Логарифмічна функція та її графік

Логарифмічна функція та її графік

Логарифмічна функція з'являється в 11 класі після того, як учень уже вміє рахувати логарифми окремих чисел. Різниця принципова: одна річ — знайти \(\log_2 8\), зовсім інша — зрозуміти, як поводиться \(\log_2 x\) одразу для всіх допустимих \(x\). Саме тут учні найчастіше буксують: формули знають, а графік намалювати не можуть. На заняттях у Tutor-Math ми будуємо цю тему від показникової функції — бо логарифмічна є її дзеркальним відображенням, і якщо це побачити один раз, вивчати напам'ять уже майже нічого не доводиться.

Означення логарифмічної функції

Означення. Логарифмічною називають функцію вигляду \(y = \log_a x\), де \(a > 0\) і \(a \ne 1\).

\[ y = \log_a x, \qquad a > 0,\ a \ne 1 \]

Число \(a\) називають основою функції. Обмеження на неї — не примха підручника, а прямий наслідок того, що таке логарифм числа. Запис \(\log_a x\) означає показник степеня, у який треба піднести \(a\), щоб отримати \(x\). Тому:

• при \(a = 1\) степінь \(1^t\) завжди дорівнює \(1\), і рівність \(1^t = x\) не має розв'язку для жодного \(x \ne 1\);
• при \(a < 0\) степінь із довільним дійсним показником просто не означений (спробуйте обчислити \((-4)^{0{,}5}\));
• при \(a = 0\) нуль у будь-якому степені дає нуль, і жодне інше значення отримати неможливо.

Отже, залишаються рівно два робочі випадки: \(a > 1\) і \(0 < a < 1\). Вони дають різні за поведінкою графіки, і саме на цій відмінності тримається половина задач теми.

Обернена до показникової — звідки береться графік

Порівняймо два записи. Рівність \(y = a^x\) задає показникову функцію. Тепер розв'яжімо її відносно \(x\): за означенням логарифма з \(a^x = y\) випливає \(x = \log_a y\). Ми отримали ту саму залежність, тільки прочитану у зворотному напрямку. Якщо після цього перепозначити змінні звичним чином (аргумент — \(x\), значення — \(y\)), матимемо \(y = \log_a x\).

Ключове твердження. Функції \(y = a^x\) і \(y = \log_a x\) взаємно обернені. Їхні графіки симетричні відносно прямої \(y = x\).

Перевірити симетрію легко на точках. Показникова функція \(y = 2^x\) проходить через \((3;\ 8)\), бо \(2^3 = 8\). Логарифмічна \(y = \log_2 x\) проходить через \((8;\ 3)\), бо \(\log_2 8 = 3\). Координати просто помінялися місцями — а це і є відображення відносно бісектриси першого й третього координатних кутів.

Практична користь величезна: не треба запам'ятовувати вигляд логарифмічного графіка окремо. Досить уявити знайомий графік \(y = a^x\) і подумки перекинути його через пряму \(y = x\).

Область визначення: чому лише \(x > 0\)

Область визначення. \(D(y) = (0;\ +\infty)\). Область значень \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\), тобто вся числова пряма.

Пояснення знову випливає з оберненості. Показникова функція \(y = a^x\) при будь-якому \(x\) дає строго додатне значення: \(2^{10}\) велике, \(2^{-10}\) мале, але нулем чи від'ємним не стає ніколи. Оскільки в оберненої функції області визначення й значень міняються ролями, логарифм може приймати будь-які значення, але приймати може лише додатний аргумент.

Простіше кажучи: рівняння \(2^t = -8\) розв'язків не має, тому запис \(\log_2(-8)\) позбавлений сенсу. Так само не існує \(\log_2 0\). Це найпоширеніше джерело помилок у всій темі — і причина, чому в кожному прикладі спершу шукають ОДЗ.

Графік при \(a > 1\) і при \(0 < a < 1\)

Обидва графіки називають логарифмічною кривою. Спільні риси такі:

• крива повністю лежить праворуч від осі \(Oy\) — інших точок і бути не може через ОДЗ;
• вісь \(Oy\) (пряма \(x = 0\)) є вертикальною асимптотою: наближаючись до нуля, графік нескінченно тягнеться вгору або вниз, але осі не торкається;
• графік проходить через точку \((1;\ 0)\) за будь-якої основи, бо \(a^0 = 1\), а отже \(\log_a 1 = 0\);
• функція не має ні найбільшого, ні найменшого значення, не є ні парною, ні непарною.

