Формули зведення

Формули зведення: як не вчити напам'ять

У підручнику за 10 клас формули зведення займають цілу таблицю на 32 рядки, і перше бажання школяра — вивчити її механічно. Це найгірший можливий шлях: таблиця забувається за два тижні, а на контрольній учень плутає знак і втрачає завдання цілком. Насправді всі 32 рядки виводяться з одного правила на два речення. На заняттях у Tutor-Math ми взагалі не даємо цю таблицю вчити — ми даємо алгоритм, який відтворює будь-який її рядок за п'ять секунд. Розберімо цей алгоритм покроково.

Що таке формули зведення

Формули зведення — це тотожності, які перетворюють тригонометричну функцію «великого» кута на функцію гострого кута. Великий кут завжди записують у вигляді «прямий кут, помножений на ціле число, плюс-мінус гострий кут».

Означення. Формули зведення виражають \(\sin\), \(\cos\), \(\operatorname{tg}\), \(\operatorname{ctg}\) від кутів вигляду

\[90^{\circ}\cdot k \pm \alpha,\qquad k\in\mathbb{Z},\quad 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ},\]

через функції самого лише гострого кута \(\alpha\).

Тобто \(\sin 150^{\circ}\), \(\cos 240^{\circ}\), \(\operatorname{tg}(180^{\circ}+\alpha)\) — усе це має звестися до чогось від \(30^{\circ}\), \(60^{\circ}\) або \(\alpha\). Навіщо це потрібно: таблиця значень існує тільки для гострих кутів, тому будь-яке обчислення і будь-яке спрощення виразу рано чи пізно впирається у зведення. Без нього не розв'язується жодне серйозне тригонометричне рівняння.

Головне правило, яке замінює таблицю

Ось воно. Прочитайте двічі — далі вся стаття буде його застосуванням.

Правило зведення.

1. Функція: якщо кут відкладається від вертикалі (\(90^{\circ}\) або \(270^{\circ}\)), функція змінюється на кофункцію: \(\sin\leftrightarrow\cos\), \(\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}\). Якщо кут відкладається від горизонталі (\(180^{\circ}\) або \(360^{\circ}\)), функція не змінюється.

2. Знак: беремо знак початкової функції в тій чверті, куди потрапляє початковий кут — при цьому \(\alpha\) вважаємо гострим.

Два пункти повністю незалежні один від одного. Перший вирішує, яку функцію писати. Другий вирішує, з яким знаком. Не змішуйте їх — саме злиття цих двох питань в одне і породжує всі помилки.

Чому це працює, а не магія

Правило не з'явилося з нічого. Візьміть одиничне коло: точка з кутом \(\alpha\) має координати \((\cos\alpha;\ \sin\alpha)\), тобто косинус — це горизонтальна координата, синус — вертикальна. Детальніше про це — у статті про тригонометричні функції.

Тепер подивіться, що робить поворот на \(90^{\circ}\). Він переводить горизонтальну вісь у вертикальну, а вертикальну — у горизонтальну. Осі міняються ролями, отже, координати міняються ролями, отже, синус і косинус міняються ролями. Ось і вся заміна на кофункцію: вона фізично відображає обмін осей.

А поворот на \(180^{\circ}\) залишає горизонталь горизонталлю, а вертикаль вертикаллю — змінюється лише напрямок. Ролі не помінялися, тому функція та сама, а от знак може стати протилежним. Звідси й друга частина правила.

Знаки по чвертях теж не треба зубрити, їх видно з координат: у II чверті \(x<0\), \(y>0\) — отже, косинус мінус, синус плюс. У III обидві координати від'ємні — синус і косинус мінус, а тангенс (їхнє відношення) плюс. У IV \(x>0\), \(y<0\) — косинус плюс, синус мінус.

Мнемоніка «кінь» — і що за нею стоїть

Класична підказка звучить так: уявіть, що ви стоїте на колі в точці відкладання кута, і спитайте себе «чи міняти функцію?». Для \(90^{\circ}\) і \(270^{\circ}\) ви дивитесь уздовж вертикальної осі й киваєте головою вгору-вниз — це «так, міняти». Для \(180^{\circ}\) і \(360^{\circ}\) вісь горизонтальна, голова хитається вліво-вправо — «ні, не міняти». У багатьох школах ту саму ідею подають як «функція ходить конем»: шаховий кінь рухається літерою Г, тобто з поворотом на прямий кут, — і саме прямий кут перекидає функцію на кофункцію.

Мнемоніка зручна, але вона лише кодує геометрію з попереднього розділу: вертикальна вісь = обмін координат = обмін функцій. Якщо ви розумієте цей зв'язок, підказка вам потрібна один раз; якщо не розумієте — вона працюватиме, доки ви не забудете, у який бік кивати. Тому вчіть логіку, а «кінь» хай буде запобіжником.

