Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная стоит в показателе степени. Тема 11 класса, регулярно встречающаяся на НМТ и выглядящая сложной только до тех пор, пока ученик не увидит, что все задачи сводятся к четырём стандартным приёмам. Неравенства добавляют к этому одну-единственную, но очень коварную деталь: при основании, меньшем единицы, знак неравенства переворачивается. На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем эти приёмы отдельными блоками — так ученик перестаёт гадать, какой метод применить, и начинает узнавать тип уравнения с первого взгляда.

Определение и главное свойство

Определение. Показательным называют уравнение, в котором переменная входит только в показатель степени при постоянном основании: \(a^{f(x)} = b\), \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) и подобные, где \(a > 0\), \(a \neq 1\).

Вся техника решения опирается на одно свойство показательной функции — она строго монотонна: при \(a > 1\) возрастает, при \(0 < a < 1\) убывает. Монотонная функция каждое своё значение принимает ровно один раз, поэтому равные степени возможны только при равных показателях.

Основная равносильность. Если \(a > 0\) и \(a \neq 1\), то \[a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x).\]

Обратите внимание ещё на одну вещь, которая потом спасёт вас при замене переменной: показательная функция принимает только положительные значения. Уравнения \(2^x = -8\) или \(3^x = 0\) решений не имеют, и это видно без всяких преобразований.

Метод приведения к одинаковому основанию

Базовый приём: обе части записывают как степени одного и того же числа, после чего приравнивают показатели. Работает, когда основания являются степенями общего числа: \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(0{,}2 = 5^{-1}\).

Здесь неизбежно понадобятся свойства степеней, в частности работа с отрицательным показателем: \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}\).

Вынесение общего множителя

Когда в уравнении несколько степеней с одним основанием, но разными показателями, которые отличаются на постоянную — \(3^{x+2}\) и \(3^x\), \(2^{x-1}\) и \(2^{x+3}\) — за скобки выносят наименьшую степень. Ключ в том, что \(a^{x+k} = a^x \cdot a^k\), то есть каждое слагаемое — это \(a^x\), умноженное на конкретное число.

Замена переменной: сведение к квадратному уравнению

Если в уравнении есть \(a^{2x}\) (он же \(\left(a^{2}\right)^{x}\) — это записи \(4^x\), \(9^x\), \(25^x\)) и \(a^x\), делаем замену \(t = a^x\) и получаем обычное квадратное уравнение. Полезно помнить, что \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\) — именно это равенство и делает замену возможной.

Обязательное условие замены. Поскольку \(t = a^x > 0\) при любом \(x\), все неположительные корни квадратного уравнения отбрасывают. Возвращаться к переменной \(x\) можно только из положительных значений \(t\).

Это не формальность, а половина балла за задачу. Ученик находит \(t = 4\) и \(t = -3\), радуется двум корням, возвращается к \(2^x = -3\) и пишет что-нибудь вроде \(x = -\log_2 3\). Такого корня не существует: степень с положительным основанием отрицательной быть не может.

Однородные уравнения

Определение. Однородным показательным называют уравнение вида \(A \cdot a^{2x} + B \cdot (ab)^{x} + C \cdot b^{2x} = 0\) — все три слагаемых имеют одинаковую суммарную «степень».

Распознать его легко: среднее слагаемое содержит произведение оснований. Например, в уравнении с \(4^x\), \(6^x\), \(9^x\) видим \(6 = 2 \cdot 3\), \(4 = 2^2\), \(9 = 3^2\). Решают так: делят всё уравнение на \(b^{2x}\) (это законно, потому что \(b^{2x} \neq 0\) никогда) и делают замену \(t = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x\). И снова — только положительные \(t\).

Показательные неравенства: главная ловушка темы

Переход от неравенства степеней к неравенству показателей зависит от основания. Причина — монотонность: возрастающая функция сохраняет порядок, убывающая его переворачивает.

Правило. Пусть \(a > 1\). Тогда \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)\) — знак сохраняется.
Пусть \(0 < a < 1\). Тогда \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)\) — знак меняется на противоположный.