А тепер відмінності — те, заради чого й розрізняють два випадки:

• \(a > 1\) (наприклад \(y = \log_2 x\)) — функція зростає на всій області визначення. Зліва внизу вона виринає з-під осі \(Ox\), перетинає її в \((1;\ 0)\) і далі повільно піднімається.
• \(0 < a < 1\) (наприклад \(y = \log_{1/2} x\)) — функція спадає. Зліва вгорі вона опускається, у точці \((1;\ 0)\) переходить осю \(Ox\) і далі йде вниз.

Ще одна зручна деталь: графіки \(y = \log_a x\) і \(y = \log_{1/a} x\) симетричні відносно осі \(Ox\), бо \(\log_{1/a} x = -\log_a x\). Побудувавши одну криву, другу отримуєте віддзеркаленням.

Приклад 1. Знайти область визначення функцій \(y = \log_5(x - 2)\) і \(y = \log_2(6 - 2x)\)

Правило одне: вираз під знаком логарифма має бути строго додатним.

Для першої функції: \(x - 2 > 0\), звідки \(x > 2\). Перевірка: при \(x = 2{,}5\) отримуємо \(\log_5 0{,}5\) — число існує (воно від'ємне, приблизно \(-0{,}43\)), а при \(x = 2\) під логарифмом опиняється нуль, що неприпустимо.

Для другої функції: \(6 - 2x > 0\), тобто \(2x < 6\) і \(x < 3\). Перевірка: при \(x = 1\) маємо \(\log_2 4 = 2\) — усе гаразд; при \(x = 4\) під логарифмом було б \(-2\).

Відповідь: \(D_1 = (2;\ +\infty)\), \(D_2 = (-\infty;\ 3)\).

Приклад 2. Побудувати графіки \(y = \log_2 x\) і \(y = \log_{1/2} x\) в одній системі координат

Зручні точки для логарифма — степені основи, бо тоді значення виходять цілими. Для \(y = \log_2 x\) беремо \(x = \dfrac{1}{4};\ \dfrac{1}{2};\ 1;\ 2;\ 4;\ 8\):

\[ \log_2 \tfrac{1}{4} = -2,\quad \log_2 \tfrac{1}{2} = -1,\quad \log_2 1 = 0,\quad \log_2 2 = 1,\quad \log_2 4 = 2,\quad \log_2 8 = 3 \]

Кожне значення легко перевірити зворотним піднесенням: \(2^{-2} = \dfrac{1}{4}\), \(2^3 = 8\). Точки \(\left(\dfrac{1}{4};\ -2\right)\), \(\left(\dfrac{1}{2};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 1)\), \((4;\ 2)\), \((8;\ 3)\) з'єднуємо плавною кривою, що зліва притискається до осі \(Oy\).

Для \(y = \log_{1/2} x\) при тих самих \(x\) значення відрізняються лише знаком: \(2;\ 1;\ 0;\ -1;\ -2;\ -3\). Справді, \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\), отже \(\log_{1/2} \dfrac{1}{4} = 2\).

Відповідь: обидві криві проходять через \((1;\ 0)\) і мають асимптоту \(x = 0\); перша зростає, друга спадає, графіки симетричні відносно осі \(Ox\).

Монотонність як інструмент порівняння

Це найцінніший практичний висновок усієї теми. Оскільки функція строго монотонна, більшому аргументу відповідає більше (при \(a > 1\)) або менше (при \(0 < a < 1\)) значення — без жодних обчислень.

Правило. Нехай \(x_1 > 0\), \(x_2 > 0\). Якщо \(a > 1\), то з \(x_1 < x_2\) випливає \(\log_a x_1 < \log_a x_2\). Якщо \(0 < a < 1\), то з \(x_1 < x_2\) випливає \(\log_a x_1 > \log_a x_2\) — знак нерівності змінюється.

Корисний орієнтир — точка \((1;\ 0)\). При \(a > 1\) логарифм чисел, більших за одиницю, додатний, а менших — від'ємний. При \(0 < a < 1\) — рівно навпаки.

Приклад 3. Порівняти, не використовуючи калькулятор

а) \(\log_3 5\) і \(\log_3 7\). Основа \(3 > 1\), функція зростає, а \(5 < 7\), тому \(\log_3 5 < \log_3 7\). Контроль: \(\log_3 5 \approx 1{,}46\), \(\log_3 7 \approx 1{,}77\).

