Розбір завдань НМТ: текстові задачі
Текстова задача — найчастіша причина, чому підготовлений учень втрачає бали на НМТ. Математика в ній зазвичай нескладна: лінійне рівняння, пропорція, зрідка квадратне. Складність в іншому — треба перекласти три речення побутовою мовою на мову символів. Це окрема навичка, і вона тренується. Нижче ми розберемо вісім задач основних типів так, як робимо це на заняттях у Tutor-Math: спершу схема умови, потім розв'язання, потім обов'язкова перевірка на здоровий глузд.
Нагадаємо формат: НМТ з математики 2026 містить 22 завдання, максимальна кількість тестових балів — 32. Текстові задачі трапляються і серед завдань з вибором однієї відповіді, і серед тих, де відповідь треба вписати числом. Повний перелік тем — у нашому огляді тем НМТ 2026.
Універсальний алгоритм: що брати за \(x\)
Алгоритм. 1) Виписати учасників (тіла, робітники, розчини, платежі) — стільки рядків, скільки різних «шматків» описано. 2) Обрати невідоме \(x\) і записати словами, що воно означає, разом з одиницями. 3) Виразити через \(x\) решту величин у рядках. 4) Знайти в умові фразу, яку ще не використали, — це і є рівняння. 5) Розв'язати, відкинути сторонні корені й відповісти саме на поставлене питання.
Найбільше помилок дає крок 2. Три робочі правила вибору невідомої:
- Якщо в умові є «на \(20\) більша» — беріть за \(x\) меншу величину: друга стане \(x + 20\) без жодного мінуса.
- Якщо є «у \(3\) рази більша» — беріть за \(x\) меншу, друга буде \(3x\).
- У задачах на роботу за \(x\) беріть час виконання, а продуктивність записуйте як \(1/x\) — так формули виходять коротшими.
І окреме правило, яке рятує на тесті: перечитайте питання перед тим, як записати відповідь. Дуже часто \(x\) — це швидкість першого, а питають про другого.
Задача 1. Рух назустріч
З двох міст, відстань між якими \(240\) км, одночасно назустріч виїхали два автомобілі й зустрілися через \(2\) години. Швидкість другого на \(20\) км/год більша за швидкість першого. Знайдіть швидкість другого автомобіля.
Нехай \(x\) — швидкість першого автомобіля, км/год. Схема умови:
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/год} & t,\ \text{год} & s,\ \text{км} \\ \hline \text{Перший} & x & 2 & 2x \\ \text{Другий} & x+20 & 2 & 2(x+20) \end{array} \]Стовпчик \(s\) ми не читали з умови — порахували за формулою \(s = vt\). Невикористана фраза — «відстань \(240\) км», і вона стосується суми шляхів:
\[ 2x + 2(x+20) = 240 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 40 = 240 \quad\Longrightarrow\quad x = 50 \]Тоді швидкість другого: \(50 + 20 = 70\) км/год. Про техніку таких рівнянь — у статті про лінійні рівняння.
Перевірка на здоровий глузд. Обидві швидкості додатні й реалістичні для авто. Шляхи: \(2 \cdot 50 = 100\) км і \(2 \cdot 70 = 140\) км, разом \(240\) км — збігається. Питали про другого, а не про \(x\).
Відповідь: \(70\) км/год.
Задача 2. Рух навздогін
Мотоцикліст виїхав з міста зі швидкістю \(40\) км/год. Через \(1{,}5\) години тим самим маршрутом виїхав автомобіль зі швидкістю \(70\) км/год. Через скільки годин після свого виїзду автомобіль наздожене мотоцикліста?
Спершу початковий відрив: за \(1{,}5\) год мотоцикліст проїхав \(40 \cdot 1{,}5 = 60\) км. Далі відстань між ними скорочується на різницю швидкостей.
\[ v_{\text{зближ}} = 70 - 40 = 30 \ \text{км/год}, \qquad t = \frac{60}{30} = 2 \ \text{год} \]Перевірка. За \(2\) год автомобіль проїде \(70 \cdot 2 = 140\) км. Мотоцикліст на той момент їде \(1{,}5 + 2 = 3{,}5\) год і проїде \(40 \cdot 3{,}5 = 140\) км. Точки збігаються. Наздогін узагалі можливий, бо \(70 > 40\).
