Многокутники: сума кутів і правильні многокутники
Тема многокутників виглядає простою рівно доти, доки в задачі не з'являється буква \(n\) замість конкретного числа. Учень упевнено рахує кути трикутника й чотирикутника, а на питання «скільки сторін має многокутник, сума кутів якого дорівнює \(1980^\circ\)» зупиняється. У Tutor-Math ми будуємо цю тему навколо однієї ідеї: будь-який многокутник ріжеться на трикутники, і всі формули — лише наслідок цього розрізу. Розберімо означення, чотири робочі формули та шість прикладів, порахованих до кінця.
Означення многокутника й опуклості
Многокутником називають замкнену ламану без самоперетинів разом з обмеженою нею частиною площини. Ланки ламаної — це сторони, їх кінці — вершини. Многокутник з \(n\) вершинами має рівно \(n\) сторін і називається \(n\)-кутником.
Друге означення важливіше, ніж здається, бо саме воно стоїть в умові майже кожної задачі.
Многокутник називають опуклим, якщо він лежить по один бік від прямої, що містить будь-яку його сторону. Рівносильне формулювання: відрізок, що сполучає будь-які дві точки многокутника, цілком лежить усередині нього.
Практичний критерій для школяра: у опуклого многокутника всі внутрішні кути менші за \(180^\circ\). Щойно з'явився кут, більший за \(180^\circ\) (увігнутий, «вм'ятина»), фігура перестає бути опуклою. Далі всюди, де не сказано інакше, ідеться про опуклі многокутники: для них формула суми кутів доводиться найпростіше.
Знайомі вам фігури — часткові випадки: паралелограм і трапеція це опуклі чотирикутники, тобто \(n = 4\).
Сума внутрішніх кутів: звідки береться формула
Сума внутрішніх кутів опуклого \(n\)-кутника дорівнює \[S_n = (n-2)\cdot 180^\circ.\]
Формулу не треба зубрити — її треба один раз побачити. Візьміть одну вершину многокутника й проведіть із неї всі можливі діагоналі. Ця вершина сполучена сторонами з двома сусідніми вершинами, тож діагоналі йдуть до решти \(n - 3\) вершин. Ці \(n-3\) діагоналі розрізають многокутник рівно на \(n - 2\) трикутники.
Перевірте на пальцях: у чотирикутнику з однієї вершини виходить \(4 - 3 = 1\) діагональ і утворюється \(4 - 2 = 2\) трикутники. У п'ятикутнику — \(2\) діагоналі й \(3\) трикутники. У шестикутнику — \(3\) діагоналі й \(4\) трикутники.
Тепер головне: жоден із цих трикутників не виходить за межі многокутника й жодного шматка не пропущено, а кути трикутників у сумі дають саме внутрішні кути многокутника. Кожен трикутник дає \(180^\circ\), трикутників \(n-2\), звідси й \(S_n = (n-2)\cdot 180^\circ\). Ніякої магії — тільки розріз.
Контрольні значення, які варто пам'ятати напам'ять: \(n=3\) дає \(180^\circ\), \(n=4\) дає \(360^\circ\), \(n=5\) дає \(540^\circ\), \(n=6\) дає \(720^\circ\).
Сума зовнішніх кутів завжди дорівнює 360°
Зовнішній кут при вершині — це кут, суміжний із внутрішнім: якщо внутрішній дорівнює \(\alpha\), то зовнішній дорівнює \(180^\circ - \alpha\). Візьмемо по одному зовнішньому куту при кожній вершині й додамо:
\[\sum_{i=1}^{n}(180^\circ - \alpha_i) = 180^\circ n - \sum \alpha_i = 180^\circ n - (n-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ.\]
Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює \(360^\circ\) — для будь-якого \(n\).
