Показательная функция и её график

Q: Почему основание не может быть равно 1?

Выражение 1^x определено, но равно единице при любом x. Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая y = 1. Она не возрастает и не убывает, поэтому не имеет обратной функции и не даёт логарифма по основанию 1. Исключение a = 1 гарантирует, что каждая показательная функция строго монотонна.

Q: Почему график показательной функции всегда проходит через точку (0; 1)?

Потому что a^0 = 1 при любом допустимом основании. Это равенство не зависит от a, поэтому графики y = 2^x, y = 10^x, y = 0,3^x пересекаются в одной общей точке (0; 1). Это удобный ориентир при построении графика: одну его точку вы знаете всегда.

Q: Как сравнить 2^300 и 3^200 без калькулятора?

Привести числа к общему показателю. НОД(300; 200) = 100, поэтому 2^300 = (2^3)^100 = 8^100, а 3^200 = (3^2)^100 = 9^100. Показатели одинаковы, значит сравнение сводится к основаниям: 8 меньше 9, поэтому 8^100 меньше 9^100, то есть 2^300 меньше 3^200.

В 11 классе переменная впервые поднимается в показатель степени: не \(x^2\), а \(2^x\). Разница кажется мелкой, но именно она описывает сложные проценты, рост популяции и радиоактивный распад — всё, что растёт или убывает «во столько-то раз за одинаковый промежуток времени». В этой статье разберём определение показательной функции, её график, два принципиально разных типа поведения в зависимости от основания и то, как монотонность превращается в рабочий инструмент сравнения чисел. Репетиторы Tutor-Math советуют начинать эту тему с графика: когда картинка в голове есть, свойства не нужно зубрить — они считываются с рисунка.

Определение показательной функции

Определение. Показательной функцией называют функцию вида \[ y=a^{x}, \] где \(a\) — заданное число, причём \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Число \(a\) называют основанием показательной функции, а \(x\) — показателем.

Примеры показательных функций: \(y=2^{x}\), \(y=10^{x}\), \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\), \(y=0{,}8^{x}\). А вот \(y=x^{2}\) показательной не является — там переменная стоит в основании, а не в показателе. Это разные функции с совершенно разным поведением: \(x^2\) при больших \(x\) растёт быстро, а \(2^x\) — несравнимо быстрее.

Запись \(a^x\) для произвольного действительного \(x\) опирается на всю цепочку определений степени, которая строилась с 7 класса: степень с натуральным показателем, затем нулевой и отрицательный показатель, затем дробный (через корни). Показательная функция просто «склеивает» все эти значения в одну непрерывную линию.

Почему \(a > 0\) и \(a \ne 1\)

Ограничения на основание — не прихоть учебника. Каждое из них закрывает конкретную катастрофу.

Почему не \(a < 0\). Возьмём \(a=-4\). Тогда \((-4)^{1}=-4\), \((-4)^{2}=16\) — пока всё в порядке. Но \((-4)^{0{,}5}=\sqrt{-4}\) не существует среди действительных чисел. Так же не существуют \((-4)^{1/4}\), \((-4)^{3/2}\) и множество других значений. Вместо сплошной кривой получилась бы «пыль» из отдельных точек, прыгающих то вверх, то вниз в зависимости от чётности знаменателя дроби. С таким объектом не работают ни пределы, ни производные.
Почему не \(a = 0\). При \(x > 0\) имеем \(0^{x}=0\), при \(x=0\) выражение \(0^{0}\) не определено, а при \(x < 0\) получаем \(0^{-2}=\frac{1}{0^{2}}=\frac{1}{0}\) — деление на нуль. Функция существовала бы только на луче \(x > 0\) и была бы там тождественным нулём. Пользы никакой.
Почему не \(a = 1\). Здесь всё определено, но неинтересно: \(1^{x}=1\) при любом \(x\). Это горизонтальная прямая \(y=1\), обычная постоянная функция. Она не возрастает и не убывает, поэтому не имеет обратной — а именно обратная к показательной функция и есть логарифм. Убрать \(a=1\) означает гарантировать, что любая показательная функция строго монотонна.

Итог: условия \(a > 0\), \(a \ne 1\) оставляют ровно те основания, при которых \(a^x\) определён для всех действительных \(x\), непрерывен и строго монотонен.