б) \(\log_{0{,}4} 3\) і \(\log_{0{,}4} 5\). Основа \(0{,}4 < 1\), функція спадає, тому з \(3 < 5\) випливає \(\log_{0{,}4} 3 > \log_{0{,}4} 5\). Контроль: \(-1{,}20\) проти \(-1{,}76\) — справді перше більше.

в) \(\log_2 5\) і число \(2\). Подаємо двійку як логарифм із тією ж основою: \(2 = \log_2 4\). Основа більша за одиницю, \(5 > 4\), отже \(\log_2 5 > 2\). Контроль: \(\log_2 5 \approx 2{,}32\).

Відповідь: а) \(\log_3 5 < \log_3 7\); б) \(\log_{0{,}4} 3 > \log_{0{,}4} 5\); в) \(\log_2 5 > 2\).

Приклад 4. Графік функції \(y = \log_a x\) проходить через точку \((81;\ 4)\). Знайти основу \(a\)

Якщо точка лежить на графіку, її координати перетворюють формулу на правильну рівність:

\[ 4 = \log_a 81 \quad \Longleftrightarrow \quad a^4 = 81 \]

Оскільки за означенням \(a > 0\), від'ємний корінь відкидаємо і залишається \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). Перевірка: \(3^4 = 81\), отже \(\log_3 81 = 4\) — точка справді на графіку. Умови \(a > 0\) і \(a \ne 1\) виконано.

Відповідь: \(a = 3\).

Приклад 5. Розв'язати нерівності

а) \(\log_{0{,}5}(x + 1) > -2\). Спершу ОДЗ: \(x + 1 > 0\), тобто \(x > -1\). Далі подаємо праву частину як логарифм: \(-2 = \log_{0{,}5} 4\), бо \(0{,}5^{-2} = 4\). Основа менша за одиницю, функція спадає, тому при переході до аргументів знак нерівності змінюється:

\[ x + 1 < 4 \quad \Longrightarrow \quad x < 3 \]

Разом з ОДЗ отримуємо \(-1 < x < 3\). Перевірка: при \(x = 0\) маємо \(\log_{0{,}5} 1 = 0 > -2\) — правильно; при \(x = 3\) маємо рівно \(-2\), нерівність строга, тож край не входить; при \(x = 3{,}1\) значення близько \(-2{,}04\), умова не виконується.

б) \(\log_3(2x - 1) \le 2\). ОДЗ: \(2x - 1 > 0\), тобто \(x > 0{,}5\). Записуємо \(2 = \log_3 9\); основа більша за одиницю, знак зберігається: \(2x - 1 \le 9\), звідки \(x \le 5\). Перевірка: при \(x = 5\) маємо \(\log_3 9 = 2\) — рівність входить; при \(x = 5{,}1\) значення понад \(2\).

Відповідь: а) \(x \in (-1;\ 3)\); б) \(x \in (0{,}5;\ 5]\).

Логарифмічна шкала в реальному житті

Логарифм придумали не для контрольних. Він потрібен усюди, де величини змінюються не на десятки, а в тисячі та мільйони разів — на звичайній лінійній шкалі такі дані просто неможливо зобразити.

• Децибели. Гучність рахують за формулою \(L = 10\log_{10}\dfrac{I}{I_0}\), де \(I_0\) — поріг чутності. Вухо реагує не на різницю інтенсивностей, а на їх відношення, тому логарифмічна шкала точніше відповідає відчуттям.
• Шкала Ріхтера. Магнітуда — це логарифм амплітуди коливань ґрунту. Зростання магнітуди на одиницю означає збільшення амплітуди в \(10\) разів.
• Водневий показник pH. Тут \(\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\). Зручність очевидна: замість запису концентрації \(0{,}001\) моль/л говорять просто «pH дорівнює \(3\)».

Приклад 6. Практичні обчислення за логарифмічною шкалою

а) Потужність звуку зросла в \(1000\) разів. На скільки децибелів збільшився рівень гучності? Обчислюємо: \(\Delta L = 10\log_{10} 1000 = 10 \cdot 3 = 30\) дБ, оскільки \(10^3 = 1000\).

б) Землетрус магнітудою \(7\) і землетрус магнітудою \(5\): у скільки разів відрізняється амплітуда? Різниця магнітуд дорівнює \(2\), отже відношення амплітуд становить \(10^{2} = 100\) разів.