Відповідь: через \(2\) години.
Задача 3. Рух за течією і проти течії
Катер пройшов \(42\) км за течією річки і \(30\) км проти течії, витративши на весь шлях \(6\) годин. Швидкість течії \(2\) км/год. Знайдіть власну швидкість катера.
Нехай \(x\) — власна швидкість катера, км/год. Тоді за течією він іде зі швидкістю \(x+2\), проти течії — \(x-2\).
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & v,\ \text{км/год} & s,\ \text{км} & t,\ \text{год} \\ \hline \text{За течією} & x+2 & 42 & \dfrac{42}{x+2} \\[2mm] \text{Проти течії} & x-2 & 30 & \dfrac{30}{x-2} \end{array} \]Невикористана фраза — «на весь шлях \(6\) годин»:
\[ \frac{42}{x+2} + \frac{30}{x-2} = 6 \]Множимо на \((x+2)(x-2)\), де \(x \neq \pm 2\):
\[ 42(x-2) + 30(x+2) = 6(x^2-4) \] \[ 72x - 24 = 6x^2 - 24 \quad\Longrightarrow\quad 6x^2 - 72x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x(x-12) = 0 \]Корені: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 12\). Це типова ситуація для квадратних рівнянь у текстових задачах — коренів два, а підходить один.
Перевірка. Корінь \(x = 0\) відкидаємо: катер із нульовою власною швидкістю не існує, а проти течії він мав би швидкість \(-2\) км/год. Підставляємо \(x = 12\): за течією \(14\) км/год, \(42 : 14 = 3\) год; проти течії \(10\) км/год, \(30 : 10 = 3\) год; разом \(6\) год — збігається. Умова \(x > 2\) виконана, інакше катер не подолав би течію.
Відповідь: \(12\) км/год.
Більше розібраних сюжетів цього типу — у статті про задачі на рух.
Задача 4. Робота і продуктивність
Дві труби, працюючи разом, наповнюють басейн за \(6\) годин. Перша труба сама наповнює його за \(10\) годин. За скільки годин наповнить басейн друга труба?
Ключова домовленість: увесь обсяг роботи беремо за \(1\). Тоді продуктивність — це частка роботи за годину.
\[ \begin{array}{l|c|c} & t,\ \text{год} & \text{продуктивність} \\ \hline \text{Перша} & 10 & \dfrac{1}{10} \\[2mm] \text{Друга} & x & \dfrac{1}{x} \\[2mm] \text{Разом} & 6 & \dfrac{1}{6} \end{array} \]Правило. Продуктивності при спільній роботі додаються: \(\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{t_{\text{разом}}}\). Часи не додаються ніколи.\[ \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5-3}{30} = \frac{1}{15} \]
Отже \(x = 15\).
Перевірка. Разом за годину: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{1}{6}\) — саме стільки й треба. Головна перевірка на глузд: спільний час \((6)\) має бути меншим за час кожної труби окремо \((10\) і \(15)\). Якщо у вас вийшло навпаки — знак у рівнянні переплутано.
Відповідь: \(15\) годин.
Задача 5. Відсотки і знижки
Ціну товару спочатку знизили на \(20\%\), а потім ще на \(15\%\) від нової ціни. Після цього товар коштує \(1360\) грн. Якою була початкова ціна?
