Похідна: означення та геометричний зміст

Похідна: означення та геометричний зміст

Похідна — поняття, після якого шкільна математика помітно змінює характер: замість «обчисли» з'являється «досліди». Учні часто вивчають таблицю похідних раніше, ніж розуміють, звідки вона взялася, і тоді вся тема перетворюється на набір правил без сенсу. На заняттях у Tutor-Math ми йдемо іншим шляхом: спершу дві задачі, які змусили математиків винайти похідну, потім означення через границю, і лише після цього — готові формули. Ця стаття повторює саме такий порядок.

Дві задачі, з яких народилася похідна

Задача про дотичну. Кутовий коефіцієнт прямої ми вміємо знаходити ще з теми лінійна функція: беремо дві точки прямої й ділимо різницю ординат на різницю абсцис. Але як знайти нахил кривої в одній конкретній точці? Двох точок у нас немає — точка одна.

Вихід такий. Візьмемо на графіку функції \(y = f(x)\) точку \(A(x_0;\ f(x_0))\) і другу точку \(B\), зсунуту на невелику величину \(h\): її абсциса \(x_0 + h\). Пряма \(AB\) — це січна, і її кутовий коефіцієнт ми обчислити вміємо:

\[ k_{AB} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

Тепер почнемо наближати точку \(B\) до точки \(A\), тобто спрямуємо \(h\) до нуля. Січна повертатиметься навколо \(A\) і в границі займе положення дотичної. Отже, нахил дотичної — це границя нахилів січних.

Подивімося на це в числах для \(y = x^2\) у точці \(x_0 = 1\). Кутовий коефіцієнт січної дорівнює \(\dfrac{(1+h)^2 - 1}{h}\):

• при \(h = 1\) отримуємо \(3\);
• при \(h = 0{,}1\) отримуємо \(2{,}1\);
• при \(h = 0{,}01\) отримуємо \(2{,}01\);
• при \(h = 0{,}001\) отримуємо \(2{,}001\).

Числа явно прямують до \(2\). Це й буде нахил дотичної до параболи в точці \((1;\ 1)\).

Задача про миттєву швидкість. Нехай тіло рухається за законом \(s = s(t)\). Середня швидкість на проміжку від \(t_0\) до \(t_0 + h\) — це \(\dfrac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}\). А що таке швидкість у момент \(t_0\)? Спідометр показує саме її, але за нульовий час тіло проходить нульовий шлях, і формула дає \(\tfrac{0}{0}\). Знову доводиться брати проміжок дедалі меншим і дивитися, до чого прямує середня швидкість.

Задачі різні за змістом — геометрія і фізика, — але математично це одна й та сама операція. Її й назвали похідною.

Приріст аргументу і приріст функції

Домовимося про позначення. Величину \(h = x - x_0\) називають приростом аргументу і позначають також \(\Delta x\), а різницю \(\Delta f = f(x_0 + h) - f(x_0)\) — приростом функції. Дріб

\[ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

називають різницевим відношенням. Воно показує, на скільки в середньому змінюється функція на одиницю зміни аргументу. Уся теорія похідної — це вивчення того, до чого прямує цей дріб, коли \(h\) стає як завгодно малим.

Означення похідної

Означення. Похідною функції \(f\) у точці \(x_0\) називають границю різницевого відношення при прямуванні приросту аргументу до нуля: \[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \] якщо ця границя існує і скінченна. Функцію, яка має похідну в точці, називають диференційовною в цій точці.

Три деталі, які легко проґавити, а вони визначальні:

• \(h\) прямує до нуля, але ніколи не дорівнює нулю — інакше ділення було б неможливим. Тому скорочувати на \(h\) в різницевому відношенні цілком законно.
• Границя має бути скінченною. Якщо дріб необмежено зростає, похідної немає.
• Границя має бути одна й та сама незалежно від того, з якого боку \(h\) наближається до нуля. Якщо зліва і справа виходять різні числа — похідної немає.

Позначення \(f'(x_0)\), \(y'\) і \(\dfrac{dy}{dx}\) означають те саме.

Геометричний зміст похідної

Геометричний зміст. Похідна \(f'(x_0)\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції \(y = f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0\): \(f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha\), де \(\alpha\) — кут між дотичною і додатним напрямом осі \(Ox\).

Звідси одразу читається поведінка функції: якщо \(f'(x_0) > 0\), дотична піднімається і функція в околі точки зростає; якщо \(f'(x_0) < 0\) — спадає; якщо \(f'(x_0) = 0\), дотична горизонтальна, і точка підозріла на максимум чи мінімум. Саме на цьому побудовано застосування похідної до дослідження функцій.

