Координати на площині

Координати на площині: відстань між точками і середина відрізка

Метод координат — це спосіб замінити геометричну задачу обчисленням. Замість того щоб шукати рівні кути й вигадувати додаткові побудови, ви записуєте координати точок і рахуєте. Дві формули — відстань між точками та середина відрізка — закривають більшу частину задач 9 класу на доведення. У Tutor-Math ми показуємо цю тему саме як інструмент: не «ще один параграф», а другий шлях розв'язання, який часто виявляється коротшим за класичний. Нижче — виведення обох формул, координати точки поділу, центроїд трикутника і шість повністю розібраних прикладів.

Декартова система координат: осі, чверті та знаки

Дві перпендикулярні прямі з однаковим масштабом задають на площині систему координат. Горизонтальна вісь — вісь абсцис \(Ox\), вертикальна — вісь ординат \(Oy\), точка їх перетину — початок координат \(O(0;0)\).

Означення. Координати точки \(A(x;y)\) — це пара чисел, де \(x\) (абсциса) — відстань зі знаком від осі \(Oy\), а \(y\) (ордината) — відстань зі знаком від осі \(Ox\). Порядок обов'язковий: спочатку абсциса, потім ордината.

Осі ділять площину на чотири чверті, які нумерують проти годинникової стрілки, починаючи з правої верхньої. Знаки координат у кожній чверті:

• I чверть — \(x > 0\), \(y > 0\) (обидві координати додатні);
• II чверть — \(x < 0\), \(y > 0\);
• III чверть — \(x < 0\), \(y < 0\) (обидві від'ємні);
• IV чверть — \(x > 0\), \(y < 0\).

Точки самих осей не належать жодній чверті: у точки на \(Ox\) ордината дорівнює нулю, у точки на \(Oy\) — абсциса. Це часто буває ключем до задачі: якщо в умові сказано «точка лежить на осі абсцис», ви одразу знаєте, що її координати мають вигляд \((x;0)\), і невідома залишається одна.

Відстань між двома точками: виведення з теореми Піфагора

Формулу відстані не треба заучувати — її можна вивести за півхвилини, і саме так її варто розуміти. Візьмімо дві точки \(A(x_1;y_1)\) і \(B(x_2;y_2)\) та добудуємо прямокутний трикутник: проведемо через \(A\) горизонтальну пряму, а через \(B\) — вертикальну. Вони перетнуться в точці \(C(x_2;y_1)\).

Катет \(AC\) горизонтальний, тому його довжина — це різниця абсцис за модулем: \(AC = |x_2 - x_1|\). Катет \(BC\) вертикальний: \(BC = |y_2 - y_1|\). Кут при вершині \(C\) прямий за побудовою, отже за теоремою Піфагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2\]

Модулі зникли самі собою: квадрат числа не залежить від його знака. Залишається добути квадратний корінь:

Відстань між двома точками. Для точок \(A(x_1;y_1)\) і \(B(x_2;y_2)\):

\[AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Два наслідки, які корисно тримати в голові. Перший: порядок точок не має значення, бо \((x_2-x_1)^2 = (x_1-x_2)^2\). Другий: відстань від початку координат до точки \(A(x;y)\) дорівнює \(\sqrt{x^2+y^2}\) — це та сама формула при \(x_1 = y_1 = 0\). Наприклад, для \(A(-3;2)\) маємо \(OA = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\).

Приклад 1. Довжина відрізка за координатами кінців

Умова. Знайти відстань між точками \(A(-3;2)\) і \(B(5;-4)\).

Крок 1. Знаходимо різниці координат:

\[x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8, \qquad y_2 - y_1 = -4 - 2 = -6\]

Крок 2. Підносимо до квадрата й додаємо:

\[AB^2 = 8^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100\]

Крок 3. Добуваємо корінь: \(AB = \sqrt{100} = 10\).

Зверніть увагу на другу різницю: вона від'ємна, і це нормально. Знак зникає після піднесення до квадрата, тому «виправляти» \(-6\) на \(6\) не потрібно.

Відповідь: \(AB = 10\).

Середина відрізка

Середина ділить відрізок навпіл, і кожна її координата — просто середнє арифметичне відповідних координат кінців. Причина проста: при проєктуванні на вісь \(Ox\) середина відрізка \(AB\) переходить у середину його проєкції, а середина числового проміжку від \(x_1\) до \(x_2\) — це \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\).

Координати середини відрізка. Якщо \(A(x_1;y_1)\) і \(B(x_2;y_2)\), то середина \(M\) відрізка \(AB\) має координати:

\[M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\]

Формула працює й у зворотний бік. Якщо відомі точка \(A\) і середина \(M\), то другий кінець знаходять так: із \(\dfrac{x_1+x_2}{2} = x_M\) випливає \(x_2 = 2x_M - x_1\), і аналогічно для ординати. Це стандартний прийом у задачах на симетрію: точка, симетрична до \(A\) відносно \(M\), — це і є \(B\).