Наочно: уявіть, що ви йдете по контуру многокутника й на кожній вершині повертаєте на зовнішній кут. Обійшовши фігуру, ви зробили повний оберт — \(360^\circ\). Ця формула часто коротша за основну: якщо в умові фігурує зовнішній кут, рахуйте через \(360^\circ\), а не через \((n-2)\cdot 180^\circ\).
Кількість діагоналей
Кількість діагоналей опуклого \(n\)-кутника дорівнює \[D = \frac{n(n-3)}{2}.\]
Виведення так само коротке. З кожної з \(n\) вершин виходить \(n-3\) діагоналі (не рахуючи саму вершину й двох її сусідів). Отримуємо \(n(n-3)\) — але кожну діагональ ми порахували двічі, з обох її кінців. Ділимо на \(2\).
Перевірка на межі: при \(n = 3\) формула дає \(\frac{3\cdot 0}{2} = 0\) — у трикутника діагоналей немає, усе правильно. При \(n=4\) дістаємо \(2\) — дві діагоналі чотирикутника.
Правильний многокутник
Правильним називають опуклий многокутник, у якого всі сторони рівні і всі кути рівні. Обидві умови обов'язкові: ромб має рівні сторони, але не є правильним, а прямокутник має рівні кути й теж не є правильним.
Оскільки всі \(n\) кутів однакові, а їх сума відома, кожен кут дорівнює
\[\alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.\]
Друга форма зручніша: вона одразу показує, що зовнішній кут правильного \(n\)-кутника дорівнює \(\frac{360^\circ}{n}\), і що зі зростанням \(n\) внутрішній кут наближається до \(180^\circ\), але ніколи його не досягає.
У кожен правильний многокутник можна вписати коло, і навколо кожного можна описати коло, причому їх центри збігаються. Позначимо \(R\) — радіус описаного кола (від центра до вершини), \(r\) — радіус вписаного кола (від центра до середини сторони, це апофема). Для сторони \(a\):
\[R = \frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r = \frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}}.\]
Площа рахується через периметр і апофему — многокутник ріжеться на \(n\) однакових трикутників з основою \(a\) і висотою \(r\):
\[S = \frac{1}{2}\,P\,r = \frac{1}{2}\,n\,a\,r.\]
Про самі кола й пов'язані з ними формули докладніше — у статтях про коло і круг та вписане й описане коло.
Три випадки, які треба знати напам'ять
Підставивши \(n = 3, 4, 6\), дістаємо готові формули, які на контрольній економлять хвилини.
- Правильний трикутник (\(n=3\)): кут \(60^\circ\), \(R = \dfrac{a\sqrt3}{3}\), \(r = \dfrac{a\sqrt3}{6}\), \(S = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\). Зверніть увагу: \(R = 2r\).
- Квадрат (\(n=4\)): кут \(90^\circ\), \(R = \dfrac{a\sqrt2}{2}\), \(r = \dfrac{a}{2}\), \(S = a^2\).
- Правильний шестикутник (\(n=6\)): кут \(120^\circ\), \(R = a\), \(r = \dfrac{a\sqrt3}{2}\), \(S = \dfrac{3a^2\sqrt3}{2}\).
Рівність \(R = a\) у шестикутнику — не збіг: він складається з шести правильних трикутників зі спільною вершиною в центрі, тому радіус описаного кола дорівнює стороні. Це найчастіше використовувана властивість у задачах на шестикутник.
Приклад 1. Невідомий кут п'ятикутника
Чотири кути опуклого п'ятикутника дорівнюють \(100^\circ\), \(120^\circ\), \(90^\circ\) і \(135^\circ\). Знайти п'ятий кут.
Сума всіх кутів: \(S_5 = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ\). Сума відомих: \(100 + 120 + 90 + 135 = 445^\circ\). Тоді \(x = 540^\circ - 445^\circ = 95^\circ\).
Перевірка на опуклість: \(95^\circ < 180^\circ\), умова виконана — такий п'ятикутник існує.
Відповідь: \(95^\circ\).
