Площа трикутника: усі формули та формула Герона
Трикутник — єдина фігура, площу якої в школі рахують сімома різними способами. Це не примха авторів підручника: у задачі можуть бути дані сторона й висота, а можуть — три сторони або радіус вписаного кола, і під кожен набір даних є своя формула. Учні губляться саме тут: формулу пам'ятають одну, а задача просить іншу. У Tutor-Math ми розбираємо тему як набір інструментів із чіткою умовою застосування кожного. Нижче — усі формули, зведена таблиця вибору й шість прикладів із повними обчисленнями.
Базова формула: через сторону і висоту
Основна формула. Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
\[S = \frac{1}{2}\,a\,h_a\]
Ключове слово — «до цієї сторони». Висота має бути проведена саме до тієї сторони, яку ви взяли за основу. У трикутнику три сторони й три висоти, тож формулу можна записати трьома способами:
\[S = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}b h_b = \frac{1}{2}c h_c\]Усі три дають те саме число — це важлива властивість, з якої випливає корисний наслідок: якщо площа відома, будь-яку висоту знаходять як \(h_a = \dfrac{2S}{a}\). Що довша сторона, то коротша висота до неї.
Умова застосування: відомі сторона й висота до неї. Якщо ви плутаєте висоту з медіаною чи бісектрисою, спершу поверніться до теми медіани, висоти та бісектриси — у тупокутному трикутнику дві висоти взагалі падають на продовження сторін, і це джерело половини помилок.
Через дві сторони і синус кута між ними
Формула. Площа дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними:
\[S = \frac{1}{2}\,a\,b\,\sin\gamma\]
Тут \(\gamma\) — кут між сторонами \(a\) і \(b\), а не будь-який кут трикутника. Формула виводиться з базової: висота до сторони \(a\) дорівнює \(b\sin\gamma\), підставили — отримали результат.
Два практичні моменти. По-перше, \(\sin 90^\circ = 1\), тому для прямокутного трикутника формула перетворюється на половину добутку катетів. По-друге, синуси суміжних кутів рівні: \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}\). Тому тупий кут не створює жодних труднощів — площа виходить така сама, як для гострого кута, доповнюючого до \(180^\circ\).
Умова застосування: дано дві сторони і кут між ними.
Формула Герона: коли відомі три сторони
Найцінніша формула теми. Вона не потребує ні висот, ні кутів — лише три сторони.
Формула Герона. Якщо \(a\), \(b\), \(c\) — сторони трикутника, а \(p = \dfrac{a+b+c}{2}\) — його півпериметр, то
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
Зверніть увагу: у формулі саме півпериметр, а не периметр. Це помилка номер один. Друга особливість — усі три різниці \(p-a\), \(p-b\), \(p-c\) додатні для будь-якого справжнього трикутника. Якщо якась вийшла від'ємною або нульовою, трикутника з такими сторонами не існує (порушено нерівність трикутника), і корінь просто не візьметься. Під коренем часто лишається число, яке треба грамотно спростити, тому навички роботи з квадратним коренем тут обов'язкові.
Перевіримо формулу на трикутнику, площу якого знаємо напевно — єгипетському 3-4-5. Він прямокутний (\(3^2+4^2=5^2\)), тому площа дорівнює половині добутку катетів: \(S = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 = 6\). Тепер Герон: \(p = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\), далі
\[S = \sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)} = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6\]Збіглося. Формула працює.
Через радіус вписаного кола
Формула. \(S = p\,r\), де \(p\) — півпериметр, \(r\) — радіус вписаного кола.
Ідея виведення проста: з'єднайте центр вписаного кола з вершинами. Трикутник розпадеться на три менші, у кожного основа — сторона, а висота — радіус \(r\) (бо коло дотикається до сторони). Складаємо: \(\tfrac{1}{2}ar + \tfrac{1}{2}br + \tfrac{1}{2}cr = \tfrac{1}{2}(a+b+c)r = pr\).
На практиці формулу частіше використовують у зворотний бік: площу знаходять Героном, а тоді \(r = \dfrac{S}{p}\). Це стандартний хід у задачах ДПА.
Через радіус описаного кола
Формула. \(S = \dfrac{abc}{4R}\), де \(R\) — радіус описаного кола.
Формула випливає з теореми синусів: із \(\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R\) маємо \(\sin\gamma = \dfrac{c}{2R}\), підставляємо в \(S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma\) і отримуємо \(S = \dfrac{abc}{4R}\).
Як і попередня, вона зазвичай працює навпаки: \(R = \dfrac{abc}{4S}\). Три сторони дають площу через Герона, а площа — радіус описаного кола.
Площа прямокутного трикутника
Формула. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів: \(S = \dfrac{1}{2}\,a\,b\).
Це не окрема формула, а частковий випадок основної: кожен катет є висотою до другого катета. Якщо в умові дано катет і гіпотенузу, другий катет знаходять за теоремою Піфагора — і лише потім рахують площу. Типова пастка: множать катет на гіпотенузу. Гіпотенуза висотою до катета не є.