Нехай \(x\) — початкова ціна, грн. Зниження на \(20\%\) означає множення на \(0{,}8\), наступне зниження на \(15\%\) — множення на \(0{,}85\).
\[ \begin{array}{l|c|c} \text{Етап} & \text{Множник} & \text{Ціна} \\ \hline \text{Початок} & - & x \\ \text{Після } 20\% & 0{,}8 & 0{,}8x \\ \text{Після } 15\% & 0{,}85 & 0{,}68x \end{array} \] \[ 0{,}68x = 1360 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1360}{0{,}68} = 2000 \]Перевірка. \(2000 \cdot 0{,}8 = 1600\), далі \(1600 \cdot 0{,}85 = 1360\) — збігається. Загальна знижка склала \(32\%\), а не \(35\%\): відсотки від різних баз не додаються. І контроль абсурду — знижка вийшла менша за \(100\%\), кінцева ціна додатна. Деталі — у статті про задачі на відсотки.
Відповідь: \(2000\) грн.
Задача 6. Суміші та сплави
Сплав масою \(40\) кг містить \(25\%\) міді. Скільки кілограмів чистої міді треба додати, щоб вміст міді у новому сплаві становив \(40\%\)?
Універсальний прийом для сумішей: рахуємо не відсотки, а масу чистої речовини. У вихідному сплаві її \(0{,}25 \cdot 40 = 10\) кг. Нехай додали \(x\) кг міді.
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & \text{Маса сплаву, кг} & \text{Частка міді} & \text{Маса міді, кг} \\ \hline \text{Було} & 40 & 0{,}25 & 10 \\ \text{Додали} & x & 1 & x \\ \text{Стало} & 40+x & 0{,}4 & 10+x \end{array} \] \[ 10 + x = 0{,}4\,(40+x) \quad\Longrightarrow\quad 10 + x = 16 + 0{,}4x \quad\Longrightarrow\quad 0{,}6x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 10 \]Перевірка. Новий сплав важить \(50\) кг і містить \(20\) кг міді: \(20 : 50 = 0{,}4 = 40\%\). Глузд: доданої речовини вийшло менше за масу сплаву, частка зросла з \(25\%\) до \(40\%\) і не перевищила \(100\%\), маса додатна.
Відповідь: \(10\) кг.
Задача 7. Пропорційний поділ
Премію \(1260\) грн розподілили між трьома працівниками пропорційно відпрацьованим годинам — у відношенні \(2 : 3 : 4\). Скільки гривень отримав той, хто працював найбільше?
Метод однієї частини: нехай одна частина дорівнює \(x\) грн.
\[ 2x + 3x + 4x = 1260 \quad\Longrightarrow\quad 9x = 1260 \quad\Longrightarrow\quad x = 140 \] \[ \begin{array}{l|c|c} \text{Працівник} & \text{Частин} & \text{Сума, грн} \\ \hline \text{Перший} & 2 & 280 \\ \text{Другий} & 3 & 420 \\ \text{Третій} & 4 & 560 \end{array} \]Перевірка. \(280 + 420 + 560 = 1260\) — уся премія розподілена. Відношення \(280 : 420 : 560\) справді зводиться до \(2 : 3 : 4\) після ділення на \(140\). Питали про найбільшу частку. Теорію дивіться в матеріалі про пропорцію.
Відповідь: \(560\) грн.
Задача 8. Практико-орієнтована: тарифи й окупність
Родина споживає \(300\) кВт·год електроенергії на місяць, з них \(40\%\) — уночі. Однозонний тариф: \(4{,}32\) грн за кВт·год. Двозонний лічильник дає вночі тариф \(2{,}16\) грн, а вдень — той самий \(4{,}32\) грн. Установка двозонного лічильника коштує \(2400\) грн. Через скільки повних місяців він окупиться?
Такі задачі виглядають довгими, але зводяться до трьох арифметичних дій. Нічне споживання: \(0{,}4 \cdot 300 = 120\) кВт·год.
\[ \begin{array}{l|c|c|c} & \text{кВт·год} & \text{Однозонний, грн} & \text{Двозонний, грн} \\ \hline \text{День} & 180 & 777{,}6 & 777{,}6 \\ \text{Ніч} & 120 & 518{,}4 & 259{,}2 \\ \hline \text{Разом} & 300 & 1296 & 1036{,}8 \end{array} \]Економія за місяць: \(1296 - 1036{,}8 = 259{,}2\) грн. Кількість місяців до окупності:
\[ \frac{2400}{259{,}2} \approx 9{,}26 \]За \(9\) місяців накопичиться \(9 \cdot 259{,}2 = 2332{,}8\) грн — цього ще замало. За \(10\) місяців буде \(2592\) грн, що вже перевищує \(2400\) грн.
