Дотична до кола: означення, властивості, ознака, приклади задач
Дотична — це та тема, після якої задачі на коло раптом стають розв'язними. Причина проста: дотична створює на рисунку прямий кут, а прямий кут — це теорема Піфагора, тригонометрія і подібність. Учні часто вчать формулювання «дотична перпендикулярна до радіуса» і не використовують його, бо не бачать, де саме той радіус треба провести. На заняттях у Tutor-Math ми починаємо з протилежного боку: спершу навчаємося будувати радіус у точку дотику, а вже потім згадуємо теорію. Нижче — той самий порядок.
Взаємне розміщення прямої й кола
Усе починається з одного числа — відстані від центра кола до прямої. Це не «відстань до якоїсь точки прямої», а довжина перпендикуляра, опущеного з центра \( O \) на пряму. Позначимо її \( d \), радіус — \( R \). Можливі рівно три випадки.
Якщо \( d > R \) — пряма і коло не мають спільних точок. Якщо \( d = R \) — пряма і коло мають рівно одну спільну точку (пряма є дотичною). Якщо \( d < R \) — пряма і коло мають дві спільні точки (пряма є січною).
Логіка наочна. Найближча до центра точка прямої — це основа перпендикуляра \( H \). Якщо \( OH > R \), уся пряма поза колом; якщо \( OH = R \), точка \( H \) лежить на колі, а решта точок прямої — за його межами; якщо \( OH < R \), точка \( H \) всередині круга, і пряма перетинає коло двічі. Базові поняття — радіус, хорда, дуга — розібрані у статті коло і круг.
Практичний висновок: у будь-якій задачі про пряму й коло першою дією рахуйте \( d \) і порівнюйте з \( R \). Це відповідає на питання «скільки спільних точок» без жодних рівнянь.
Означення дотичної
Дотична до кола — це пряма, яка має з колом рівно одну спільну точку. Ця точка називається точкою дотику.
Формально важлива саме кількість спільних точок: у січної їх дві, у дотичної — одна, у сторонньої прямої — жодної.
Головна властивість: дотична перпендикулярна до радіуса
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Якщо пряма \( AB \) дотикається кола з центром \( O \) в точці \( A \), то \( OA \perp AB \), тобто \( \angle OAB = 90^\circ \).
Доведення від супротивного займає два рядки. Нехай радіус \( OA \) не перпендикулярний до дотичної. Тоді опустимо з центра перпендикуляр \( OH \) на цю пряму, причому \( H \ne A \). Перпендикуляр коротший за похилу, отже \( OH < OA = R \). Але \( OH < R \) означає, що пряма — січна, тобто має дві спільні точки з колом. Це суперечить означенню дотичної. Отже, \( H = A \) і \( OA \perp AB \).
Тепер найважливіше — чому саме ця властивість є головним робочим інструментом теми. Прямий кут — найдорожчий об'єкт у планіметрії. Щойно ви провели радіус у точку дотику, у вас безкоштовно з'явився прямокутний трикутник, у якому:
- радіус \( OA = R \) — один катет;
- відрізок дотичної \( AM \) від точки дотику до зовнішньої точки \( M \) — другий катет;
- відстань \( OM \) від центра до зовнішньої точки — гіпотенуза.
Звідси одразу працює теорема Піфагора:
\[ OM^2 = R^2 + AM^2, \qquad AM = \sqrt{OM^2 - R^2}. \]
Правило-пам'ятка: побачив слово «дотична» — проведи радіус у точку дотику. Не думаючи, навіщо. У більшості задач саме цей відрізок і виявляється ключем: він перетворює хаотичний рисунок на прямокутний трикутник із двома відомими сторонами.
Ознака дотичної (зворотне твердження)
Якщо пряма проходить через точку кола і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то ця пряма — дотична до кола.
Це зворотний хід тієї самої думки: якщо \( OA \perp \ell \) і точка \( A \) лежить на \( \ell \), то \( OA \) — перпендикуляр з центра на пряму, тобто \( d = OA = R \), а це і є випадок дотику.
