Разбор заданий НМТ: текстовые задачи
Текстовая задача — самая частая причина, по которой подготовленный ученик теряет баллы на НМТ. Математика в ней обычно несложная: линейное уравнение, пропорция, изредка квадратное. Трудность в другом — нужно перевести три предложения бытовым языком на язык символов. Это отдельный навык, и он тренируется. Ниже мы разберём восемь задач основных типов так, как делаем это на занятиях в Tutor-Math: сначала схема условия, потом решение, потом обязательная проверка на здравый смысл.
Напомним формат: НМТ по математике 2026 содержит 22 задания, максимальное количество тестовых баллов — 32. Текстовые задачи встречаются и среди заданий с выбором одного ответа, и среди тех, где ответ нужно вписать числом. Полный перечень тем — в нашем обзоре тем НМТ 2026.
Универсальный алгоритм: что брать за \(x\)
Алгоритм. 1) Выписать участников (тела, работники, растворы, платежи) — столько строк, сколько разных «кусков» описано. 2) Выбрать неизвестное \(x\) и записать словами, что оно означает, вместе с единицами. 3) Выразить через \(x\) остальные величины в строках. 4) Найти в условии фразу, которую ещё не использовали, — это и есть уравнение. 5) Решить, отбросить посторонние корни и ответить именно на поставленный вопрос.
Больше всего ошибок даёт шаг 2. Три рабочих правила выбора неизвестной:
- Если в условии есть «на \(20\) больше» — берите за \(x\) меньшую величину: вторая станет \(x + 20\) без единого минуса.
- Если есть «в \(3\) раза больше» — берите за \(x\) меньшую, вторая будет \(3x\).
- В задачах на работу за \(x\) берите время выполнения, а производительность записывайте как \(1/x\) — так формулы получаются короче.
И отдельное правило, которое спасает на тесте: перечитайте вопрос перед тем, как записать ответ. Очень часто \(x\) — это скорость первого, а спрашивают о втором.
Задача 1. Движение навстречу
Из двух городов, расстояние между которыми \(240\) км, одновременно навстречу выехали два автомобиля и встретились через \(2\) часа. Скорость второго на \(20\) км/ч больше скорости первого. Найдите скорость второго автомобиля.
Пусть \(x\) — скорость первого автомобиля, км/ч. Схема условия:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/ч} & t,\ \text{ч} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{Первый} & x & 2 & 2x \\ \text{Второй} & x+20 & 2 & 2(x+20) \end{array} \]Столбец \(s\) мы не читали из условия — посчитали по формуле \(s = vt\). Неиспользованная фраза — «расстояние \(240\) км», и она относится к сумме путей:
\[ 2x + 2(x+20) = 240 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 40 = 240 \quad\Longrightarrow\quad x = 50 \]Тогда скорость второго: \(50 + 20 = 70\) км/ч. О технике таких уравнений — в статье про линейные уравнения.
Проверка на здравый смысл. Обе скорости положительны и реалистичны для авто. Пути: \(2 \cdot 50 = 100\) км и \(2 \cdot 70 = 140\) км, вместе \(240\) км — совпадает. Спрашивали о втором, а не о \(x\).
Ответ: \(70\) км/ч.
Задача 2. Движение вдогонку
Мотоциклист выехал из города со скоростью \(40\) км/ч. Через \(1{,}5\) часа тем же маршрутом выехал автомобиль со скоростью \(70\) км/ч. Через сколько часов после своего выезда автомобиль догонит мотоциклиста?
Сначала начальный отрыв: за \(1{,}5\) ч мотоциклист проехал \(40 \cdot 1{,}5 = 60\) км. Дальше расстояние между ними сокращается на разность скоростей.
\[ v_{\text{сбл}} = 70 - 40 = 30 \ \text{км/ч}, \qquad t = \frac{60}{30} = 2 \ \text{ч} \]Проверка. За \(2\) ч автомобиль проедет \(70 \cdot 2 = 140\) км. Мотоциклист к этому моменту едет \(1{,}5 + 2 = 3{,}5\) ч и проедет \(40 \cdot 3{,}5 = 140\) км. Точки совпадают. Догон вообще возможен, потому что \(70 > 40\).
Ответ: через \(2\) часа.
Задача 3. Движение по течению и против течения
Катер прошёл \(42\) км по течению реки и \(30\) км против течения, затратив на весь путь \(6\) часов. Скорость течения \(2\) км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Пусть \(x\) — собственная скорость катера, км/ч. Тогда по течению он идёт со скоростью \(x+2\), против течения — \(x-2\).
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/ч} & s,\ \text{км} & t,\ \text{ч} \\ \hline \text{По течению} & x+2 & 42 & \dfrac{42}{x+2} \\[2mm] \text{Против течения} & x-2 & 30 & \dfrac{30}{x-2} \end{array} \]Неиспользованная фраза — «на весь путь \(6\) часов»:
\[ \frac{42}{x+2} + \frac{30}{x-2} = 6 \]Умножаем на \((x+2)(x-2)\), где \(x \neq \pm 2\):
\[ 42(x-2) + 30(x+2) = 6(x^2-4) \] \[ 72x - 24 = 6x^2 - 24 \quad\Longrightarrow\quad 6x^2 - 72x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x(x-12) = 0 \]Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 12\). Это типичная ситуация для квадратных уравнений в текстовых задачах — корней два, а подходит один.