График при \(a > 1\): возрастание

Построим \(y=2^{x}\) по точкам:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \end{array} \]

Соединив точки плавной линией, получаем кривую, которая слева почти прижимается к оси \(Ox\), проходит через \((0;\,1)\) и дальше стремительно взлетает вверх. Ключевые черты:

функция возрастает на всей числовой прямой: большему \(x\) соответствует большее \(y\);
при \(x > 0\) значения больше единицы, при \(x < 0\) — между нулём и единицей;
слева график неограниченно приближается к оси \(Ox\), но никогда её не пересекает.

График при \(0 < a < 1\): убывание

Теперь \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\):

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \end{array} \]

Сравните обе таблицы: значения те же, только прочитанные в обратном порядке. Причина — в тождестве \[ \left(\frac{1}{a}\right)^{x}=a^{-x}, \] то есть график \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) — это зеркальное отражение графика \(y=2^{x}\) относительно оси \(Oy\). Функция убывает на всей прямой, а к оси \(Ox\) прижимается справа.

Свойства: коротко и полностью

Для функции \(y=a^{x}\) при \(a > 0\), \(a \ne 1\):

область определения \(D(y)=(-\infty;\,+\infty)\) — степень определена при любом действительном \(x\);

область значений \(E(y)=(0;\,+\infty)\) — функция принимает только положительные значения, причём каждое ровно один раз;

график всегда проходит через точку \((0;\,1)\), так как \(a^{0}=1\) при любом допустимом основании;

прямая \(y=0\) (ось \(Ox\)) — горизонтальная асимптота;

при \(a > 1\) функция возрастает, при \(0 < a < 1\) — убывает;

функция не является ни чётной, ни нечётной; нулей не имеет.

Два пункта стоит пояснить отдельно. Область значений. Уравнение \(a^{x}=0\) не имеет решений: произведение положительных множителей положительно, а переход к дробным и отрицательным показателям тоже даёт только положительные числа. Поэтому график целиком лежит выше оси \(Ox\). При этом любое положительное число достигается — это и есть существование логарифма.

Асимптота. Для \(y=2^{x}\) при \(x=-10\) имеем \(2^{-10}=\frac{1}{1024}\), при \(x=-20\) — уже меньше миллионной доли. Значения становятся сколь угодно малыми, но остаются строго положительными: кривая бесконечно приближается к оси, не касаясь её. Именно поэтому ось \(Ox\) называют асимптотой, а не частью графика.

Монотонность как инструмент сравнения

Это самое практичное следствие. Поскольку функция строго монотонна, из неравенства между значениями однозначно следует неравенство между показателями — и наоборот.

Если \(a > 1\), то \(a^{m} > a^{n}\) тогда и только тогда, когда \(m > n\) (знак неравенства сохраняется).
Если \(0 < a < 1\), то \(a^{m} > a^{n}\) тогда и только тогда, когда \(m < n\) (знак неравенства меняется на противоположный).

Эта пара правил — фундамент для решения показательных уравнений и неравенств. Но и без уравнений она позволяет сравнивать числа, которые калькулятор просто не покажет.

Примеры с решением

Пример 1. Сравнить \(2^{300}\) и \(3^{200}\).

Основания разные, показатели разные — напрямую правило монотонности не применишь. Приведём числа к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей: \(\text{НОД}(300;\,200)=100\).
Преобразуем: \(2^{300}=2^{3\cdot 100}=(2^{3})^{100}=8^{100}\).
Аналогично: \(3^{200}=3^{2\cdot 100}=(3^{2})^{100}=9^{100}\).
Теперь показатели одинаковы, и остаётся сравнить основания. Функция \(y=x^{100}\) на положительном луче возрастает, а \(8 < 9\), значит \(8^{100} < 9^{100}\).
Возвращаемся к исходным числам: \(2^{300} < 3^{200}\).

Проверка масштаба: \(3^{200}\) примерно в \(130\,000\) раз больше \(2^{300}\) — оба числа содержат около девяноста цифр, поэтому «на глаз» разницу не увидеть, а приём с общим показателем даёт ответ в две строки.

Ответ: \(2^{300} < 3^{200}\).

Пример 2. Сравнить, не вычисляя: а) \(0{,}7^{2{,}5}\) и \(0{,}7^{3}\); б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5}\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\).