Ознака потрібна, коли треба щось довести, а не обчислити. Схема доведення завжди однакова: провести радіус у передбачувану точку дотику і показати, що кут прямий — або порахувати відстань від центра до прямої і показати, що вона дорівнює \( R \).
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки
Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї зовнішньої точки, рівні: якщо \( MA \) і \( MB \) — дотичні з точки \( M \), де \( A \) і \( B \) — точки дотику, то \( MA = MB \). Крім того, промінь \( MO \) є бісектрисою кута \( AMB \).
Доведення: прямокутні трикутники \( OAM \) і \( OBM \) мають спільну гіпотенузу \( OM \) і рівні катети \( OA = OB = R \), отже вони рівні. Звідси \( MA = MB \) і \( \angle AMO = \angle BMO \).
Ця властивість — основа всіх задач про вписане коло. Воно дотикається всіх трьох сторін трикутника, тому з кожної вершини виходять два рівні відрізки дотичних \( x \), \( y \), \( z \), а сторони записуються як \( x+y \), \( y+z \), \( z+x \). Самі відрізки дорівнюють \( p - a \), де \( p \) — півпериметр, а \( a \) — протилежна сторона. Детальніше про вписані й описані кола — у статті вписане і описане коло.
Той самий факт дає критерій для чотирикутника: у чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми протилежних сторін рівні, \( AB + CD = BC + AD \).
Кут між дотичною і хордою
Кут між дотичною і хордою, проведеною в точку дотику, дорівнює половині дуги, що лежить усередині цього кута.
Це граничний випадок теореми про вписаний кут: якщо вершина вписаного кута ковзає по колу і зливається з кінцем хорди, одна сторона кута перетворюється на дотичну. Наслідок, зручний у задачах: кут між дотичною і хордою дорівнює вписаному куту, що спирається на цю хорду з протилежного боку. Сама теорема про вписаний кут розібрана у статті вписаний кут.
Дотик двох кіл
Два кола дотикаються, якщо мають рівно одну спільну точку. Дотик зовнішній, якщо кола лежать по різні боки від спільної дотичної: тоді \( d = R + r \). Дотик внутрішній, якщо одне коло лежить усередині іншого: тоді \( d = |R - r| \). Тут \( d \) — відстань між центрами.
Ключове й однакове в обох випадках: точка дотику лежить на прямій, що з'єднує центри. Саме тому відстань між центрами так просто виражається через радіуси. При зовнішньому дотику точка дотику лежить між центрами, при внутрішньому — по один бік від обох.
Наприклад, кола радіусів \( 8 \) і \( 3 \) дотикаються зовнішньо при \( d = 11 \) і внутрішньо при \( d = 5 \). Якщо \( 5 < d < 11 \), вони перетинаються у двох точках; поза цим проміжком спільних точок немає.
Приклад 1. Скільки спільних точок і яка хорда
Радіус кола \( R = 10 \) см. Скільки спільних точок з колом має пряма, віддалена від центра на \( 6 \) см, на \( 10 \) см, на \( 13 \) см? Для першого випадку знайти довжину хорди.
Порівнюємо \( d \) і \( R \): \( 6 < 10 \) — дві точки (січна); \( 10 = 10 \) — одна точка (дотична); \( 13 > 10 \) — спільних точок немає.
Хорда: перпендикуляр \( OH = 6 \) з центра на січну ділить хорду \( AB \) навпіл. У прямокутному трикутнику \( OHA \) гіпотенуза \( OA = R = 10 \), катет \( OH = 6 \):
\[ AH = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8, \qquad AB = 2 \cdot 8 = 16. \]
Відповідь: дві точки, одна точка, жодної; хорда \( AB = 16 \) см.
Приклад 2. Довжина відрізка дотичної
З точки \( M \), віддаленої від центра кола на \( 13 \) см, проведено дотичну. Радіус кола \( 5 \) см. Знайти відрізок дотичної \( MA \).
