Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения — одна из тех тем 11 класса, где школьник может всё сделать правильно и всё равно потерять баллы. Причина почти всегда одна: не найдена или не проверена область допустимых значений. Логарифм существует не для всех чисел, поэтому корень, полученный формально безупречными преобразованиями, может оказаться посторонним. На занятиях в Tutor-Math мы приучаем писать ОДЗ первой строкой решения — до любых преобразований. Эта статья разбирает именно такой порядок действий.
ОДЗ — ядро всей темы
Определение. Логарифмом числа \(b\) по основанию \(a\) называют показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\). Обозначение: \(\log_a b\).\[ \log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b \]
Из этой равносильности сразу следуют ограничения. Степень положительного числа всегда положительна, значит \(b\) отрицательным быть не может. А основание не имеет права равняться единице, потому что \(1^c = 1\) при любом \(c\) — уравнение либо не имело бы решений, либо имело бы их бесконечно много.
Область допустимых значений. Выражение \(\log_a b\) определено тогда и только тогда, когда одновременно выполнены три условия: \(b > 0\), \(a > 0\), \(a \neq 1\).
Практически это означает: в каждом логарифме уравнения подлогарифмическое выражение нужно приравнять к нулю со знаком «больше» и решить полученную систему неравенств. Если основание тоже содержит переменную, к системе добавляются ещё два условия на него. Подробнее о самих логарифмах — в статье логарифм числа, а о поведении графика — в логарифмической функции.
Важный нюанс: ОДЗ ищут по исходному уравнению, а не по тому, что получилось после преобразований. Преобразования часто расширяют ОДЗ — именно поэтому и появляются посторонние корни.
Метод потенцирования
Самая распространённая схема. Уравнение сводят к виду «логарифм равен логарифму по тому же основанию» и убирают логарифмы.
Правило потенцирования. Если \(a > 0\), \(a \neq 1\), то уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\) равносильно системе: \(f(x) = g(x)\) вместе с условием \(f(x) > 0\).
Частный случай — когда справа стоит число: \(\log_a f(x) = c\) переходит в \(f(x) = a^c\). Здесь ОДЗ выполняется автоматически, потому что \(a^c\) всегда положительно, но привычку выписывать ограничения лучше не терять.
Чтобы свести несколько логарифмов к одному, нужны свойства логарифмов:
\[ \log_a x + \log_a y = \log_a (xy), \qquad \log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}, \qquad k\log_a x = \log_a x^k \]Именно здесь кроется главная ловушка темы. Переход от \(\log_a x + \log_a y\) к \(\log_a(xy)\) расширяет область определения: слева нужно \(x > 0\) и \(y > 0\), а справа достаточно, чтобы произведение было положительным — то есть подходят и два отрицательных множителя. Новое уравнение имеет «лишние» решения, которых у старого не было.
Пример 1. Простейшее уравнение
Решить \(\log_3(2x - 1) = 2\).
ОДЗ: \(2x - 1 > 0\), откуда \(x > 0{,}5\).
По определению логарифма \(2x - 1 = 3^2 = 9\), значит \(2x = 10\) и \(x = 5\).
Проверка ОДЗ: \(5 > 0{,}5\) — корень подходит. Подстановка: \(\log_3(2 \cdot 5 - 1) = \log_3 9 = 2\). Равенство выполняется.
Ответ: \(x = 5\).
Пример 2. Посторонний корень
Решить \(\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3\).
ОДЗ: нужно одновременно \(x - 1 > 0\) и \(x + 1 > 0\), то есть \(x > 1\) и \(x > -1\). Пересечение даёт \(x > 1\).
Сворачиваем сумму: \(\log_2\big((x-1)(x+1)\big) = 3\), откуда \((x-1)(x+1) = 2^3 = 8\), то есть \(x^2 - 1 = 8\) и \(x^2 = 9\). Формально имеем два корня: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -3\).
