Формули додавання та подвійного кута
Таблиця значень синуса й косинуса охоплює лише кілька «зручних» кутів: \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\). Але в задачах постійно трапляються \(15^\circ\), \(75^\circ\), \(22{,}5^\circ\) — і саме формули додавання дозволяють дістати їхні точні значення, розклавши кут на суму або різницю табличних. З цих же формул виростають формули подвійного кута, пониження степеня й перетворення суми на добуток — увесь робочий інструментарій тригонометрії 10 класу.
На заняттях у Tutor-Math ми не змушуємо зубрити цей блок формул списком. Учень має бачити, що всі вони — наслідки двох базових рівностей, і вміти вивести решту за півхвилини на чернетці. Тоді формула не «вилітає з голови» на контрольній.
Формули додавання: синус і косинус суми та різниці
Для будь-яких кутів \(\alpha\) і \(\beta\):
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] \[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\] \[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\] \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]
Дві речі, які треба закарбувати. По-перше, у синусі функції перемішуються (синус-косинус, косинус-синус), а в косинусі — ні (косинус-косинус, синус-синус). По-друге, знак у косинусі протилежний до знака в дужках: у \(\cos(\alpha+\beta)\) стоїть мінус, у \(\cos(\alpha-\beta)\) — плюс. У синусі знак збігається зі знаком у дужках.
Ці рівності виконуються тотожно, тобто за будь-яких значень кутів. Якщо забули знак — підставте \(\alpha=\beta=0\) або \(\alpha=\beta=45^\circ\) і перевірте: \(\cos(45^\circ+45^\circ)=\cos 90^\circ=0\), а \(\cos 45^\circ\cos 45^\circ-\sin 45^\circ\sin 45^\circ=0{,}5-0{,}5=0\). Збіглося — знак правильний.
Для тангенса формули випливають діленням:
\[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta},\qquad \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\]Тут знаки, навпаки, «перевернуті» відносно чисельника — у знаменнику суми стоїть мінус.
Формули подвійного кута
Покладемо \(\beta=\alpha\) у формулах додавання — і отримаємо подвійний кут без жодного нового доведення:
\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\] \[\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\] \[\operatorname{tg}2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\]
Формула косинуса подвійного кута має ще дві форми. Скориставшись основною тригонометричною тотожністю \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), замінюємо в ній то \(\sin^2\alpha\), то \(\cos^2\alpha\):
\[\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\]Коли яка форма зручніша. Це не педантизм, це економія часу:
- \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) — коли відомі обидві функції або треба розкласти вираз на множники: \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)\).
- \(2\cos^2\alpha-1\) — коли в задачі фігурує лише косинус, і коли з виразу треба «витягнути» \(\cos^2\alpha\).
- \(1-2\sin^2\alpha\) — коли працюємо лише з синусом. Саме ця форма дає зручні згортки виду \(1-2\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ\).
Перевірка на числах: \(2\cos^2 15^\circ-1=2\cdot 0{,}9659258^2-1=0{,}8660254=\cos 30^\circ\). Сходиться.
Головна пастка: \(\sin 2\alpha \ne 2\sin\alpha\)
Це найпоширеніша помилка всієї теми. Спокуса «винести двійку» величезна, бо запис \(\sin 2\alpha\) візуально схожий на добуток. Але синус — це функція, а не множник: \(2\alpha\) стоїть усередині функції, і винести його звідти не можна, як не можна з \(\sqrt{4x}\) зробити \(4\sqrt{x}\).
Числовий контрприклад. Візьмемо \(\alpha=30^\circ\):
\[\sin 2\alpha=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866\] \[2\sin\alpha=2\sin 30^\circ=2\cdot\frac{1}{2}=1\]Числа різні: \(0{,}866\ne 1\). Ще різкіше при \(\alpha=45^\circ\): \(\sin 90^\circ=1\), а \(2\sin 45^\circ=\sqrt{2}\approx 1{,}414\). Значення взагалі вийшло за межі області значень синуса — вірна ознака, що формулу застосовано неправильно, адже \(|\sin x|\le 1\) завжди.
Правильно лише так: \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\). Косинус — не декорація, без нього рівність хибна.
Те саме стосується решти: \(\cos 2\alpha\ne 2\cos\alpha\), \(\sin\frac{\alpha}{2}\ne\frac{\sin\alpha}{2}\), \(\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta\). Загальне правило: жодна тригонометрична функція не є лінійною.