Перевірка. Економія виникає лише на нічній частині, і вона дорівнює \(120 \cdot (4{,}32 - 2{,}16) = 120 \cdot 2{,}16 = 259{,}2\) грн — той самий результат іншим шляхом. Округлювати \(9{,}26\) до \(9\) не можна: питання про повну окупність, тому округлюємо вгору.
Відповідь: через \(10\) місяців.
Типові помилки
- Не узгоджені одиниці. \(60\) км/год і \(30\) хвилин не перемножуються: спершу \(30\) хв \(= 0{,}5\) год.
- Відповідь не на те питання. Знайшли \(x = 50\) — швидкість першого, а питали про другого. Найдорожча помилка НМТ.
- Додавання відсотків від різних баз. Знижки \(20\%\) і \(15\%\) дають не \(35\%\), а \(32\%\).
- Додавання часів у задачах на роботу. Дві труби по \(10\) годин разом працюють не \(20\) і не \(10\), а \(5\) годин: додаються продуктивності.
- Незалишений сторонній корінь. Від'ємна швидкість, від'ємна маса, час менший за нуль, вміст речовини понад \(100\%\) — усе це відкидається за змістом задачі.
- Втрачена умова. Якщо в умові є число, яке ви ніде не використали, — рівняння майже напевно складено неправильно.
- Ігнорування ОДЗ у дробових рівняннях. У задачі про катер знаменники \(x+2\) і \(x-2\) вимагають \(x \neq \pm 2\), а зміст задачі — ще й \(x > 2\).
Висновок
Усі вісім задач розв'язані за однією схемою: учасники — рядки, невідоме \(x\) зі словесним описом, невикористана фраза умови — рівняння, потім перевірка на глузд. Тип задачі змінює лише те, що стоїть у стовпчиках: швидкість і час, продуктивність, маса чистої речовини, гривні. Коли ця схема доведена до автоматизму, текстова частина НМТ перестає бути лотереєю. Якщо на якомусь із восьми типів ви застрягли — приходьте на пробне заняття, розберемо саме вашу слабку ланку.
Скільки текстових задач на НМТ з математики?
Точна кількість щороку різна, фіксованої квоти на тип задачі немає. Відомо інше: НМТ з математики 2026 містить \(22\) завдання, максимум — \(32\) тестові бали. Текстові задачі трапляються і в частині з вибором відповіді, і серед завдань з відповіддю-числом, тому ігнорувати цей блок не вийде.
Що робити, якщо не виходить скласти рівняння?
Складіть таблицю з рядками-учасниками, навіть якщо ще не бачите рівняння. Заповніть усе, що дано, і все, що обчислюється за формулами. Далі перечитайте умову й знайдіть фразу, число з якої ще ніде не з'явилося — саме вона й дає рівняння. Прийом працює у всіх типах, від руху до сплавів.
Чи можна розв'язувати текстові задачі системою рівнянь?
Так, і часто це навіть простіше: два невідомих із двома природними умовами замість одного невідомого зі складним виразом. Техніку дивіться в статті про системи лінійних рівнянь. На НМТ обмежень на метод немає — оцінюється лише відповідь.
Як швидко перевірити відповідь на тесті?
Підставте знайдене число назад в умову словами, а не в рівняння. «Швидкість \(70\), за \(2\) години це \(140\) км» — і одразу видно, чи сходиться. Додатково перевірте знак і масштаб: швидкість не буває від'ємною, відсоток вмісту не буває понад \(100\), спільна робота не триває довше за роботу поодинці.
