Свойства логарифмов
Логарифм сам по себе — просто ответ на вопрос «в какую степень возвести основание». Но настоящая сила темы начинается тогда, когда с логарифмами учатся работать: сворачивать сумму в произведение, выносить показатель, переходить к другому основанию. Именно эти свойства превращают громоздкое выражение в одно число за две строки. На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем их до автоматизма, потому что без них не решается ни одно логарифмическое уравнение. Разберём все правила с доказательствами, примерами и отдельным разделом об ошибках, которые стоят баллов на НМТ.
Определение и основное логарифмическое тождество
Определение. Логарифмом числа \(b\) по основанию \(a\) называют показатель степени, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\):
\[\log_a b = c \iff a^c = b,\qquad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0.\]
Ограничения здесь не формальность. Основание должно быть положительным и не равным единице, а под логарифмом стоит строго положительное число: никакой степенью положительного основания нельзя получить ноль или отрицательное число. Подробнее о самом понятии — в статье про логарифм числа.
Если подставить определение само в себя, получим ключевое равенство всей темы.
Основное логарифмическое тождество. Для \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\):
\[a^{\log_a b} = b.\]
Читать его надо буквально: «\(\log_a b\) — это тот показатель, который даёт \(b\); возводим \(a\) именно в него — разумеется, получаем \(b\)». Проверка: \(5^{\log_5 7} = 7\), \(10^{\lg 3} = 3\), \(2^{\log_2 0{,}5} = 0{,}5\). Тождество работает и тогда, когда сам логарифм отрицателен.
Два частных случая стоит запомнить сразу: \(\log_a 1 = 0\) (так как \(a^0 = 1\)) и \(\log_a a = 1\) (так как \(a^1 = a\)).
Логарифм произведения и логарифм частного
Для \(a > 0\), \(a \neq 1\) и положительных \(x\), \(y\):
\[\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y.\]
Доказательство первой формулы — одна строка. Пусть \(\log_a x = m\) и \(\log_a y = n\), то есть \(x = a^m\), \(y = a^n\). Тогда \(xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), а это по определению означает, что \(\log_a(xy) = m + n\). Для частного всё аналогично, только степени будут вычитаться.
То есть логарифм переводит умножение в сложение — ровно то свойство, ради которого логарифмы и придумали в XVII веке, когда ими заменяли умножение многозначных чисел.
Числовые проверки: \(\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1\); \(\lg 2 + \lg 50 = \lg 100 = 2\); \(\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3\); \(\log_3 405 - \log_3 5 = \log_3 81 = 4\).
Логарифм степени и вынесение показателя
Для \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(x > 0\) и любого действительного \(k\):
\[\log_a x^k = k\log_a x.\]
А для показателя в основании:
\[\log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x,\qquad k \neq 0.\]
Первая формула — следствие предыдущей: \(x^k\) при натуральном \(k\) — это произведение \(k\) одинаковых множителей, каждый даёт свой \(\log_a x\). Для произвольного действительного \(k\) доказательство такое же через определение: если \(x = a^m\), то \(x^k = a^{mk}\).
Примеры: \(\log_2 8^5 = 5\log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15\); \(\log_9 27 = \tfrac{1}{2}\log_3 27 = \tfrac{3}{2}\); \(\log_{\sqrt 3} 27 = \log_{3^{1/2}} 27 = 2\log_3 27 = 6\); \(\log_{1/2} 8 = \log_{2^{-1}} 8 = -\log_2 8 = -3\).
Важная деталь с чётным показателем. Формула \(\log_a x^k = k\log_a x\) требует \(x > 0\). Выражение \(\log_a x^2\) существует для всех \(x \neq 0\), а \(2\log_a x\) — только для \(x > 0\). Поэтому корректная общая запись:
\[\log_a x^2 = 2\log_a |x|.\]
Игнорирование модуля — стандартная причина потери корней в логарифмических уравнениях.
Формула перехода к новому основанию
Для \(a, c > 0\), \(a, c \neq 1\), \(b > 0\):
\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.\]
Следствия: \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\) и \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\).
Эта формула — универсальный переводчик: любой логарифм можно переписать через любое удобное основание. Проверки: \(\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}\); \(\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3\); \(\log_3 7 \cdot \log_7 9 = \log_3 9 = 2\).