Проверка. Корень \(x = 0\) отбрасываем: катера с нулевой собственной скоростью не существует, а против течения он имел бы скорость \(-2\) км/ч. Подставляем \(x = 12\): по течению \(14\) км/ч, \(42 : 14 = 3\) ч; против течения \(10\) км/ч, \(30 : 10 = 3\) ч; вместе \(6\) ч — совпадает. Условие \(x > 2\) выполнено, иначе катер не преодолел бы течение.
Ответ: \(12\) км/ч.
Больше разобранных сюжетов этого типа — в статье про задачи на движение.
Задача 4. Работа и производительность
Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за \(6\) часов. Первая труба сама наполняет его за \(10\) часов. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?
Ключевая договорённость: весь объём работы берём за \(1\). Тогда производительность — это доля работы за час.
\[ \begin{array}{l|c|c} & t,\ \text{ч} & \text{производительность} \\ \hline \text{Первая} & 10 & \dfrac{1}{10} \\[2mm] \text{Вторая} & x & \dfrac{1}{x} \\[2mm] \text{Вместе} & 6 & \dfrac{1}{6} \end{array} \]Правило. Производительности при совместной работе складываются: \(\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{t_{\text{вместе}}}\). Времена не складываются никогда.\[ \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5-3}{30} = \frac{1}{15} \]
Значит, \(x = 15\).
Проверка. Вместе за час: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{1}{6}\) — именно столько и требуется. Главная проверка на смысл: совместное время \((6)\) должно быть меньше времени каждой трубы по отдельности \((10\) и \(15)\). Если получилось наоборот — знак в уравнении перепутан.
Ответ: \(15\) часов.
Задача 5. Проценты и скидки
Цену товара сначала снизили на \(20\%\), а затем ещё на \(15\%\) от новой цены. После этого товар стоит \(1360\) грн. Какой была первоначальная цена?
Пусть \(x\) — первоначальная цена, грн. Снижение на \(20\%\) означает умножение на \(0{,}8\), следующее снижение на \(15\%\) — умножение на \(0{,}85\).
\[ \begin{array}{l|c|c} \text{Этап} & \text{Множитель} & \text{Цена} \\ \hline \text{Начало} & - & x \\ \text{После } 20\% & 0{,}8 & 0{,}8x \\ \text{После } 15\% & 0{,}85 & 0{,}68x \end{array} \] \[ 0{,}68x = 1360 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1360}{0{,}68} = 2000 \]Проверка. \(2000 \cdot 0{,}8 = 1600\), затем \(1600 \cdot 0{,}85 = 1360\) — совпадает. Общая скидка составила \(32\%\), а не \(35\%\): проценты от разных баз не складываются. И контроль абсурда — скидка вышла меньше \(100\%\), конечная цена положительна. Детали — в статье про задачи на проценты.
Ответ: \(2000\) грн.
Задача 6. Смеси и сплавы
Сплав массой \(40\) кг содержит \(25\%\) меди. Сколько килограммов чистой меди нужно добавить, чтобы содержание меди в новом сплаве составило \(40\%\)?
Универсальный приём для смесей: считаем не проценты, а массу чистого вещества. В исходном сплаве её \(0{,}25 \cdot 40 = 10\) кг. Пусть добавили \(x\) кг меди.
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & \text{Масса сплава, кг} & \text{Доля меди} & \text{Масса меди, кг} \\ \hline \text{Было} & 40 & 0{,}25 & 10 \\ \text{Добавили} & x & 1 & x \\ \text{Стало} & 40+x & 0{,}4 & 10+x \end{array} \] \[ 10 + x = 0{,}4\,(40+x) \quad\Longrightarrow\quad 10 + x = 16 + 0{,}4x \quad\Longrightarrow\quad 0{,}6x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 10 \]Проверка. Новый сплав весит \(50\) кг и содержит \(20\) кг меди: \(20 : 50 = 0{,}4 = 40\%\). Смысл: добавленного вещества вышло меньше массы сплава, доля выросла с \(25\%\) до \(40\%\) и не превысила \(100\%\), масса положительна.
Ответ: \(10\) кг.
Задача 7. Пропорциональное деление
Премию \(1260\) грн распределили между тремя работниками пропорционально отработанным часам — в отношении \(2 : 3 : 4\). Сколько гривен получил тот, кто работал больше всех?
Метод одной части: пусть одна часть равна \(x\) грн.
\[ 2x + 3x + 4x = 1260 \quad\Longrightarrow\quad 9x = 1260 \quad\Longrightarrow\quad x = 140 \] \[ \begin{array}{l|c|c} \text{Работник} & \text{Частей} & \text{Сумма, грн} \\ \hline \text{Первый} & 2 & 280 \\ \text{Второй} & 3 & 420 \\ \text{Третий} & 4 & 560 \end{array} \]Проверка. \(280 + 420 + 560 = 1260\) — вся премия распределена. Отношение \(280 : 420 : 560\) действительно сводится к \(2 : 3 : 4\) после деления на \(140\). Спрашивали о наибольшей доле. Теорию смотрите в материале про пропорцию.