Площа рівностороннього трикутника
Формула. Для трикутника зі стороною \(a\), у якого всі сторони рівні:
\[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
Її легко отримати з Герона: при \(a=b=c\) півпериметр \(p = \tfrac{3a}{2}\), і \(S = \sqrt{\tfrac{3a}{2}\cdot\left(\tfrac{a}{2}\right)^3} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\). Той самий результат дає базова формула з висотою \(h = \dfrac{a\sqrt3}{2}\).
Зведений довідник: що дано → яку формулу брати
Це найкорисніший блок теми. Перш ніж рахувати, подивіться на умову й визначте, до якого рядка вона належить.
- Сторона і висота до неї → \(S = \tfrac{1}{2}a h_a\). Базовий випадок, найшвидший.
- Дві сторони і кут між ними → \(S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma\). Кут обов'язково між цими сторонами.
- Три сторони → формула Герона \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Кутів шукати не треба.
- Три сторони і радіус вписаного кола (або треба знайти \(r\)) → \(S = pr\).
- Три сторони і радіус описаного кола (або треба знайти \(R\)) → \(S = \dfrac{abc}{4R}\).
- Два катети прямокутного трикутника → \(S = \tfrac{1}{2}ab\).
- Катет і гіпотенуза → спершу теорема Піфагора, потім \(S = \tfrac{1}{2}ab\).
- Одна сторона рівностороннього трикутника → \(S = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\).
- Дано площу, шукають висоту → \(h_a = \dfrac{2S}{a}\).
Приклад 1. Дві висоти через площу
Площа трикутника дорівнює \(54\) см², одна сторона — \(12\) см, інша — \(9\) см. Знайти висоти, проведені до цих сторін.
Використовуємо наслідок з базової формули \(h = \dfrac{2S}{a}\):
\[h_{12} = \frac{2\cdot 54}{12} = \frac{108}{12} = 9\ \text{см}, \qquad h_{9} = \frac{2\cdot 54}{9} = \frac{108}{9} = 12\ \text{см}\]Перевірка: \(\tfrac12\cdot 12\cdot 9 = 54\) і \(\tfrac12\cdot 9\cdot 12 = 54\) — обидва добутки дають задану площу. Зверніть увагу на закономірність: більша сторона — менша висота.
Відповідь: 9 см і 12 см.
Приклад 2. Дві сторони і тупий кут
Сторони трикутника дорівнюють \(8\) і \(15\), кут між ними — \(150^\circ\). Знайти площу.
Дано саме дві сторони і кут між ними, отже беремо \(S = \tfrac12 ab\sin\gamma\). Синус тупого кута рахуємо через суміжний: \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \tfrac12\).
\[S = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15\cdot \frac{1}{2} = \frac{120}{2}\cdot\frac{1}{2} = 30\]Відповідь: \(S = 30\).
Приклад 3. Формула Герона для трикутника 13, 14, 15
Сторони трикутника: \(13\), \(14\), \(15\). Знайти площу.
Кутів і висот немає — працює тільки Герон. Спершу півпериметр:
\[p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21\]Далі різниці: \(p-a = 21-13 = 8\), \(p-b = 21-14 = 7\), \(p-c = 21-15 = 6\). Усі додатні — трикутник існує.
\[S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\]Число під коренем зручно згрупувати: \(21\cdot 6 = 126\), \(8\cdot 7 = 56\), \(126\cdot 56 = 7056 = 84^2\). Перевірка через висоту: \(h_{14} = \dfrac{2\cdot 84}{14} = 12\), і тоді \(\tfrac12\cdot 14\cdot 12 = 84\).
Відповідь: \(S = 84\).
Приклад 4. Рівнобедрений трикутник двома способами
Сторони трикутника: \(5\), \(5\), \(6\). Знайти площу через висоту й перевірити формулою Герона.
Спосіб 1. Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, ділить її навпіл: половина основи дорівнює \(3\). За теоремою Піфагора \(h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4\). Тоді
\[S = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4 = 12\]Спосіб 2. Герон: \(p = \dfrac{5+5+6}{2} = 8\), різниці \(3\), \(3\), \(2\).
\[S = \sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2} = \sqrt{144} = 12\]Обидва способи дали \(12\) — це і є практична перевірка Герона на «зрозумілому» трикутнику.
Відповідь: \(S = 12\).
Приклад 5. Радіуси вписаного й описаного кіл
Для трикутника зі сторонами \(13\), \(14\), \(15\) знайти радіус вписаного та радіус описаного кола.
З прикладу 3 вже маємо \(p = 21\) і \(S = 84\). Радіус вписаного кола з формули \(S = pr\):
\[r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4\]Радіус описаного кола з формули \(S = \dfrac{abc}{4R}\):
\[R = \frac{abc}{4S} = \frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8{,}125\]Перевірка: \(pr = 21\cdot 4 = 84\) і \(\dfrac{2730}{4\cdot \frac{65}{8}} = \dfrac{2730}{32{,}5} = 84\). Обидві формули повертають вихідну площу.