Цепочка работает и длиннее: \(\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3\) — все промежуточные основания «сокращаются».
Десятичный и натуральный логарифмы
Два основания встречаются так часто, что для них есть отдельные обозначения.
- Десятичный логарифм — основание 10: \(\lg x = \log_{10} x\). Удобен тем, что \(\lg 10^n = n\), поэтому \(\lg 1000 = 3\), \(\lg 0{,}01 = -2\).
- Натуральный логарифм — основание \(e \approx 2{,}718\): \(\ln x = \log_e x\). Именно он появляется в производных и в задачах на непрерывный рост; \(\ln e^3 = 3\), \(\ln 1 = 0\).
Поскольку калькулятор считает только \(\lg\) и \(\ln\), формула перехода даёт рабочий инструмент для любого основания:
\[\log_2 3 = \frac{\lg 3}{\lg 2} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}585.\]
Обе дроби дают одно и то же число — основание промежуточного логарифма на результат не влияет. О поведении \(\ln x\) как функции — в статье про логарифмическую функцию.
Разобранные примеры
Пример 1. Вычислить \(\log_5 250 - \log_5 2\).
Разность логарифмов с одинаковым основанием — логарифм частного: \(\log_5 \dfrac{250}{2} = \log_5 125\). Так как \(125 = 5^3\), получаем \(\log_5 5^3 = 3\).
Ответ: 3.
Пример 2. Вычислить \(9^{\log_3 4}\).
Основное тождество можно применить только тогда, когда основание степени совпадает с основанием логарифма. Приводим: \(9 = 3^2\), поэтому \(9^{\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^2 = 4^2 = 16\).
Ответ: 16.
Пример 3. Вычислить \(4^{1 + \log_2 3}\).
Разбиваем степень: \(4^{1+\log_2 3} = 4 \cdot 4^{\log_2 3}\). Далее \(4^{\log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^2 = 3^2 = 9\). Вместе \(4 \cdot 9 = 36\).
Ответ: 36.
Пример 4. Вычислить \(\log_7 49 + 3^{\log_3 5} - \log_{1/2} 4\).
Первое слагаемое: \(\log_7 7^2 = 2\). Второе: по основному тождеству \(3^{\log_3 5} = 5\). Третье: \(\log_{2^{-1}} 4 = -\log_2 4 = -2\), а вычитается оно со знаком минус, поэтому даёт \(+2\). Вместе \(2 + 5 + 2 = 9\).
Ответ: 9.
Пример 5. Вычислить \(\dfrac{\log_5 250 - \log_5 2}{\log_3 45 - \log_3 5}\).
Числитель сворачивается в \(\log_5 125 = 3\), знаменатель — в \(\log_3 9 = 2\). Дробь равна \(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\). Обратите внимание: сокращать логарифмы «крест-накрест» здесь нельзя — сначала каждый считаем как число.
Ответ: 1,5.
Пример 6. Вычислить \(\log_2 5 \cdot \log_5 8\).
По следствию формулы перехода \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\), значит произведение равно \(\log_2 8 = 3\). Тот же результат через дроби: \(\dfrac{\lg 5}{\lg 2}\cdot\dfrac{\lg 8}{\lg 5} = \dfrac{\lg 8}{\lg 2} = 3\).
Ответ: 3.
Вычисление логарифмов без калькулятора
Типовое задание НМТ: дано \(\lg 2 \approx 0{,}3010\), найти другие десятичные логарифмы. Вся техника — разложить число на множители, в которых есть 2 и 10.
- \(\lg 8 = \lg 2^3 = 3\lg 2 \approx 0{,}9030\).
- \(\lg 5 = \lg \dfrac{10}{2} = \lg 10 - \lg 2 = 1 - 0{,}3010 = 0{,}6990\).
- \(\lg 40 = \lg (4 \cdot 10) = 2\lg 2 + 1 \approx 1{,}6020\).
- \(\lg 0{,}25 = \lg 2^{-2} = -2\lg 2 \approx -0{,}6020\).
Тот же подход работает для любого основания через формулу перехода. Например, \(\log_4 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) — калькулятор не нужен вообще, потому что и 32, и 4 являются степенями двойки. Общее правило: прежде чем считать, попробуйте привести все числа к общему основанию. О работе со степенями с произвольным показателем — в статье про степень с натуральным показателем.