Проводимо радіус \( OA \) у точку дотику. За головною властивістю \( \angle OAM = 90^\circ \), тому трикутник \( OAM \) прямокутний з гіпотенузою \( OM \):
\[ MA = \sqrt{OM^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12. \]
Перевірка: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \) — рівність виконується.
Відповідь: \( MA = 12 \) см.
Приклад 3. Дві дотичні з однієї точки
З точки \( M \) до кола радіуса \( 5 \) см проведено дві дотичні \( MA \) і \( MB \). Відстань \( OM = 10 \) см. Знайти кут між дотичними та відстань \( AB \).
У прямокутному трикутнику \( OAM \) катет \( OA = 5 \) удвічі менший за гіпотенузу \( OM = 10 \), отже
\[ \sin \angle AMO = \frac{OA}{OM} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \qquad \angle AMO = 30^\circ. \]
Промінь \( MO \) — бісектриса кута \( AMB \), тому \( \angle AMB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \). Довжина дотичної:
\[ MA = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}. \]
Трикутник \( AMB \) рівнобедрений (\( MA = MB \)) з кутом при вершині \( 60^\circ \), отже він рівносторонній, і \( AB = MA = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \) см.
Відповідь: \( \angle AMB = 60^\circ \), \( AB = 5\sqrt{3} \) см.
Приклад 4. Вписане коло і відрізки дотичних
У трикутник зі сторонами \( AB = 13 \), \( BC = 14 \), \( CA = 15 \) вписано коло. Знайти відрізки, на які точки дотику ділять сторони.
Позначимо через \( x \), \( y \), \( z \) відрізки дотичних з вершин \( A \), \( B \), \( C \) відповідно. Оскільки дотичні з однієї точки рівні:
\[ x + y = 13, \qquad y + z = 14, \qquad z + x = 15. \]
Додамо всі три рівності: \( 2(x+y+z) = 42 \), тобто \( x+y+z = 21 = p \) — півпериметр. Тепер віднімаємо по черзі:
\[ x = 21 - 14 = 7, \qquad y = 21 - 15 = 6, \qquad z = 21 - 13 = 8. \]
Підстановка назад: \( 7 + 6 = 13 \), \( 6 + 8 = 14 \), \( 8 + 7 = 15 \) — усі три умови виконуються. Загальне правило видно одразу: відрізок дотичної з вершини дорівнює \( p \) мінус протилежна сторона.
Відповідь: \( 7 \) і \( 6 \) на стороні \( AB \), \( 6 \) і \( 8 \) на \( BC \), \( 8 \) і \( 7 \) на \( CA \).
Приклад 5. Кут між дотичною і хордою
До кола в точці \( A \) проведено дотичну. Кут між дотичною і хордою \( AB \) дорівнює \( 65^\circ \). Знайти дугу \( AB \) всередині цього кута, центральний кут \( \angle AOB \) і кути трикутника \( AOB \).
Дуга дорівнює подвоєному куту: \( 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ \). Центральний кут спирається на ту саму дугу, тому \( \angle AOB = 130^\circ \).
Трикутник \( AOB \) рівнобедрений, бо \( OA = OB = R \), отже кути при основі:
\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 130^\circ}{2} = 25^\circ. \]
Контроль: кут між дотичною і радіусом \( OA \) має бути прямим, і справді \( 65^\circ + 25^\circ = 90^\circ \).
Відповідь: дуга \( 130^\circ \), \( \angle AOB = 130^\circ \), кути при основі по \( 25^\circ \).
Приклад 6. Дотик двох кіл і спільна дотична
Два кола радіусів \( 5 \) см і \( 3 \) см дотикаються зовнішньо. Знайти відстань між центрами і довжину відрізка спільної зовнішньої дотичної між точками дотику.
При зовнішньому дотику \( d = R + r = 5 + 3 = 8 \) см.