Приклад 2. Середина відрізка та обернена задача

Умова. а) Знайти середину відрізка з кінцями \(A(-7;3)\) і \(B(5;-9)\). б) Точка \(M(1;-2)\) — середина відрізка \(AB\), де \(A(-4;6)\). Знайти координати \(B\).

а) Підставляємо у формулу:

\[x_M = \frac{-7+5}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \qquad y_M = \frac{3+(-9)}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Отже, \(M(-1;-3)\).

б) Виражаємо координати другого кінця:

\[x_B = 2\cdot 1 - (-4) = 2 + 4 = 6, \qquad y_B = 2\cdot(-2) - 6 = -4 - 6 = -10\]

Перевірка. Середина відрізка з кінцями \((-4;6)\) і \((6;-10)\): абсциса \(\dfrac{-4+6}{2} = 1\), ордината \(\dfrac{6+(-10)}{2} = -2\). Отримали \(M(1;-2)\) — точно як в умові.

Відповідь: а) \(M(-1;-3)\); б) \(B(6;-10)\).

Точка, що ділить відрізок у заданому відношенні

Середина — окремий випадок загальнішої формули. Нехай точка \(C\) лежить на відрізку \(AB\) і ділить його у відношенні \(AC:CB = \lambda:\mu\). Тоді її координати — це зважене середнє координат кінців, причому ваги стоять «навхрест»: більша частина відношення притягує точку до дальшого кінця.

Формула поділу відрізка. Якщо \(AC:CB = \lambda:\mu\), то

\[x_C = \frac{\mu x_1 + \lambda x_2}{\lambda+\mu}, \qquad y_C = \frac{\mu y_1 + \lambda y_2}{\lambda+\mu}\]

Найчастіша помилка — переставити ваги місцями. Запам'ятайте контроль: при \(\lambda:\mu = 1:0\) точка має збігтися з \(B\), адже все відношення «з'їдено» першою частиною. Підставляємо: \(x_C = \dfrac{0\cdot x_1 + 1\cdot x_2}{1} = x_2\). Сходиться. А при \(\lambda = \mu = 1\) формула перетворюється на формулу середини. Якщо ви колись запишете її навпаки, ця перевірка одразу це покаже.

Приклад 3. Поділ відрізка у відношенні 3:1

Умова. Точка \(C\) ділить відрізок \(AB\) у відношенні \(AC:CB = 3:1\), де \(A(2;-1)\), \(B(10;7)\). Знайти координати \(C\).

Крок 1. Тут \(\lambda = 3\), \(\mu = 1\), сума \(\lambda + \mu = 4\).

Крок 2. Обчислюємо абсцису й ординату:

\[x_C = \frac{1\cdot 2 + 3\cdot 10}{4} = \frac{2+30}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[y_C = \frac{1\cdot(-1) + 3\cdot 7}{4} = \frac{-1+21}{4} = \frac{20}{4} = 5\]

Перевірка через відстані. Порахуємо \(AC\) і \(CB\) за формулою відстані:

\[AC = \sqrt{(8-2)^2 + (5+1)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\] \[CB = \sqrt{(10-8)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Відношення \(AC:CB = 6\sqrt{2} : 2\sqrt{2} = 3:1\) — саме те, що вимагала умова. Крім того, \(AC + CB = 8\sqrt{2} = AB\), отже точка справді лежить на відрізку, а не на його продовженні.

Відповідь: \(C(8;5)\).

Центроїд трикутника: середнє координат вершин

Медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини. У координатах ця точка має напрочуд просту форму.

Координати центроїда. Для трикутника з вершинами \(A(x_1;y_1)\), \(B(x_2;y_2)\), \(C(x_3;y_3)\) точка перетину медіан \(G\) має координати:

\[G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\]

Формула виводиться з двох попередніх. Візьмімо медіану з вершини \(A\) до середини \(M\) сторони \(BC\). Абсциса \(M\) дорівнює \(\dfrac{x_2+x_3}{2}\). Точка \(G\) ділить \(AM\) у відношенні \(AG:GM = 2:1\), тобто \(\lambda = 2\), \(\mu = 1\). Підставляємо у формулу поділу:

\[x_G = \frac{1\cdot x_1 + 2\cdot \dfrac{x_2+x_3}{2}}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\]

Отриманий вираз симетричний щодо всіх трьох вершин — тому й не важливо, з якої вершини вести медіану, результат буде той самий. Це, до речі, і є координатне доведення того, що всі три медіани перетинаються в одній точці.