Типичные ошибки
Три ошибки ниже — самые распространённые в теме. Каждую опровергнем конкретными числами, чтобы она запомнилась не как запрет, а как факт.
- «Логарифм суммы равен сумме логарифмов»: \(\log(a+b) \neq \log a + \log b\). Возьмём \(a = 2\), \(b = 8\). Слева: \(\lg(2+8) = \lg 10 = 1\). Справа: \(\lg 2 + \lg 8 = \lg 16 \approx 1{,}204\). Числа разные. Сумма логарифмов сворачивается в логарифм произведения, а не суммы — \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\). Для \(\log(a+b)\) формулы упрощения просто не существует.
- «Частное логарифмов — это логарифм частного»: \(\dfrac{\log a}{\log b} \neq \log\dfrac{a}{b}\). Возьмём \(a = 100\), \(b = 10\). Слева: \(\dfrac{\lg 100}{\lg 10} = \dfrac{2}{1} = 2\). Справа: \(\lg\dfrac{100}{10} = \lg 10 = 1\). Снова разные. Логарифм частного — это разность: \(\log_a x - \log_a y\). А дробь \(\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) имеет другой смысл — это \(\log_a b\), формула перехода к новому основанию.
- «Квадрат логарифма — это удвоенный логарифм»: \((\log a)^2 \neq 2\log a\). Возьмём \(a = 1000\). Слева: \((\lg 1000)^2 = 3^2 = 9\). Справа: \(2\lg 1000 = 6\). Путаница возникает из-за похожей записи: показатель выносится только тогда, когда он стоит под логарифмом — \(\lg(1000^2) = 2\lg 1000 = 6\). Запись \(\log^2 a\) означает \((\log a)^2\) и не упрощается.
- Потеря ОДЗ. Переход от \(\log_a x + \log_a y\) к \(\log_a(xy)\) расширяет область определения: произведение \(xy\) положительно и тогда, когда оба множителя отрицательны. В уравнениях это даёт посторонние корни, поэтому ОДЗ (\(x > 0\) и \(y > 0\)) выписывают до преобразований.
- Сложение логарифмов с разными основаниями. Запись \(\log_2 3 + \log_5 3\) свернуть нельзя: свойства произведения и частного работают только при одинаковом основании. Сначала — формула перехода, и только потом арифметика.
Вывод
Свойств логарифмов ровно пять: основное тождество, логарифм произведения, логарифм частного, вынесение показателя и переход к новому основанию. Все они выводятся из определения за одну-две строки, поэтому зубрить их не нужно — достаточно один раз понять логику «логарифм — это показатель степени». А вот отработать их на числах надо обязательно: именно на технике, а не на теории, теряются баллы.
Если преобразования пока не складываются в автоматический навык, приходите на пробное занятие в Tutor-Math — разберём ваши конкретные сложности с темой и составим план подготовки к НМТ.
Почему \(\log(a+b)\) не равен \(\log a + \log b\)?
Потому что логарифм переводит в сумму именно умножение, а не сложение. Правильная формула: \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\). Проверка на числах: \(\lg(2+8) = \lg 10 = 1\), тогда как \(\lg 2 + \lg 8 = \lg 16 \approx 1{,}204\). Для логарифма суммы формулы упрощения не существует вообще.
Как применить основное логарифмическое тождество, если основания не совпадают?
Надо привести основание степени к основанию логарифма. Например, в выражении \(9^{\log_3 4}\) записываем \(9 = 3^2\), тогда \(9^{\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^2 = 4^2 = 16\). Так же \(25^{\log_5 3} = 3^2 = 9\).
Когда нужна формула перехода к новому основанию?
В трёх ситуациях: когда надо посчитать логарифм на калькуляторе (он знает только \(\lg\) и \(\ln\)); когда в выражении логарифмы с разными основаниями и их надо привести к общему; когда произведение логарифмов сворачивается в один — \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\).
Можно ли выносить показатель, если он чётный?
Не всегда в виде \(\log_a x^2 = 2\log_a x\). Левая часть определена для всех \(x \neq 0\), правая — только для \(x > 0\). Корректная общая запись — \(\log_a x^2 = 2\log_a |x|\). Забытый модуль приводит к потере отрицательных корней в уравнениях.