в) Концентрація йонів водню в розчині \([\mathrm{H}^+] = 0{,}001\) моль/л. Тоді \(\mathrm{pH} = -\log_{10} 0{,}001 = -(-3) = 3\), бо \(10^{-3} = 0{,}001\). Порівняно з нейтральною водою (\(\mathrm{pH} = 7\)) цей розчин містить у \(10^{4} = 10\,000\) разів більше йонів водню.

Відповідь: а) на \(30\) дБ; б) у \(100\) разів; в) \(\mathrm{pH} = 3\), що в \(10\,000\) разів кисліше за нейтральну воду.

Типові помилки

• Забувають про ОДЗ. Розв'язавши \(\log_2(x - 3) = 1\), учень пише \(x = 5\) і не перевіряє, чи додатний вираз під логарифмом. У складніших випадках сторонній корінь так і залишається у відповіді.
• Не змінюють знак нерівності при \(0 < a < 1\). Це помилка номер один у темі. Спадна функція «перевертає» нерівність, тому основу треба перевіряти до будь-яких перетворень.
• Вважають, що логарифм не буває від'ємним. Від'ємним не може бути аргумент; саме значення \(\log_a x\) пробігає всю числову пряму, і \(\log_2 0{,}5 = -1\) — цілком нормальне число.
• Плутають область визначення з областю значень. У показникової функції \(D = \mathbb{R}\), \(E = (0;\ +\infty)\); у логарифмічної — навпаки.
• Думають, що графік перетинає вісь \(Oy\). Не перетинає ніколи: \(x = 0\) — вертикальна асимптота, а не точка графіка.
• Забувають умову \(a \ne 1\). У задачах на пошук основи це рівносильно втраті балу: знайдене значення обов'язково перевіряють на допустимість.
• Порівнюють логарифми з різними основами напряму. Правило монотонності працює лише за однакової основи; інакше спершу переходять до спільної основи за властивостями логарифмів.

Висновок

Логарифмічна функція \(y = \log_a x\) описується коротким набором фактів: область визначення \(x > 0\), значення — усі дійсні числа, обов'язкова точка \((1;\ 0)\), вертикальна асимптота \(x = 0\), зростання при \(a > 1\) і спадання при \(0 < a < 1\). Усе це не треба зубрити — досить пам'ятати, що графік є дзеркальним відображенням показникової кривої відносно прямої \(y = x\). Монотонність далі перетворюється на робочий інструмент і в порівнянні чисел, і в логарифмічних рівняннях та нерівностях.

Якщо графік поки що «не збирається в голові», а знак нерівності при дробовій основі щоразу губиться — це питання кількох занять із розбором саме ваших помилок. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: ми з'ясуємо, на якому кроці ланцюжок рветься, і побудуємо план підготовки до НМТ.

Чому основа логарифма не може дорівнювати одиниці?

Бо \(1^t = 1\) за будь-якого показника \(t\). Рівність \(1^t = x\) не має розв'язку для жодного \(x \ne 1\), а для \(x = 1\) має нескінченно багато розв'язків. У жодному з випадків однозначного значення не виходить, тому функції не існує.

Як швидко побудувати графік логарифмічної функції?

Візьміть степені основи як значення аргументу — тоді значення функції будуть цілими. Для \(y = \log_3 x\) зручні \(x = \dfrac{1}{9};\ \dfrac{1}{3};\ 1;\ 3;\ 9\), яким відповідають \(-2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2\). Далі проводимо плавну криву, пам'ятаючи про асимптоту \(x = 0\).

Як порівняти \(\log_{0{,}3} 7\) і \(\log_{0{,}3} 9\)?

Основа \(0{,}3\) менша за одиницю, отже функція спадає: більшому аргументу відповідає менше значення. Оскільки \(7 < 9\), маємо \(\log_{0{,}3} 7 > \log_{0{,}3} 9\). Обидва числа при цьому від'ємні, бо аргументи більші за одиницю, а основа дробова.

Де на графіку видно, що функція обернена до показникової?

У симетрії відносно прямої \(y = x\). Якщо показникова функція проходить через \((3;\ 8)\), то логарифмічна з тією ж основою проходить через \((8;\ 3)\) — координати міняються місцями. Тому горизонтальна асимптота показникової кривої \(y = 0\) перетворюється на вертикальну асимптоту \(x = 0\) логарифмічної.