Приклад 4. Центроїд і перевірка відношення 2:1

Умова. Вершини трикутника: \(A(-2;1)\), \(B(6;3)\), \(C(2;-7)\). Знайти точку перетину медіан і перевірити, що вона ділить медіану з вершини \(A\) у відношенні \(2:1\).

Крок 1. Центроїд:

\[x_G = \frac{-2+6+2}{3} = \frac{6}{3} = 2, \qquad y_G = \frac{1+3+(-7)}{3} = \frac{-3}{3} = -1\]

Отже, \(G(2;-1)\).

Крок 2. Середина сторони \(BC\): \(x_M = \dfrac{6+2}{2} = 4\), \(y_M = \dfrac{3-7}{2} = -2\), тобто \(M(4;-2)\).

Крок 3. Довжина всієї медіани та її частини від вершини:

\[AM = \sqrt{(4+2)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] \[AG = \sqrt{(2+2)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Тоді \(GM = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}\), а отже \(AG:GM = 2\sqrt{5}:\sqrt{5} = 2:1\). Властивість підтверджено обчисленням.

Відповідь: \(G(2;-1)\), \(AG:GM = 2:1\).

Метод координат: як доводити вид фігури

Тут тема перестає бути обчислювальною вправою і стає інструментом. Схема така: усе, що можна виміряти, зводиться до довжин, а довжини — до формули відстані. Ось робочий алгоритм.

• Рівнобедрений трикутник — дві сторони рівні. Порівнюйте квадрати довжин: якщо \(AB^2 = BC^2\), то й \(AB = BC\), а корені добувати не доведеться.
• Прямокутний трикутник — виконується обернена теорема Піфагора: сума квадратів двох менших сторін дорівнює квадрату більшої.
• Паралелограм — діагоналі мають спільну середину. Це найшвидша перевірка: двічі застосувати формулу середини й порівняти результати.
• Ромб — паралелограм, у якого всі чотири сторони рівні.
• Прямокутник — паралелограм із рівними діагоналями.
• Квадрат — і сторони рівні, і діагоналі рівні одночасно.

Порада, яка економить час на контрольній: не добувайте корені, поки це не потрібно. Майже всі висновки про рівність і перпендикулярність формулюються через квадрати відстаней, а квадрати — це цілі числа. Корінь потрібен лише тоді, коли просять саму довжину. Той самий координатний підхід працює і в темі векторів на площині, і в рівняннях прямої та кола — там ці ж формули стають основою для рівняння кола та умови перпендикулярності.

Приклад 5. Довести, що трикутник прямокутний і рівнобедрений

Умова. Дано точки \(A(5;3)\), \(B(2;-1)\), \(C(-2;2)\). Довести, що трикутник \(ABC\) прямокутний і рівнобедрений; знайти його площу.

Крок 1. Рахуємо квадрати всіх трьох сторін:

\[AB^2 = (2-5)^2 + (-1-3)^2 = 9 + 16 = 25\] \[BC^2 = (-2-2)^2 + (2+1)^2 = 16 + 9 = 25\] \[AC^2 = (-2-5)^2 + (2-3)^2 = 49 + 1 = 50\]

Крок 2. Рівнобедреність. \(AB^2 = BC^2 = 25\), отже \(AB = BC = 5\). Трикутник рівнобедрений з основою \(AC\).

Крок 3. Прямий кут. Найбільша сторона — \(AC\), бо \(50 > 25\). Перевіряємо обернену теорему Піфагора:

\[AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2\]

Рівність виконується, отже кут при вершині \(B\) прямий. Гіпотенуза \(AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).

Крок 4. Площа. Катети дорівнюють \(5\) і \(5\):

\[S = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5 = 12{,}5\]

Відповідь: трикутник прямокутний рівнобедрений, катети \(5\), гіпотенуза \(5\sqrt{2}\), площа \(12{,}5\).

Приклад 6. Визначити вид чотирикутника за координатами вершин

Умова. Вершини чотирикутника: \(P(-2;1)\), \(Q(2;4)\), \(R(6;1)\), \(S(2;-2)\). Визначити його вид.

Крок 1. Сторони. Обчислюємо квадрати послідовних сторін:

\[PQ^2 = 4^2 + 3^2 = 25, \qquad QR^2 = 4^2 + (-3)^2 = 25\] \[RS^2 = (-4)^2 + (-3)^2 = 25, \qquad SP^2 = (-4)^2 + 3^2 = 25\]

Усі чотири сторони дорівнюють \(5\). Отже, це щонайменше ромб — залишилося перевірити, чи не квадрат.