Проверка ОДЗ. Корень \(x_1 = 3\) удовлетворяет условию \(x > 1\). Корень \(x_2 = -3\) ему не удовлетворяет: подставив его в исходное уравнение, получим \(\log_2(-4)\) — выражение, которого не существует. Это и есть посторонний корень: он появился из-за расширения ОДЗ при сворачивании суммы логарифмов в логарифм произведения. Произведение \((-4) \cdot (-2) = 8\) действительно положительно, поэтому в преобразованном уравнении \(x = -3\) «проходит», а в исходном — нет.
Подстановка \(x = 3\): \(\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3\). Совпадает с правой частью.
Ответ: \(x = 3\).
Пример 3. Замена переменной
Решить \(\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0\).
ОДЗ: \(x > 0\).
Пусть \(t = \log_3 x\). Уравнение становится квадратным: \(t^2 - 3t + 2 = 0\). Дискриминант \(D = 9 - 8 = 1\), корни \(t_1 = 1\), \(t_2 = 2\).
Возвращаемся к переменной \(x\): из \(\log_3 x = 1\) имеем \(x = 3\); из \(\log_3 x = 2\) имеем \(x = 9\). Оба положительны, ОДЗ выполнено.
Подстановка \(x = 3\): \(1 - 3 \cdot 1 + 2 = 0\). Подстановка \(x = 9\): \(4 - 3 \cdot 2 + 2 = 0\). Оба равенства верны.
Ответ: \(x = 3\), \(x = 9\).
Пример 4. Логарифмирование обеих частей
Решить \(x^{\lg x} = 100x\), где \(\lg\) — десятичный логарифм.
ОДЗ: переменная стоит в основании степени, поэтому \(x > 0\).
Когда неизвестное сидит и в основании, и в показателе, обе части логарифмируют по удобному основанию — здесь по основанию 10, потому что в записи уже есть \(\lg\). Обе части положительны, поэтому логарифмирование равносильно.
\[ \lg\left(x^{\lg x}\right) = \lg(100x) \quad \Rightarrow \quad \lg x \cdot \lg x = \lg 100 + \lg x \]Обозначим \(t = \lg x\), получим \(t^2 = 2 + t\), то есть \(t^2 - t - 2 = 0\). Корни: \(t_1 = 2\), \(t_2 = -1\). Отсюда \(x_1 = 10^2 = 100\) и \(x_2 = 10^{-1} = 0{,}1\).
Подстановка \(x = 100\): левая часть \(100^{\lg 100} = 100^2 = 10\,000\), правая \(100 \cdot 100 = 10\,000\). Подстановка \(x = 0{,}1\): левая часть \(0{,}1^{\lg 0{,}1} = 0{,}1^{-1} = 10\), правая \(100 \cdot 0{,}1 = 10\). Оба корня настоящие.
Ответ: \(x = 100\), \(x = 0{,}1\).
Логарифмические неравенства: знак зависит от основания
Здесь появляется вторая большая причина потери баллов. Логарифмическая функция возрастает не всегда — направление зависит от основания.
Правило знака. Если \(a > 1\), функция \(\log_a x\) возрастает, и неравенство \(\log_a f(x) > \log_a g(x)\) равносильно \(f(x) > g(x)\) — знак сохраняется. Если \(0 < a < 1\), функция убывает, и то же неравенство равносильно \(f(x) < g(x)\) — знак меняется на противоположный. В обоих случаях добавляется условие \(g(x) > 0\).
Логика проста: при основании, меньшем единицы, большему аргументу соответствует меньший логарифм. Например, \(\log_{1/2} 8 = -3\), а \(\log_{1/2} 2 = -1\): аргумент вырос, значение упало. Общие приёмы работы со знаками разобраны в статье о неравенствах.
Пример 5. Основание больше единицы
Решить \(\log_2(x - 3) < 4\).
ОДЗ: \(x - 3 > 0\), то есть \(x > 3\).
Основание \(2 > 1\), функция возрастает — знак сохраняем: \(x - 3 < 2^4 = 16\), откуда \(x < 19\).
Пересекаем с ОДЗ: \(3 < x < 19\).
Проверка. Возьмём \(x = 4\) из промежутка: \(\log_2 1 = 0 < 4\) — верно. Возьмём \(x = 20\) вне промежутка: \(\log_2 17 \approx 4{,}09 > 4\) — неравенство не выполняется, граница найдена правильно.