Проверить правило можно на пальцах, без теории. Возьмите \(a = \dfrac{1}{2}\): \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\), а \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\). Показатель больше, а сама степень меньше — потому что каждое следующее умножение на \(\dfrac{1}{2}\) уменьшает число. Значит, для основания \(\dfrac{1}{2}\) больший показатель даёт меньшую степень, и при переходе к показателям неравенство приходится переворачивать.

Практический совет: если основание дробное, приведите его к целому через отрицательный показатель — \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k} = 3^{-k}\). Тогда вы работаете с основанием \(3 > 1\), знак сохраняется, а «переворот» происходит автоматически при умножении показателей на \(-1\). Это тот же шаг, что и в обычных неравенствах, где умножение на отрицательное число меняет знак.

Примеры с решением

Пример 1 (одинаковое основание). Решить \(9^{x+1} = 27^{x-1}\).

Оба основания — степени тройки: \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\). Получаем \(3^{2(x+1)} = 3^{3(x-1)}\), то есть \(3^{2x+2} = 3^{3x-3}\). Приравниваем показатели: \(2x + 2 = 3x - 3\), откуда \(x = 5\).

Проверка: \(9^{6} = 531441\), \(27^{4} = 531441\) — равенство выполняется.

Ответ: \(x = 5\).

Пример 2 (общий множитель). Решить \(3^{x+2} - 3^{x} = 72\).

Записываем \(3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x\) и выносим \(3^x\) за скобки: \(3^x(9 - 1) = 72\), то есть \(8 \cdot 3^x = 72\), откуда \(3^x = 9 = 3^2\) и \(x = 2\).

Проверка: \(3^{4} - 3^{2} = 81 - 9 = 72\).

Ответ: \(x = 2\).

Пример 3 (замена переменной). Решить \(4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0\).

Поскольку \(4^x = (2^x)^2\), делаем замену \(t = 2^x\), \(t > 0\). Имеем \(t^2 - 5t + 4 = 0\). По теореме Виета \(t_1 = 1\), \(t_2 = 4\) — оба положительны, оба подходят.

Возвращаемся: \(2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0\); \(2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2\).

Проверка: при \(x = 0\): \(1 - 5 + 4 = 0\); при \(x = 2\): \(16 - 20 + 4 = 0\).

Ответ: \(x = 0\), \(x = 2\).

Пример 4 (замена с отбрасыванием корня). Решить \(9^{x} - 2 \cdot 3^{x} - 3 = 0\).

Замена \(t = 3^x\), \(t > 0\), потому что \(9^x = (3^x)^2\). Уравнение: \(t^2 - 2t - 3 = 0\), корни \(t_1 = 3\), \(t_2 = -1\).

Корень \(t_2 = -1\) отбрасываем: \(3^x\) не может равняться отрицательному числу. Остаётся \(3^x = 3\), то есть \(x = 1\).

Проверка: \(9^{1} - 2 \cdot 3^{1} - 3 = 9 - 6 - 3 = 0\).

Ответ: \(x = 1\).

Пример 5 (однородное). Решить \(3 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 6^{x} + 2 \cdot 9^{x} = 0\).

Здесь \(4 = 2^2\), \(6 = 2 \cdot 3\), \(9 = 3^2\) — уравнение однородное. Делим обе части на \(9^x \neq 0\): \[3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{x} - 5 \cdot \left(\frac{6}{9}\right)^{x} + 2 = 0.\] Так как \(\dfrac{4}{9} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\), а \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\), замена \(t = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} > 0\) даёт \(3t^2 - 5t + 2 = 0\). Корни: \(t_1 = 1\), \(t_2 = \dfrac{2}{3}\) — оба положительны.

Возвращаемся: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} = 1 \Rightarrow x = 0\); \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = 1\).

Проверка: при \(x = 0\): \(3 - 5 + 2 = 0\); при \(x = 1\): \(3 \cdot 4 - 5 \cdot 6 + 2 \cdot 9 = 12 - 30 + 18 = 0\).

Ответ: \(x = 0\), \(x = 1\).

Пример 6 (два неравенства на контрасте).

а) Решить \(2^{x^2 - 3x} < 16\). Основание \(2 > 1\), поэтому знак сохраняется. Записываем \(16 = 2^4\) и переходим к показателям: \(x^2 - 3x < 4\), то есть \(x^2 - 3x - 4 < 0\). Корни \(-1\) и \(4\), парабола ветвями вверх, отрицательна между корнями: \(-1 < x < 4\).