Формули пониження степеня та половинного кута
Розв'яжемо рівності \(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) і \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) відносно квадратів:
\[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\]
Це формули пониження степеня: другий степінь зникає, натомість кут подвоюється. Вони незамінні при інтегруванні та при спрощенні виразів із квадратами.
Якщо в них замінити \(\alpha\) на \(\frac{\alpha}{2}\), отримаємо формули половинного кута:
\[\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\qquad \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\]Знак перед коренем визначає чверть, у якій лежить кут \(\frac{\alpha}{2}\), а не кут \(\alpha\). Це місце, де губиться найбільше балів: учень знаходить чверть вихідного кута й ставить знак навмання.
Перетворення суми на добуток і навпаки
\[\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\] \[\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\] \[\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\] \[\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\]
Зверніть увагу на мінус в останній формулі — його забувають майже завжди. Перевірка: \(\cos 75^\circ-\cos 15^\circ=-0{,}7071\), а \(-2\sin 45^\circ\sin 30^\circ=-2\cdot 0{,}7071\cdot 0{,}5=-0{,}7071\). Без мінуса вийшов би хибний знак.
Зворотні формули (добуток у суму) отримують складанням формул додавання:
\[2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta),\qquad 2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\]Перетворення суми на добуток — головний інструмент при розв'язуванні тригонометричних рівнянь: рівняння виду «сума \(=0\)» після згортання в добуток розпадається на два простих.
Приклади з розв'язанням
Приклад 1. Обчислити \(\sin 75^\circ\).
Розкладаємо \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) — обидва доданки табличні:
\[\sin 75^\circ=\sin 45^\circ\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\]Числова перевірка: \(\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0{,}6124\), \(\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}3536\), сума \(\approx 0{,}9659\) — рівно стільки, скільки дає калькулятор для \(\sin 75^\circ\).
Відповідь: \(\sin 75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}9659\).
Приклад 2. Обчислити \(\cos 15^\circ\) і \(\operatorname{tg}75^\circ\).
Беремо \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\):
\[\cos 15^\circ=\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]Результат збігся з \(\sin 75^\circ\) — і це не випадковість: \(\cos 15^\circ=\sin(90^\circ-15^\circ)=\sin 75^\circ\) за формулами зведення.
Тепер тангенс, через \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\):
\[\operatorname{tg}75^\circ=\frac{\operatorname{tg}45^\circ+\operatorname{tg}30^\circ}{1-\operatorname{tg}45^\circ\operatorname{tg}30^\circ}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\]Перевірка: \(2+\sqrt{3}\approx 3{,}7321\), і \(\operatorname{tg}75^\circ\approx 3{,}7321\).
Відповідь: \(\cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(\operatorname{tg}75^\circ=2+\sqrt{3}\).
Приклад 3. Відомо, що \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\), кут \(\alpha\) — у першій чверті. Знайти \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\), \(\operatorname{tg}2\alpha\).
У першій чверті косинус додатний: \(\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}\).
\[\sin 2\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}\]Косинус подвійного кута порахуємо всіма трьома формами — результат має збігтися:
\[\cos 2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25};\quad 2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25};\quad 1-2\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25}\]Контроль: \(\left(\frac{24}{25}\right)^2+\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{576+49}{625}=1\) — основна тотожність виконана, отже помилки немає.
\[\operatorname{tg}2\alpha=\frac{24/25}{7/25}=\frac{24}{7}\]Відповідь: \(\sin 2\alpha=\dfrac{24}{25}\), \(\cos 2\alpha=\dfrac{7}{25}\), \(\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{24}{7}\).
Приклад 4. Спростити вираз \(\dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}\).
Тут якраз і працює вибір форми. У чисельнику розкриваємо подвійний кут, а в знаменнику беремо ту форму косинуса, що дає \(\cos^2\alpha\):
\[\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1+(2\cos^2\alpha-1)}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\]Якби ми взяли форму \(1-2\sin^2\alpha\), одиниця не скоротилася б — вираз лише ускладнився. Числова перевірка при \(\alpha=1\) рад: ліва частина \(\approx 1{,}5574\), \(\operatorname{tg}1\approx 1{,}5574\).
Відповідь: \(\operatorname{tg}\alpha\).
Приклад 5. Обчислити \(\cos 22{,}5^\circ\).
Кут \(22{,}5^\circ\) — половина від табличного \(45^\circ\). За формулою половинного кута:
\[\cos 22{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\]Знак плюс — бо \(22{,}5^\circ\) лежить у першій чверті, де косинус додатний. Перевірка: \(\sqrt{2+1{,}4142}=\sqrt{3{,}4142}\approx 1{,}8478\), поділити на \(2\) — \(0{,}9239\). Калькулятор для \(\cos 22{,}5^\circ\) дає те саме.