Ответ: \(x \in (3;\ 19)\).
Пример 6. Основание меньше единицы
Решить \(\log_{1/3}(2x - 1) \geqslant -2\).
ОДЗ: \(2x - 1 > 0\), то есть \(x > 0{,}5\).
Запишем правую часть как логарифм по тому же основанию: \(-2 = \log_{1/3}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{1/3} 9\). Основание \(\tfrac{1}{3}\) лежит между нулём и единицей, функция убывает — знак неравенства меняется:
\[ 2x - 1 \leqslant 9 \quad \Rightarrow \quad 2x \leqslant 10 \quad \Rightarrow \quad x \leqslant 5 \]Пересечение с ОДЗ даёт \(0{,}5 < x \leqslant 5\).
Проверка. При \(x = 5\): \(\log_{1/3} 9 = -2\), неравенство \(\geqslant\) выполняется как равенство. При \(x = 5{,}5\): \(\log_{1/3} 10 \approx -2{,}096 < -2\) — не выполняется. При \(x = 0{,}6\): \(\log_{1/3} 0{,}2 \approx 1{,}46 > -2\) — выполняется. Границы верные.
Ответ: \(x \in (0{,}5;\ 5]\).
Типичные ошибки
- Не найдено ОДЗ. Самая дорогая ошибка темы. Без ОДЗ посторонний корень попадает в ответ, и задача засчитывается как нерешённая, даже если все преобразования безупречны.
- ОДЗ ищут по преобразованному уравнению. После сворачивания суммы логарифмов область расширяется. Ограничения выписывают по исходной записи.
- При основании \(0 < a < 1\) не поменяли знак неравенства. Это вторая по частоте потеря баллов. Перед решением неравенства всегда явно спрашивайте себя: основание больше или меньше единицы?
- Забыли условие на основание. Если основание содержит переменную, нужны сразу два условия: основание положительно и не равно единице. Второе пропускают почти всегда.
- Проверили только ОДЗ, но не подставили корень. Принадлежность ОДЗ необходима, но не всегда достаточна — арифметическая ошибка в середине решения даст корень из правильного промежутка, который уравнению не удовлетворяет.
- Потеря корня при замене. После решения квадратного уравнения относительно \(t\) возвращаются лишь к одному значению, забыв про второе.
- Путаница \(\log_a^2 x\) и \(\log_a x^2\). Первое — квадрат логарифма, второе равно \(2\log_a |x|\). Замену переменной можно делать только в первом случае.
Вывод
Алгоритм темы короткий: сначала ОДЗ по исходному уравнению, затем сведение к одному логарифму или замена переменной, затем потенцирование, и обязательно — проверка каждого корня на принадлежность ОДЗ с подстановкой в исходную запись. Для неравенств добавляется один шаг: посмотреть на основание и решить, сохранять знак или менять. Если тема пока даётся тяжело, запишитесь на пробное занятие — разберём ваши примеры пошагово.
Почему в логарифмических уравнениях появляются посторонние корни?
Из-за преобразований, которые расширяют область допустимых значений. Классический пример — сворачивание \(\log_a x + \log_a y\) в \(\log_a(xy)\): слева оба числа должны быть положительными, справа достаточно положительности произведения. Новое уравнение имеет решения, которых у исходного не было, поэтому каждый корень проверяют по первоначальной записи.
Когда знак логарифмического неравенства меняется?
Когда основание лежит в промежутке \(0 < a < 1\). Тогда функция \(\log_a x\) убывает, и при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства становится противоположным. При \(a > 1\) функция возрастает и знак сохраняется.
Достаточно ли проверить корень только по ОДЗ?
Нет. ОДЗ отсеивает корни, для которых выражение не существует, но не ловит арифметических ошибок в самих преобразованиях. Надёжная проверка — подстановка корня в исходное уравнение с вычислением обеих частей.
Что делать, если переменная стоит в основании логарифма?
Выписать два дополнительных условия ОДЗ: основание положительно и не равно единице. Дальше уравнение решают обычным способом, а в конце проверяют, не нарушает ли найденный корень эти условия — часто именно здесь отсеивается часть ответов.