Проверка: при \(x = 0\) имеем \(2^{0} = 1 < 16\) — да; при \(x = 5\) имеем \(2^{10} = 1024 < 16\) — нет; при \(x = -1\) получаем ровно \(16\), граница не входит.

Ответ: \(x \in (-1;\; 4)\).

б) Решить \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x-1} > \dfrac{1}{27}\). Основание \(\dfrac{1}{3}\), и \(0 < \dfrac{1}{3} < 1\), поэтому знак неравенства меняется. Записываем \(\dfrac{1}{27} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\) и переходим к показателям с переворотом: \(2x - 1 < 3\), откуда \(2x < 4\) и \(x < 2\).

Проверка: при \(x = 1\) имеем \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1} = \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{27}\) — да; при \(x = 3\) имеем \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5} = \dfrac{1}{243}\), что меньше \(\dfrac{1}{27}\) — нет. Если бы знак не перевернули, получили бы \(x > 2\), то есть ровно противоположный и неверный ответ.

Ответ: \(x \in (-\infty;\; 2)\).

Типичные ошибки

• Не перевернули знак при основании \(0 < a < 1\). Главная ошибка темы. Из \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} > \dfrac{1}{8}\) пишут \(x > 3\) вместо правильного \(x < 3\). Правило: прежде чем переходить к показателям, вслух назовите основание и сравните его с единицей.
• Оставили отрицательный корень после замены. Нашли \(t = -1\) и пытаются решить \(3^x = -1\). Условие \(t > 0\) — не «дополнительная проверка», а часть замены, записывайте его сразу.
• Перевернули знак в неравенстве с основанием \(a > 1\) «на всякий случай». Излишняя осторожность вредит не меньше невнимательности: при \(a > 1\) знак остаётся без изменений.
• Путают \(a^{2x}\) и \(2a^{x}\). \(4^x = (2^x)^2\), а не \(2 \cdot 2^x\). Второе — это \(2^{x+1}\).
• Делят однородное уравнение на \(a^x\) и теряются в дробях. Делить нужно на степень с наибольшим основанием (либо с наименьшим — последовательно), тогда после замены выходит аккуратное квадратное уравнение.
• Сокращают показатели без общего основания. Из равенства \(2^{x} = 3^{x}\) не следует, что \(x\) любое: здесь единственный корень \(x = 0\), и найти его можно только делением: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = 1\).

Вывод

Показательные уравнения держатся на четырёх приёмах: одинаковое основание, вынесение общего множителя, замена переменной и однородность. Неравенства добавляют одно правило про основание, меньшее единицы, — и именно оно приносит больше всего потерянных баллов. Если эти конструкции пока не складываются в систему, приходите на пробное занятие: за одну встречу мы разберём, какой тип уравнения вы узнаёте сразу, а какой до сих пор заставляет угадывать.

Как понять, какой метод применить?

Смотрите на основания. Одно основание и одна степень — приводим к одинаковому основанию. Одно основание, показатели отличаются на постоянную — выносим общий множитель. Есть \(a^{2x}\) и \(a^{x}\) — замена переменной. Три слагаемых, и среднее основание является произведением крайних — однородное уравнение, делим на крайнюю степень.

Почему в неравенстве с основанием, меньшим единицы, знак меняется?

Потому что функция \(y = a^x\) при \(0 < a < 1\) убывает: чем больше показатель, тем меньше значение степени. Сравнение степеней и сравнение показателей дают противоположные результаты, поэтому при переходе от одного к другому знак неравенства переворачивается.

Всегда ли после замены \(t = a^x\) нужно писать \(t > 0\)?

Да. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому неположительные корни квадратного уравнения не дают ни одного решения исходного уравнения. Пропущенное условие \(t > 0\) приводит либо к лишним «корням», либо к потере балла за необоснованность.

Сколько корней может иметь показательное уравнение?

Уравнение вида \(a^{x} = b\) имеет ровно один корень при \(b > 0\) и ни одного при \(b \leq 0\) — из-за монотонности функции. Уравнения, сводящиеся к квадратным, могут иметь два корня, один или ни одного — в зависимости от того, сколько положительных значений \(t\) дало квадратное уравнение.