Крок 2. Діагоналі.

\[PR^2 = (6+2)^2 + (1-1)^2 = 64 + 0 = 64 \ \Rightarrow\ PR = 8\] \[QS^2 = (2-2)^2 + (-2-4)^2 = 0 + 36 = 36 \ \Rightarrow\ QS = 6\]

Діагоналі різні (\(8 \ne 6\)), тому прямих кутів у фігурі немає і квадратом вона не є.

Крок 3. Контроль. Переконаємося, що діагоналі мають спільну середину: середина \(PR\) — це \(\left(\dfrac{-2+6}{2};\dfrac{1+1}{2}\right) = (2;1)\), середина \(QS\) — \(\left(\dfrac{2+2}{2};\dfrac{4-2}{2}\right) = (2;1)\). Середини збіглися, отже точки справді утворюють паралелограм, а не самоперетинну ламану.

Крок 4. Площа. Для ромба її зручно рахувати через діагоналі:

\[S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{8\cdot 6}{2} = 24\]

Відповідь: \(PQRS\) — ромб зі стороною \(5\), діагоналями \(8\) і \(6\) та площею \(24\); квадратом він не є.

Типові помилки

• Корінь із суми замість суми коренів. У прикладі 1 вийшло \(\sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\), а не \(8+6=14\). Корінь не «розподіляється» по доданках — це найпоширеніша помилка теми.
• Плутанина формул середини й відстані. У середині координати додають і ділять на 2, у відстані — віднімають і підносять до квадрата. Контроль здоровим глуздом: середина — це точка (дві координати), відстань — одне число.
• Загублений знак при відніманні від'ємного. \(5-(-3) = 8\), а не \(2\). Це чиста арифметика, але саме вона псує половину розв'язань.
• Переставлені ваги у формулі поділу. У відношенні \(AC:CB = \lambda:\mu\) координата \(x_2\) множиться на \(\lambda\), а не на \(\mu\). Перевіряйте крайніми випадками \(1:0\) та \(1:1\).
• Ділення на 2 замість 3 у центроїді. Вершин три — і знаменник теж три. Формула середини сюди не переноситься.
• Висновок «прямокутний» без перевірки, яка сторона найбільша. В оберненій теоремі Піфагора квадрат саме найбільшої сторони має стояти окремо. Якщо порівняти не ті сторони, рівність не виконається навіть у справді прямокутному трикутнику.
• Обхід вершин не по колу. Якщо в чотирикутнику \(PQRS\) з'єднати вершини в довільному порядку, вийде самоперетинна ламана, і «сторони» будуть порахувані неправильно. Порядок букв в умові — це порядок обходу.

Висновок

Уся тема тримається на одній формулі, виведеній з теореми Піфагора, і на ідеї середнього арифметичного координат. Відстань — корінь із суми квадратів різниць; середина — півсума; точка поділу — зважене середнє; центроїд — середнє трьох вершин. Опанувавши їх, ви отримуєте універсальний спосіб доводити геометричні твердження без жодної додаткової побудови: достатньо порахувати кілька квадратів відстаней і порівняти числа.

Якщо метод координат поки що здається набором формул без логіки або обчислення регулярно збиваються на знаках — приходьте на пробне заняття. За одну зустріч ми розберемо виведення формул так, щоб їх не треба було заучувати, і відпрацюємо алгоритм розпізнавання виду фігури на ваших задачах.

Як знайти відстань між двома точками на координатній площині?

За формулою \(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\): відняти абсциси, відняти ординати, піднести обидві різниці до квадрата, додати й добути корінь. Порядок точок неважливий, бо квадрат прибирає знак. Наприклад, для \(A(-3;2)\) і \(B(5;-4)\) отримуємо \(\sqrt{8^2+(-6)^2} = \sqrt{100} = 10\).

Чим формула середини відрізка відрізняється від формули відстані?

Результатом і діями. Середина — це точка, і в її формулі координати додають та ділять на 2: \(M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). Відстань — це одне число, і в її формулі координати віднімають та підносять до квадрата. Якщо у відповіді на пошук середини вийшло одне число замість пари координат — ви взяли не ту формулу.

Як довести, що трикутник прямокутний, знаючи лише координати вершин?

Порахувати квадрати всіх трьох сторін за формулою відстані, знайти найбільший із них і перевірити обернену теорему Піфагора: сума двох менших квадратів має дорівнювати найбільшому. Корені добувати не потрібно — усі порівняння роблять на рівні квадратів, а вони зазвичай є цілими числами. Прямий кут лежить проти найбільшої сторони.

Навіщо потрібен центроїд і чому в його формулі ділять на 3?

Центроїд — це точка перетину медіан трикутника, вона ж центр мас. Ділять на 3, бо усереднюють координати трьох вершин: \(G\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\). Формула виводиться з правила поділу відрізка у відношенні \(2:1\) і симетрична щодо всіх вершин — це водночас доводить, що всі три медіани перетинаються в одній точці.