Алгоритм у чотири кроки

• Крок 1. Прибрати повні оберти. Для \(\sin\) і \(\cos\) період — \(360^{\circ}\) (\(2\pi\)), для \(\operatorname{tg}\) і \(\operatorname{ctg}\) — \(180^{\circ}\) (\(\pi\)). Додаємо або віднімаємо стільки періодів, щоб кут потрапив у проміжок від \(0^{\circ}\) до \(360^{\circ}\).
• Крок 2. Записати кут як \(90^{\circ}\cdot k\pm\alpha\) з гострим \(\alpha\). Наприклад, \(210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}\), а \(310^{\circ}=270^{\circ}+40^{\circ}\).
• Крок 3. Вирішити долю функції: \(90^{\circ}\), \(270^{\circ}\) — міняємо на кофункцію; \(180^{\circ}\), \(360^{\circ}\) — залишаємо.
• Крок 4. Поставити знак: визначаємо чверть початкового кута і беремо знак початкової функції в цій чверті.

Ще одна корисна деталь до кроку 1: від'ємні кути спершу зручно перевести у додатні за формулами парності — \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), а \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), \(\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha\). Або просто додати потрібну кількість повних обертів — результат буде той самий.

Приклад 1. Один кут — два розклади

Обчислити \(\sin 150^{\circ}\).

Спосіб А (від горизонталі). \(150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}\). Вісь горизонтальна — функція не змінюється, залишається синус. Кут \(150^{\circ}\) лежить у II чверті, де синус додатний. Отже, \(\sin 150^{\circ}=+\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\).

Спосіб Б (від вертикалі). \(150^{\circ}=90^{\circ}+60^{\circ}\). Вісь вертикальна — синус міняється на косинус. Чверть та сама, II, синус там додатний. Отже, \(\sin 150^{\circ}=+\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\).

Відповіді збіглися — і це не випадковість, а перевірка того, що правило узгоджене. Розкладати можна будь-яким зручним способом.

Відповідь: \(\dfrac{1}{2}\).

Приклад 2. Зведення через \(270^{\circ}\)

Обчислити \(\cos 240^{\circ}\).

Крок 1: кут уже в межах обертів. Крок 2: \(240^{\circ}=270^{\circ}-30^{\circ}\). Крок 3: \(270^{\circ}\) — вертикаль, тому косинус стає синусом. Крок 4: \(240^{\circ}\) — це III чверть (від \(180^{\circ}\) до \(270^{\circ}\)), косинус там від'ємний, ставимо мінус.

\[\cos 240^{\circ}=-\sin 30^{\circ}=-\dfrac{1}{2}.\]

Зверніть увагу на крок 4: знак ми взяли для косинуса, хоча в результаті пишемо синус. Знак завжди визначає початкова функція, а не та, що вийшла після заміни.

Відповідь: \(-\dfrac{1}{2}\).

Приклад 3. Тангенс у IV чверті

Обчислити \(\operatorname{tg}315^{\circ}\).

\(315^{\circ}=360^{\circ}-45^{\circ}\) — горизонталь, тангенс залишається тангенсом. Кут \(315^{\circ}\) у IV чверті: там \(\sin<0\), \(\cos>0\), отже, \(\operatorname{tg}<0\). Ставимо мінус.

\[\operatorname{tg}315^{\circ}=-\operatorname{tg}45^{\circ}=-1.\]

Відповідь: \(-1\).

Приклад 4. Від'ємний кут, більший за оберт

Обчислити \(\sin(-1230^{\circ})\).

Крок 1 — прибираємо повні оберти. Період синуса \(360^{\circ}\), потрібно чотири оберти: \(4\cdot 360^{\circ}=1440^{\circ}\), і \(-1230^{\circ}+1440^{\circ}=210^{\circ}\). Отже, \(\sin(-1230^{\circ})=\sin 210^{\circ}\).

Крок 2: \(210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}\). Крок 3: горизонталь — функція та сама, синус. Крок 4: \(210^{\circ}\) у III чверті, синус там від'ємний.

\[\sin(-1230^{\circ})=\sin 210^{\circ}=-\sin 30^{\circ}=-\dfrac{1}{2}.\]

Відповідь: \(-\dfrac{1}{2}\).

Приклад 5. Спрощення виразу з \(\alpha\)

Спростити \(\dfrac{\sin(90^{\circ}+\alpha)\cdot\operatorname{tg}(180^{\circ}-\alpha)}{\cos(360^{\circ}-\alpha)}\), вважаючи \(\alpha\) гострим.

Зводимо кожен множник окремо:

• \(\sin(90^{\circ}+\alpha)\): вертикаль — синус стає косинусом; кут у II чверті, синус там додатний. Маємо \(\cos\alpha\).
• \(\operatorname{tg}(180^{\circ}-\alpha)\): горизонталь — тангенс залишається; кут у II чверті, тангенс там від'ємний. Маємо \(-\operatorname{tg}\alpha\).
• \(\cos(360^{\circ}-\alpha)\): горизонталь — косинус залишається; кут у IV чверті, косинус там додатний. Маємо \(\cos\alpha\).

\[\frac{\cos\alpha\cdot(-\operatorname{tg}\alpha)}{\cos\alpha}=-\operatorname{tg}\alpha.\]

Перевірка підстановкою \(\alpha=60^{\circ}\): чисельник \(\sin 150^{\circ}\cdot\operatorname{tg}120^{\circ}=\dfrac{1}{2}\cdot(-\sqrt{3})\), знаменник \(\cos 300^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), частка дорівнює \(-\sqrt{3}\); і справді \(-\operatorname{tg}60^{\circ}=-\sqrt{3}\).