Нехай дотична торкається кіл у точках \( A \) і \( B \). Радіуси \( O_1A \) і \( O_2B \) перпендикулярні до неї, отже паралельні між собою. Опустимо з \( O_2 \) перпендикуляр на \( O_1A \); отримаємо прямокутний трикутник з гіпотенузою \( O_1O_2 = 8 \) і катетом \( R - r = 2 \):
\[ AB = \sqrt{d^2 - (R-r)^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \approx 7{,}75 \text{ см}. \]
Контроль через загальну формулу для зовнішнього дотику: \( AB = 2\sqrt{Rr} = 2\sqrt{5 \cdot 3} = 2\sqrt{15} \) — той самий результат.
Відповідь: \( d = 8 \) см, \( AB = 2\sqrt{15} \approx 7{,}75 \) см.
Типові помилки
- Беруть відстань не до тієї точки. У правилі \( d \) — це довжина перпендикуляра з центра на пряму, а не відстань до довільної точки прямої. Через це «пряма не перетинає коло» пишуть там, де вона його перетинає.
- Проводять радіус не в точку дотику. Перпендикулярність гарантована лише для радіуса, проведеного саме в точку дотику. Будь-який інший радіус до дотичної не перпендикулярний.
- Плутають катет із гіпотенузою. У трикутнику «центр — точка дотику — зовнішня точка» гіпотенуза це \( OM \) (відстань до центра), а радіус і дотична — катети. Формула \( AM = \sqrt{OM^2 - R^2} \), а не навпаки.
- Використовують властивість замість ознаки. Щоб довести дотик, потрібна ознака: показати, що \( d = R \) або що радіус перпендикулярний. Посилатися на властивість дотичної, ще не довівши, що пряма дотична, — логічна помилка.
- Забувають про другий випадок дотику кіл. Умова «кола дотикаються» без уточнення допускає і \( d = R + r \), і \( d = |R - r| \). Часто в задачі потрібні обидві відповіді.
- Беруть не ту дугу в куті між дотичною і хордою. Працює дуга, що лежить усередині кута. Для другої дуги відповідь буде іншою: замість \( 130^\circ \) вийде \( 230^\circ \).
Висновок
Уся тема тримається на одному прямому куті. Дотична перпендикулярна до радіуса в точці дотику — це не абстрактний факт, а спосіб отримати прямокутний трикутник із радіусом і відрізком дотичної в катетах. Далі працює Піфагор. Решта — три випадки розміщення за порівнянням \( d \) і \( R \), рівність відрізків дотичних з однієї точки та дві формули дотику кіл: \( d = R + r \) і \( d = |R - r| \).
Якщо задачі на коло досі здаються набором випадкових рисунків, це питання практики під наглядом. Запишіться на пробне заняття — розберемо вашу задачу і поставимо звичку проводити радіус у точку дотику першою дією.
Чим дотична відрізняється від січної?
Кількістю спільних точок з колом. Дотична має рівно одну спільну точку, січна — дві. Через відстань від центра до прямої: у дотичної \( d = R \), у січної \( d < R \). Якщо \( d > R \), пряма не має з колом спільних точок узагалі.
Скільки дотичних можна провести до кола з однієї точки?
Залежить від розміщення точки. З точки поза колом — рівно дві, і відрізки цих дотичних рівні між собою. З точки на самому колі — рівно одну. З точки всередині круга — жодної.
Як довести, що пряма є дотичною до кола?
Двома способами. Перший: знайти відстань від центра до прямої і показати, що вона дорівнює радіусу. Другий (ознака дотичної): показати, що пряма проходить через точку кола і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку. Обидва способи рівносильні.
Як знайти відстань між центрами кіл, що дотикаються?
Точка дотику завжди лежить на лінії центрів, тому відстань виражається через радіуси. При зовнішньому дотику \( d = R + r \), при внутрішньому \( d = |R - r| \). Якщо в умові не сказано, який саме дотик, розглядайте обидва випадки.