а) Основание \(0{,}7\), и \(0 < 0{,}7 < 1\) — функция убывающая. Показатели: \(2{,}5 < 3\). При убывании меньший показатель даёт большее значение, поэтому \(0{,}7^{2{,}5} > 0{,}7^{3}\). Контроль калькулятором: \(0{,}7^{2{,}5}\approx 0{,}410\), \(0{,}7^{3}=0{,}343\).
б) Основание \(\frac{1}{3} < 1\) — снова убывание. Показатели отрицательные, и здесь нужна аккуратность: \(-2 < -1{,}5\). Меньший показатель даёт большее значение, поэтому \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5}\). Контроль: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9\), а \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5}=3^{1{,}5}=3\sqrt{3}\approx 5{,}196\).

Ответ: а) \(0{,}7^{2{,}5} > 0{,}7^{3}\); б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\).

Пример 3. График функции \(y=a^{x}\) проходит через точку \(\left(-2;\,\frac{1}{9}\right)\). Найти основание \(a\) и вычислить \(y(3)\).

Подставляем координаты точки в уравнение функции: \(a^{-2}=\frac{1}{9}\).
По определению отрицательного показателя \(a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}\), поэтому \(\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{9}\), откуда \(a^{2}=9\).
Формально \(a=3\) или \(a=-3\), но по определению основание должно быть положительным, значит \(a=3\).
Проверка: \(3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}\) — точка действительно лежит на графике.
Поскольку \(a=3 > 1\), функция возрастает. Вычисляем: \(y(3)=3^{3}=27\).

Ответ: \(a=3\), \(y(3)=27\).

Пример 4 (сложные проценты). Вкладчик положил на депозит \(20\,000\) грн под \(12\%\) годовых с капитализацией раз в год. Какая сумма будет на счету через 5 лет?

Каждый год сумма умножается на один и тот же коэффициент: \(1+\frac{12}{100}=1{,}12\).
Это геометрическая прогрессия, а формула суммы через \(n\) лет — показательная: \(S(n)=20\,000\cdot 1{,}12^{n}\). Родство тем не случайно: значения показательной функции в целых точках образуют как раз геометрическую прогрессию.
Считаем по шагам: \(22\,400\), \(25\,088\), \(28\,098{,}56\), \(31\,470{,}39\), \(35\,246{,}83\) грн.
Проверка формулой: \(1{,}12^{5}=1{,}7623416832\), тогда \(20\,000\cdot 1{,}7623416832=35\,246{,}83\) грн.

Для сравнения: по простым процентам начислили бы \(20\,000\cdot 0{,}12\cdot 5=12\,000\) грн, то есть \(32\,000\) грн вместе. Разница в \(3\,246{,}83\) грн — это и есть эффект показательного роста.

Ответ: \(35\,246{,}83\) грн.

Пример 5 (рост популяции). Культура бактерий удваивается каждые 20 минут. Изначально было 500 клеток. Сколько их будет через 3 часа?

Количество удвоений: \(3\) ч \(=180\) мин, \(180:20=9\).
Модель: \(N(t)=500\cdot 2^{\,t/20}\), где \(t\) — время в минутах. При \(t=180\): \(N=500\cdot 2^{9}\).
Считаем: \(2^{9}=512\), поэтому \(N=500\cdot 512=256\,000\).

Ответ: \(256\,000\) клеток.

Пример 6 (период полураспада). Период полураспада изотопа — 8 суток. Сколько останется от начальных \(100\) г через 24 суток?

Здесь основание меньше единицы: за каждые 8 суток масса умножается на \(\frac{1}{2}\). Модель \(m(t)=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}\) — убывающая показательная функция.
Количество периодов: \(24:8=3\).
Вычисляем: \(m=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=100\cdot\frac{1}{8}=12{,}5\) г.
Контроль по шагам: \(100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5\) — три последовательных деления пополам.

Обратите внимание: масса никогда не станет равной нулю — это та же горизонтальная асимптота \(y=0\), только с физическим смыслом.

Ответ: \(12{,}5\) г.