Відповідь: \(-\operatorname{tg}\alpha\).

Приклад 6. Радіани

Спростити \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(\pi+\alpha)\).

У радіанах правило те саме, треба лише пам'ятати відповідність: \(\dfrac{\pi}{2}\) і \(\dfrac{3\pi}{2}\) — це вертикаль, \(\pi\) і \(2\pi\) — горизонталь.

\(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)\): вертикаль, синус стає косинусом; кут \(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\) при гострому \(\alpha\) лежить у III чверті, де синус від'ємний. Отже, \(-\cos\alpha\).

\(\cos(\pi+\alpha)\): горизонталь, косинус залишається; кут у III чверті, косинус від'ємний. Отже, \(-\cos\alpha\).

Сума: \(-\cos\alpha-\cos\alpha=-2\cos\alpha\).

Відповідь: \(-2\cos\alpha\).

Типові помилки

• Знак беруть для нової функції. У прикладі \(\cos 240^{\circ}=-\sin 30^{\circ}\) учень дивиться на синус і ставить плюс. Знак визначає початкова функція — тут косинус.
• Чверть визначають за гострим кутом. В \(\operatorname{tg}(180^{\circ}-\alpha)\) дивляться на \(\alpha\) (I чверть) і ставлять плюс. Чверть завжди визначає весь вираз \(180^{\circ}-\alpha\), а він у II чверті.
• Міняють функцію біля \(180^{\circ}\). Найпоширеніша помилка: \(\sin(180^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\). Ні: \(180^{\circ}\) — горизонталь, функція не змінюється, правильно \(\sin\alpha\).
• Забувають, що в тангенса період \(180^{\circ}\). Для \(\operatorname{tg}\) і \(\operatorname{ctg}\) повні оберти прибираються кроками по \(180^{\circ}\), а не по \(360^{\circ}\) — інакше робота подвоюється.
• Не перевіряють область визначення. \(\operatorname{tg}90^{\circ}\) і \(\operatorname{ctg}180^{\circ}\) не існують. Якщо після зведення в знаменнику опиняється нуль, вираз не має сенсу при цьому куті.
• Плутають зведення з тотожностями. Формула зведення міняє аргумент, а не саму функцію. Перетворення на кшталт \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) — це вже основна тригонометрична тотожність, інший інструмент.

Висновок

Формули зведення — це не таблиця, а два питання: «вертикаль чи горизонталь?» і «який знак у початкової функції в цій чверті?». Хто ставить ці питання свідомо, той відтворює будь-який рядок таблиці усно й не боїться ані від'ємних кутів, ані кутів у кілька обертів. Наступний природний крок після зведення — формули подвійного кута, де ці навички працюють разом.

Якщо тема поки що плутається — знак не той, функція не та, — це майже завжди питання двадцяти хвилин з викладачем, який покаже коло і пройде алгоритм на ваших власних прикладах. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math, і ми розберемо саме ті випадки, які у вас не виходять.

Чи треба вчити таблицю формул зведення напам'ять?

Ні. Уся таблиця відновлюється з одного правила: біля \(90^{\circ}\) і \(270^{\circ}\) функція міняється на кофункцію, біля \(180^{\circ}\) і \(360^{\circ}\) — ні, а знак береться за чвертю початкового кута для початкової функції. Це швидше й надійніше, ніж зубріння, бо правило не забувається під час хвилювання.

Як визначити знак у формулі зведення?

Подивіться, у якій чверті лежить початковий кут, коли \(\alpha\) гострий, і згадайте знак початкової функції в цій чверті. Наприклад, у \(\cos(270^{\circ}-\alpha)\) кут потрапляє в III чверть, косинус там від'ємний, тому відповідь \(-\sin\alpha\). Знак нової функції ролі не грає.

Що робити з кутом, більшим за \(360^{\circ}\), або від'ємним?

Спершу відніміть або додайте потрібну кількість повних обертів, щоб кут опинився між \(0^{\circ}\) і \(360^{\circ}\), і лише потім застосовуйте правило. Для синуса й косинуса оберт — \(360^{\circ}\), для тангенса й котангенса достатньо кроку \(180^{\circ}\).

Чи працює правило в радіанах?

Так, без змін. Просто \(\dfrac{\pi}{2}\) і \(\dfrac{3\pi}{2}\) відповідають вертикальній осі (функція міняється), а \(\pi\) і \(2\pi\) — горизонтальній (функція залишається). Чверть визначається так само.