Приклад 2. Обернена задача: за сумою кутів знайти кількість сторін
Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника дорівнює \(1980^\circ\). Скільки в нього сторін?
Це та сама формула, тільки невідоме тепер \(n\):
\[(n-2)\cdot 180^\circ = 1980^\circ \;\Rightarrow\; n - 2 = \frac{1980}{180} = 11 \;\Rightarrow\; n = 13.\]
Перевірка підстановкою: \((13-2)\cdot 180^\circ = 11 \cdot 180^\circ = 1980^\circ\). Збігається.
Важливий момент: сума кутів завжди кратна \(180^\circ\). Якщо в умові дали, скажімо, \(1000^\circ\), то \(\frac{1000}{180}\) не є цілим числом — такого многокутника не існує, і це і буде відповіддю, а не помилкою в обчисленнях.
Відповідь: \(13\) сторін.
Приклад 3. Діагоналі в обидва боки
(а) Скільки діагоналей має опуклий \(12\)-кутник? (б) Многокутник має \(90\) діагоналей — скільки в нього вершин?
(а) \(D = \dfrac{12\cdot(12-3)}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = \dfrac{108}{2} = 54\).
(б) Складаємо рівняння \(\dfrac{n(n-3)}{2} = 90\), тобто \(n^2 - 3n - 180 = 0\). Дискримінант \(D = 9 + 720 = 729\), \(\sqrt{729} = 27\), звідси \(n = \dfrac{3 + 27}{2} = 15\) або \(n = \dfrac{3-27}{2} = -12\). Від'ємний корінь відкидаємо: кількість вершин не буває від'ємною.
Перевірка: \(\dfrac{15 \cdot 12}{2} = 90\). Правильно.
Відповідь: (а) \(54\) діагоналі; (б) \(15\) вершин.
Приклад 4. Кут правильного многокутника
(а) Знайти кут правильного \(18\)-кутника. (б) Кут правильного многокутника дорівнює \(156^\circ\) — знайти \(n\).
(а) \(\alpha = 180^\circ - \dfrac{360^\circ}{18} = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\).
(б) \(180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n} = 156^\circ \;\Rightarrow\; \dfrac{360^\circ}{n} = 24^\circ \;\Rightarrow\; n = 15\).
Перевірка: \(\dfrac{(15-2)\cdot 180^\circ}{15} = \dfrac{2340^\circ}{15} = 156^\circ\). Збігається.
Відповідь: (а) \(160^\circ\); (б) \(n = 15\).
Приклад 5. Через зовнішній кут
Зовнішній кут правильного многокутника дорівнює \(24^\circ\). Знайти кількість сторін і суму внутрішніх кутів.
Сума зовнішніх кутів завжди \(360^\circ\), а всі вони тут однакові, тому \(n = \dfrac{360^\circ}{24^\circ} = 15\).
Сума внутрішніх: \(S_{15} = (15-2)\cdot 180^\circ = 2340^\circ\).
Зверніть увагу, наскільки цей шлях коротший за спробу одразу писати рівняння з \((n-2)\cdot 180^\circ\): один поділ замість дробового рівняння.
Відповідь: \(15\) сторін, сума внутрішніх кутів \(2340^\circ\).
Приклад 6. Правильний шестикутник зі стороною 6
Для правильного шестикутника зі стороною \(a = 6\) знайти радіус описаного кола, радіус вписаного кола та площу.
Кут шестикутника: \(180^\circ - \dfrac{360^\circ}{6} = 120^\circ\).
Радіус описаного кола: для \(n=6\) маємо \(R = a = 6\).
Радіус вписаного кола (апофема): \(r = \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3 \approx 5{,}196\).
Площа: \(S = \dfrac{3a^2\sqrt3}{2} = \dfrac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt3}{2} = 54\sqrt3 \approx 93{,}53\).