Відповідь: \(\cos 22{,}5^\circ=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0{,}9239\).
Приклад 6. Обчислити \(\sin 75^\circ+\sin 15^\circ\), не знаходячи доданків окремо.
\[\sin 75^\circ+\sin 15^\circ=2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2}=2\sin 45^\circ\cos 30^\circ\] \[=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\]Перевірка: \(\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}2247\); пряме додавання \(0{,}9659+0{,}2588=1{,}2247\). Збігається.
Відповідь: \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}2247\).
Типові помилки
- «Винесення» множника з-під функції: \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\) або \(\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\cos\alpha}{2}\). Контрприклад при \(\alpha=30^\circ\) розвінчує це за десять секунд.
- Плутанина знаків у формулах додавання. Найчастіше пишуть \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\). У косинусі знак завжди протилежний до знака в дужках.
- Забутий мінус у формулі \(\cos x-\cos y\). Це єдина з чотирьох формул суми-добутку, що починається з мінуса.
- Неправильна чверть у половинному куті. Знак кореня визначається чвертю кута \(\frac{\alpha}{2}\), а не \(\alpha\). Якщо \(\alpha=300^\circ\) (четверта чверть), то \(\frac{\alpha}{2}=150^\circ\) — друга чверть, там косинус від'ємний.
- Вибір незручної форми \(\cos 2\alpha\). Формально не помилка, але розв'язання роздувається вдвічі. Дивіться, що стоїть поруч: одиниця в сумі — беріть \(2\cos^2\alpha-1\), одиниця в різниці — \(1-2\sin^2\alpha\).
- Втрата області визначення в тангенсі. Формула \(\operatorname{tg}2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\) не працює, коли \(\operatorname{tg}\alpha=\pm 1\), тобто при \(\alpha=45^\circ\): знаменник обертається на нуль.
- Відсутність самоперевірки. Знайшли \(\sin 2\alpha\) і \(\cos 2\alpha\) — підставте у \(\sin^2+\cos^2=1\). Це коштує п'яти секунд і ловить майже будь-яку арифметичну похибку.
Висновок
Формули додавання — фундамент; подвійний кут, половинний кут, пониження степеня та перетворення суми на добуток є їхніми прямими наслідками. Достатньо впевнено пам'ятати чотири базові рівності для синуса й косинуса — решту виводять за кілька рядків. А найважливіше правило теми вміщується в один рядок: \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), і жодного «скорочення» тут не існує.
Якщо формули вивчені, але в задачах усе одно виходить плутанина зі знаками й вибором форми — приходьте на пробне заняття. Розберемо вашу конкретну прогалину й підберемо систему вправ, що закриє її за кілька тижнів.
Чому \(\sin 2\alpha\) не дорівнює \(2\sin\alpha\)?
Бо синус — функція, а не множник, і \(2\alpha\) стоїть під знаком функції. Перевірте на \(\alpha=45^\circ\): \(\sin 90^\circ=1\), а \(2\sin 45^\circ\approx 1{,}414\). Друге число більше за одиницю, чого для синуса взагалі не буває. Правильна формула — \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\).
Яку з трьох форм \(\cos 2\alpha\) обирати?
Дивіться на вихідний вираз. Якщо в ньому вже є \(\sin^2\alpha\) — беріть \(1-2\sin^2\alpha\). Якщо \(\cos^2\alpha\) — беріть \(2\cos^2\alpha-1\). Якщо потрібне розкладання на множники — форма \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) дає різницю квадратів. Усі три рівносильні, різниця лише в кількості роботи.
Чи треба вчити формули суми-добутку напам'ять?
Так, ці чотири формули використовуються надто часто, щоб виводити їх щоразу. Мнемоніка: у результаті завжди півсума й піврізниця кутів; синус із синусом та косинус із косинусом дають однакові функції в добутку, а різниця косинусів — єдина, що починається з мінуса.
Як обчислити значення для нетабличного кута?
Спробуйте подати його як суму, різницю, подвоєння або половину табличного. \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\), \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\), \(22{,}5^\circ=45^\circ:2\), \(105^\circ=60^\circ+45^\circ\). Якщо жодне подання не працює (наприклад, для \(10^\circ\)), точного значення в радикалах, як правило, не існує — потрібен калькулятор.
