}-\alpha)\) угол попадает в III четверть, косинус там отрицателен, поэтому ответ \(-\sin\alpha\). Знак новой функции роли не играет.

Что делать с углом, большим \(360^{\circ}\), или отрицательным?

Сначала вычтите или прибавьте нужное количество полных оборотов, чтобы угол оказался между \(0^{\circ}\) и \(360^{\circ}\), и только затем применяйте правило. Для синуса и косинуса оборот — \(360^{\circ}\), для тангенса и котангенса достаточно шага \(180^{\circ}\).

Работает ли правило в радианах?

Да, без изменений. Просто \(\dfrac{\pi}{2}\) и \(\dfrac{3\pi}{2}\) соответствуют вертикальной оси (функция меняется), а \(\pi\) и \(2\pi\) — горизонтальной (функция остаётся). Четверть определяется так же.