Ответ: \(560\) грн.
Задача 8. Практико-ориентированная: тарифы и окупаемость
Семья потребляет \(300\) кВт·ч электроэнергии в месяц, из них \(40\%\) — ночью. Однозонный тариф: \(4{,}32\) грн за кВт·ч. Двухзонный счётчик даёт ночью тариф \(2{,}16\) грн, а днём — тот же \(4{,}32\) грн. Установка двухзонного счётчика стоит \(2400\) грн. Через сколько полных месяцев он окупится?
Такие задачи выглядят длинными, но сводятся к трём арифметическим действиям. Ночное потребление: \(0{,}4 \cdot 300 = 120\) кВт·ч.
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & \text{кВт·ч} & \text{Однозонный, грн} & \text{Двухзонный, грн} \\ \hline \text{День} & 180 & 777{,}6 & 777{,}6 \\ \text{Ночь} & 120 & 518{,}4 & 259{,}2 \\ \hline \text{Всего} & 300 & 1296 & 1036{,}8 \end{array} \]Экономия за месяц: \(1296 - 1036{,}8 = 259{,}2\) грн. Количество месяцев до окупаемости:
\[ \frac{2400}{259{,}2} \approx 9{,}26 \]За \(9\) месяцев накопится \(9 \cdot 259{,}2 = 2332{,}8\) грн — этого ещё мало. За \(10\) месяцев будет \(2592\) грн, что уже превышает \(2400\) грн.
Проверка. Экономия возникает только на ночной части и равна \(120 \cdot (4{,}32 - 2{,}16) = 120 \cdot 2{,}16 = 259{,}2\) грн — тот же результат другим путём. Округлять \(9{,}26\) до \(9\) нельзя: вопрос о полной окупаемости, поэтому округляем вверх.
Ответ: через \(10\) месяцев.
Типичные ошибки
- Несогласованные единицы. \(60\) км/ч и \(30\) минут не перемножаются: сначала \(30\) мин \(= 0{,}5\) ч.
- Ответ не на тот вопрос. Нашли \(x = 50\) — скорость первого, а спрашивали о втором. Самая дорогая ошибка НМТ.
- Сложение процентов от разных баз. Скидки \(20\%\) и \(15\%\) дают не \(35\%\), а \(32\%\).
- Сложение времён в задачах на работу. Две трубы по \(10\) часов вместе работают не \(20\) и не \(10\), а \(5\) часов: складываются производительности.
- Неотброшенный посторонний корень. Отрицательная скорость, отрицательная масса, время меньше нуля, содержание вещества свыше \(100\%\) — всё это отбрасывается по смыслу задачи.
- Потерянное условие. Если в условии есть число, которое вы нигде не использовали, — уравнение почти наверняка составлено неверно.
- Игнорирование ОДЗ в дробных уравнениях. В задаче про катер знаменатели \(x+2\) и \(x-2\) требуют \(x \neq \pm 2\), а смысл задачи — ещё и \(x > 2\).
Вывод
Все восемь задач решены по одной схеме: участники — строки, неизвестное \(x\) со словесным описанием, неиспользованная фраза условия — уравнение, затем проверка на смысл. Тип задачи меняет только то, что стоит в столбцах: скорость и время, производительность, масса чистого вещества, гривны. Когда эта схема доведена до автоматизма, текстовая часть НМТ перестаёт быть лотереей. Если на каком-то из восьми типов вы застряли — приходите на пробное занятие, разберём именно ваше слабое звено.
Сколько текстовых задач на НМТ по математике?
Точное количество каждый год разное, фиксированной квоты на тип задачи нет. Известно другое: НМТ по математике 2026 содержит \(22\) задания, максимум — \(32\) тестовых балла. Текстовые задачи встречаются и в части с выбором ответа, и среди заданий с ответом-числом, поэтому игнорировать этот блок не получится.
Что делать, если не получается составить уравнение?
Составьте таблицу со строками-участниками, даже если ещё не видите уравнения. Заполните всё, что дано, и всё, что вычисляется по формулам. Затем перечитайте условие и найдите фразу, число из которой ещё нигде не появилось — именно она и даёт уравнение. Приём работает во всех типах, от движения до сплавов.
Можно ли решать текстовые задачи системой уравнений?
Да, и часто это даже проще: два неизвестных с двумя естественными условиями вместо одного неизвестного со сложным выражением. Технику смотрите в статье про системы линейных уравнений. На НМТ ограничений на метод нет — оценивается только ответ.
Как быстро проверить ответ на тесте?
Подставьте найденное число обратно в условие словами, а не в уравнение. «Скорость \(70\), за \(2\) часа это \(140\) км» — и сразу видно, сходится ли. Дополнительно проверьте знак и масштаб: скорость не бывает отрицательной, процент содержания не бывает свыше \(100\), совместная работа не длится дольше работы поодиночке.