Відповідь: \(r = 4\), \(R = \dfrac{65}{8} = 8{,}125\).
Приклад 6. Рівносторонній трикутник, пряма й обернена задача
а) Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною \(6\).
\[S = \frac{6^2\sqrt3}{4} = \frac{36\sqrt3}{4} = 9\sqrt3 \approx 15{,}59\]б) Площа рівностороннього трикутника дорівнює \(25\sqrt3\). Знайти сторону.
\[\frac{a^2\sqrt3}{4} = 25\sqrt3 \;\Longrightarrow\; a^2\sqrt3 = 100\sqrt3 \;\Longrightarrow\; a^2 = 100 \;\Longrightarrow\; a = 10\]Від'ємний корінь відкидаємо: сторона не буває від'ємною. Підстановка: \(\dfrac{10^2\sqrt3}{4} = \dfrac{100\sqrt3}{4} = 25\sqrt3\) — збігається з умовою.
Відповідь: а) \(9\sqrt3 \approx 15{,}59\); б) \(a = 10\).
Типові помилки
- Забувають множник \(\tfrac12\). Найчастіша помилка теми: \(S = ah\) замість \(S = \tfrac12 ah\). Відповідь виходить рівно вдвічі більшою. Швидка перевірка: трикутник — це половина прямокутника з тими самими основою й висотою.
- Беруть висоту не до тієї сторони. У формулі \(S = \tfrac12 a h_a\) індекси не декоративні. Множити сторону \(a\) на висоту \(h_b\) не можна — це число не означає нічого.
- У формулі Герона підставляють периметр замість півпериметра. Тоді всі різниці й сам корінь «поїдуть». Правило: спочатку рахуємо \(p\), потім записуємо всі чотири множники й лише тоді беремо корінь.
- Беруть синус не того кута. У \(S = \tfrac12 ab\sin\gamma\) кут має лежати між сторонами \(a\) і \(b\). Якщо дано кут при третій стороні, формула не працює без додаткових побудов.
- Множать катет на гіпотенузу. У прямокутному трикутнику площа — це половина добутку катетів. Гіпотенуза в цю формулу не входить узагалі.
- Не перевіряють нерівність трикутника. Для сторін 2, 3, 10 Герон дасть від'ємне число під коренем — і це не помилка обчислень, а сигнал, що такого трикутника не існує.
- Змішують одиниці. Основа в метрах, висота в сантиметрах — площа виходить безглуздою. Зводьте до однієї одиниці до підстановки, а не після.
Висновок
Формул площі трикутника багато, але хаосу в них немає: усі, крім Герона, виводяться з однієї базової \(S = \tfrac12 a h_a\), а Герон — це універсальний запасний варіант, коли з даних є лише три сторони. Алгоритм роботи із задачею завжди однаковий: подивитися, що дано, знайти відповідний рядок у довіднику вище, підставити. Якщо в умові трьох сторін немає, а є площа — формула читається у зворотний бік і дає висоту, радіус чи сторону.
Якщо задачі на площу стабільно «не йдуть», причина зазвичай точкова: учень не бачить, яку саме формулу вибрати, або плутає висоту з медіаною або бісектрисою. На пробному занятті Tutor-Math викладач за одну зустріч визначає, де саме ламається логіка, і закриває прогалину адресно — до того, як вона потягне за собою ключові теореми геометрії для ДПА та ЗНО.
Скільки всього формул площі трикутника треба знати у школі?
Обов'язкових — чотири: через сторону і висоту, через дві сторони і синус кута між ними, формула Герона та половина добутку катетів для прямокутного трикутника. Ще три бажані для ДПА і ЗНО: \(S = pr\), \(S = \dfrac{abc}{4R}\) і площа рівностороннього трикутника \(S = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\). Останні дві виводяться за півхвилини, тож зубрити їх не обов'язково.
Коли обов'язково потрібна формула Герона?
Тоді і тільки тоді, коли з даних є три сторони й жодного кута або висоти. Це єдина шкільна формула, яка дає площу без додаткових побудов. У всіх інших випадках зазвичай є коротший шлях: якщо відомі сторона й висота — рахуйте базовою формулою, вона на два кроки швидша.
Чому у формулі Герона під коренем може вийти від'ємне число?
Це означає, що трикутника з такими сторонами не існує. Одна з різниць \(p-a\), \(p-b\), \(p-c\) стала від'ємною, а це рівносильно порушенню нерівності трикутника: одна сторона більша за суму двох інших. Наприклад, для сторін 2, 3 і 10 маємо \(p = 7{,}5\) і \(p - 10 = -2{,}5\). Перевіряйте нерівність трикутника до обчислень.
Як знайти площу тупокутного трикутника?
Тими самими формулами — жодних окремих правил немає. Через дві сторони й кут працює без застережень, бо \(\sin\) тупого кута додатний і дорівнює синусу суміжного: \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ\). Формула Герона теж не розрізняє види трикутників. Обережності потребує лише варіант із висотою: у тупокутному трикутнику дві висоти падають на продовження сторін, і в обчисленнях бере участь довжина самої сторони, а не продовження.