Типичные ошибки

Путают \(y=a^{x}\) и \(y=x^{a}\). Первая — показательная, вторая — степенная. В \(2^{x}\) переменная в показателе, в \(x^{2}\) — в основании. Графики разные: парабола симметрична, показательная кривая — нет.
Забывают об ограничениях на основание. Запись \(y=(-2)^{x}\) или \(y=1^{x}\) показательной функцией не является. В заданиях типа «при каких \(a\) функция \(y=(a-3)^{x}\) является показательной» ответ должен учитывать оба условия: \(a-3 > 0\) и \(a-3 \ne 1\), то есть \(a > 3\) и \(a \ne 4\).
Считают, что функция может принимать нулевое или отрицательное значение. Уравнения \(2^{x}=0\) и \(2^{x}=-5\) решений не имеют — область значений только \((0;\,+\infty)\). Это спасает от фиктивных корней в показательных уравнениях.
Не меняют знак неравенства при \(0 < a < 1\). Из \(0{,}5^{m} > 0{,}5^{n}\) следует \(m < n\), а не \(m > n\). Самая частая ошибка темы на НМТ.
Сравнивают степени с разными основаниями напрямую. Из того, что \(3 > 2\), не следует автоматически \(3^{200} > 2^{300}\) — нужно приведение к общему основанию или общему показателю. Здесь ответ совпал, но \(2^{10}=1024 > 3^{6}=729\) при большем основании второго числа.
Путают направление неравенства для отрицательных показателей. \(-2 < -1{,}5\), а не наоборот. Ошибка на числовой прямой ломает правильно применённое правило монотонности.
Рисуют график, пересекающий ось \(Ox\). Кривая подходит к оси сколь угодно близко, но не касается её и не переходит ниже.

Вывод

Показательная функция \(y=a^{x}\) описывается тремя фактами, которые стоит держать в голове как единое целое: область значений \((0;\,+\infty)\), обязательная точка \((0;\,1)\) и строгая монотонность — возрастание при \(a > 1\), убывание при \(0 < a < 1\). Из этих трёх фактов выводятся и асимптота, и правила сравнения, и вся дальнейшая теория логарифмов. А ограничения \(a > 0\), \(a \ne 1\) — не формальность, а условие того, что функция вообще существует на всей прямой и имеет обратную.

Если ученик путает \(2^{x}\) со \(x^{2}\) или теряет знак неравенства при убывающем основании, дело обычно не в 11 классе, а в непрокачанных действиях со степенями. Репетиторы Tutor-Math начинают с диагностики этого пробела, а не с пересказа параграфа. Запишитесь на пробное занятие — и тема закроется до того, как начнутся показательные уравнения.

Вопросы и ответы

Почему основание показательной функции должно быть положительным?

Потому что при отрицательном основании степень с дробным показателем часто не существует среди действительных чисел. Например, \((-4)^{0{,}5}=\sqrt{-4}\) не определён. Вместо непрерывной кривой получился бы набор отдельных точек, для которого не работают ни монотонность, ни пределы, ни производная. Основание \(a=0\) тоже не годится: \(0^{-2}\) означает деление на нуль.

Почему \(a=1\) исключают, ведь \(1^{x}\) прекрасно определён?

Определён, но равен единице при любом \(x\). Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая \(y=1\). Она не возрастает и не убывает, поэтому не имеет обратной функции и не даёт логарифма по основанию 1. Исключение \(a=1\) гарантирует, что каждая показательная функция строго монотонна.

Почему график \(y=a^{x}\) всегда проходит через точку \((0;\,1)\)?

Потому что \(a^{0}=1\) при любом \(a \ne 0\). Это равенство не зависит от основания, поэтому графики \(y=2^{x}\), \(y=10^{x}\), \(y=0{,}3^{x}\) пересекаются в одной общей точке \((0;\,1)\). Это удобный ориентир при построении: одну точку графика вы знаете всегда.

Как сравнить \(2^{300}\) и \(3^{200}\) без калькулятора?

Привести к общему показателю. \(\text{НОД}(300;\,200)=100\), поэтому \(2^{300}=(2^{3})^{100}=8^{100}\), а \(3^{200}=(3^{2})^{100}=9^{100}\). Показатели стали одинаковыми, и сравнение сводится к основаниям: \(8 < 9\), значит \(8^{100} < 9^{100}\), то есть \(2^{300} < 3^{200}\).

Показательная функция и её график