Перевіримо площу другим способом, через периметр і апофему: \(P = 6 \cdot 6 = 36\), тоді \(S = \dfrac{1}{2}Pr = \dfrac{1}{2}\cdot 36 \cdot 3\sqrt3 = 54\sqrt3\). Обидва способи дали те саме.
Відповідь: \(R = 6\), \(r = 3\sqrt3 \approx 5{,}196\), \(S = 54\sqrt3 \approx 93{,}53\).
Типові помилки
- Множать на \(180^\circ\) саме \(n\), а не \(n-2\). Для восьмикутника пишуть \(8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ\) замість \(6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ\). Ліки одні: щоразу згадуйте розріз на трикутники — їх на два менше, ніж вершин.
- Плутають суму кутів многокутника з кутом правильного многокутника. Це різні речі: \((n-2)\cdot 180^\circ\) — сума всіх кутів, \(\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}\) — один кут, і другу формулу можна застосовувати лише до правильного многокутника.
- Забувають ділити на 2 у формулі діагоналей. Відповідь виходить рівно вдвічі більшою, бо кожну діагональ порахували з двох кінців.
- Вважають, що сума зовнішніх кутів залежить від \(n\). Не залежить — вона завжди \(360^\circ\), і для трикутника, і для стокутника.
- Називають ромб чи прямокутник правильними. Потрібні обидві умови одночасно; з чотирикутників правильний лише квадрат.
- Плутають \(R\) і \(r\). Описане коло проходить через вершини (воно більше), вписане торкається сторін (менше). Якщо у відповіді \(r > R\) — десь підставили не ту формулу.
- Не перевіряють, що \(n\) — ціле натуральне число. Якщо з рівняння вийшло \(n = 7{,}5\) або від'ємне значення, це не «майже правильно», а доказ того, що такого многокутника не існує.
Висновок
Уся тема тримається на чотирьох формулах: \(S_n = (n-2)\cdot 180^\circ\), сума зовнішніх кутів \(= 360^\circ\), \(D = \frac{n(n-3)}{2}\) і кут правильного \(n\)-кутника \(= 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}\). Кожну з них можна вивести за півхвилини, якщо пам'ятати про розріз на трикутники, — а виведена формула не забувається перед контрольною так, як зазубрена. Обернені задачі (знайти \(n\) за сумою кутів, за кількістю діагоналей, за величиною кута) — це ті самі формули, розв'язані відносно \(n\), і саме вони найчастіше трапляються на НМТ.
Якщо задачі з буквою \(n\) поки що викликають ступор, приходьте на пробне заняття — розберемо виведення формул на конкретних фігурах і закріпимо на задачах вашого рівня.
Чому сума кутів многокутника дорівнює саме \((n-2)\cdot 180^\circ\)?
Бо діагоналі, проведені з однієї вершини, розрізають \(n\)-кутник рівно на \(n-2\) трикутники. Сума кутів усіх цих трикутників дорівнює сумі внутрішніх кутів многокутника, а кожен трикутник дає \(180^\circ\).
Чи діє формула суми кутів для неопуклих многокутників?
Так, для будь-якого простого (без самоперетинів) многокутника сума внутрішніх кутів теж дорівнює \((n-2)\cdot 180^\circ\). Але розріз на трикутники там складніший: діагоналі з довільної вершини можуть виходити за межі фігури. У шкільному курсі формулу доводять і застосовують для опуклих многокутників.
Чи існує многокутник, сума кутів якого дорівнює \(1000^\circ\)?
Ні. З рівняння \((n-2)\cdot 180^\circ = 1000^\circ\) дістаємо \(n - 2 = \frac{50}{9}\), тобто \(n\) не є цілим числом. Сума кутів многокутника завжди кратна \(180^\circ\).
Чим правильний многокутник відрізняється від рівностороннього?
Рівносторонній — це тільки про рівні сторони, правильний — про рівні сторони і рівні кути. Для трикутника ці поняття збігаються, а для чотирикутника вже ні: ромб рівносторонній, але не правильний, бо його кути різні.