Оскільки дотична проходить через точку \((x_0;\ f(x_0))\) і має кутовий коефіцієнт \(f'(x_0)\), її рівняння записується миттєво:

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]

Фізичний зміст. Якщо \(s(t)\) — закон руху, то \(s'(t_0)\) — миттєва швидкість у момент \(t_0\), а похідна швидкості \(v'(t_0)\) — прискорення. Узагалі похідна будь-якої величини за часом — це швидкість її зміни.

Алгоритм знаходження похідної за означенням

• Крок 1. Записати \(f(x + h)\), підставивши у формулу функції \(x + h\) замість \(x\).
• Крок 2. Знайти приріст \(f(x + h) - f(x)\) і спростити його: розкрити дужки або звести до спільного знаменника.
• Крок 3. Поділити на \(h\). У правильно спрощеному виразі множник \(h\) обов'язково винесеться за дужки й скоротиться.
• Крок 4. Обчислити границю при \(h \to 0\) — тобто підставити \(h = 0\) у вже скорочений вираз.

Приклад 1. Знайти похідну функції \(y = x^2\) за означенням

Крок 1: \(f(x + h) = (x + h)^2\).

Крок 2: \((x + h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2 = h(2x + h)\).

Крок 3: \(\dfrac{h(2x + h)}{h} = 2x + h\) — скорочуємо на \(h\), бо \(h \neq 0\).

Крок 4: \(\lim\limits_{h \to 0} (2x + h) = 2x\).

Зокрема, \(f'(3) = 6\), а \(f'(1) = 2\) — рівно те число, до якого прямували кутові коефіцієнти січних на початку статті. Це й пояснює, чому в таблиці стоїть формула \((x^2)' = 2x\), а графік квадратичної функції в нулі має горизонтальну дотичну: \(f'(0) = 0\).

Відповідь: \((x^2)' = 2x\).

Приклад 2. Знайти похідну функції \(y = x^3\) за означенням

Крок 1: \(f(x + h) = (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\).

Крок 2: \((x + h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 = h(3x^2 + 3xh + h^2)\).

Крок 3: \(\dfrac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2\).

Крок 4: при \(h \to 0\) доданки \(3xh\) і \(h^2\) прямують до нуля, лишається \(3x^2\).

Перевірка змісту: \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 = 12\) — дотична до кубічної параболи в точці \((2;\ 8)\) дуже крута, що узгоджується з виглядом графіка.

Відповідь: \((x^3)' = 3x^2\).

Приклад 3. Знайти похідну функції \(y = \dfrac{1}{x}\) за означенням

Тут замість розкриття дужок працює спільний знаменник.

Крок 2: \(\dfrac{1}{x + h} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \dfrac{-h}{x(x + h)}\).

Крок 3: \(\dfrac{-h}{x(x + h)} : h = \dfrac{-1}{x(x + h)}\).

Крок 4: при \(h \to 0\) знаменник прямує до \(x \cdot x = x^2\), отже границя дорівнює \(-\dfrac{1}{x^2}\).

При \(x_0 = 2\) маємо \(f'(2) = -\dfrac{1}{4}\): похідна від'ємна, і справді гіпербола на проміжку \(x > 0\) спадає. Ці три приклади показують механізм, яким виведено кожен рядок таблиці похідних.

Відповідь: \(\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}\).

Приклад 4. Скласти рівняння дотичної до графіка \(y = x^2\) у точці \(x_0 = 2\)

Потрібні два числа. Значення функції: \(f(2) = 2^2 = 4\). Похідна з прикладу 1: \(f'(x) = 2x\), тому \(f'(2) = 4\).

Підставляємо в рівняння дотичної:

\[ y = 4 + 4(x - 2) = 4x - 4 \]

Перевірка. Знайдемо спільні точки прямої й параболи: \(x^2 = 4x - 4\), звідки \(x^2 - 4x + 4 = 0\), тобто \((x - 2)^2 = 0\) і \(x = 2\) — єдиний корінь. Пряма дотикається до параболи рівно в одній точці, як і має бути. При \(x = 2\) пряма дає \(y = 4 \cdot 2 - 4 = 4\), що збігається з \(f(2) = 4\).

Відповідь: \(y = 4x - 4\).

Приклад 5. У якій точці дотична до параболи \(y = x^2\) паралельна прямій \(y = 6x - 1\)?

Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти. Кутовий коефіцієнт заданої прямої дорівнює \(6\), а кутовий коефіцієнт дотичної — це \(f'(x_0)\). Отже, умова означає рівняння \(2x_0 = 6\), звідки \(x_0 = 3\).

Ордината точки дотику: \(f(3) = 3^2 = 9\). Саму дотичну знаходимо за формулою: \(y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9\).

Перевірка: \(x^2 = 6x - 9\) дає \(x^2 - 6x + 9 = 0\), тобто \((x - 3)^2 = 0\) — єдиний корінь \(x = 3\). Дотик підтверджено, а прямі \(y = 6x - 9\) і \(y = 6x - 1\) справді паралельні, бо мають рівні кутові коефіцієнти й різні вільні члени.

Відповідь: у точці \((3;\ 9)\); дотична \(y = 6x - 9\).

Приклад 6. Тіло рухається за законом \(s(t) = 2t^2 + 3t\) (метри, секунди). Знайти швидкість у момент \(t = 4\) с

Спершу середні швидкості на дедалі коротших проміжках від \(t = 4\):

• на \([4;\ 5]\): \(s(5) = 65\), \(s(4) = 44\), середня швидкість \(\dfrac{65 - 44}{1} = 21\) м/с;
• на \([4;\ 4{,}1]\): середня швидкість \(19{,}2\) м/с;
• на \([4;\ 4{,}01]\): середня швидкість \(19{,}02\) м/с.

Значення прямують до \(19\). Тепер точний розрахунок за означенням:

\(s(t + h) - s(t) = 2(t + h)^2 + 3(t + h) - 2t^2 - 3t = 4th + 2h^2 + 3h = h(4t + 2h + 3)\).

Ділимо на \(h\): дістаємо \(4t + 2h + 3\). При \(h \to 0\) маємо \(s'(t) = 4t + 3\).

Отже \(v(4) = s'(4) = 4 \cdot 4 + 3 = 19\) м/с — саме те число, до якого прямували середні швидкості.

Відповідь: \(19\) м/с.

Приклад 7. Довести, що функція \(y = |x|\) не має похідної в точці \(x_0 = 0\)

Функція неперервна в нулі: її графік — «пташка» з вершиною в початку координат, розриву немає. Складаємо різницеве відношення при \(x_0 = 0\):

\[ \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \frac{|h|}{h} \]

Цей дріб не спрощується до одного виразу — його значення залежить від знака \(h\):

• якщо \(h > 0\), то \(|h| = h\) і дріб дорівнює \(1\);
• якщо \(h < 0\), то \(|h| = -h\) і дріб дорівнює \(-1\).

Отже, справа границя дорівнює \(1\), зліва \(-1\). Односторонні границі різні, тому спільної границі не існує, а разом з нею не існує й похідної.

Геометрично це очевидно: у вершині кута не можна провести одну дотичну — зліва пряма мала б нахил \(-1\), справа \(+1\). Висновок принциповий: з неперервності не випливає диференційовність. Зворотне твердження при цьому правильне: якщо функція має похідну в точці, вона в цій точці неперервна.

Відповідь: похідної в точці \(x_0 = 0\) не існує, бо односторонні границі різницевого відношення дорівнюють \(1\) і \(-1\).

Типові помилки

• Підставляють \(h = 0\) одразу. До скорочення дріб має вигляд \(\tfrac{0}{0}\) — це невизначеність, а не нуль і не одиниця. Спочатку алгебраїчне спрощення, потім границя.
• Не отримують множник \(h\). Якщо після спрощення приросту множник \(h\) не з'явився, десь помилка в розкритті дужок: у різниці \(f(x+h) - f(x)\) доданки без \(h\) зобов'язані взаємно знищитися.
• Плутають \(f(x_0)\) і \(f'(x_0)\) у рівнянні дотичної. Перше задає точку дотику, друге — нахил. Помінявши їх місцями, отримують пряму, яка проходить повз графік.
• Вважають, що дотична має рівно одну спільну точку з графіком. Для параболи це так, але дотична до синусоїди чи кубічної параболи цілком може перетинати графік ще й в інших місцях. Дотична означена локально — через границю січних, а не через кількість перетинів.
• Вважають, що неперервна функція завжди має похідну. Приклад 7 — прямий контрприклад. Злами й вістря вбивають похідну, хоча лінія не розривається.
• Пишуть \((x^3)' = 3x\) замість \(3x^2\). Показник зменшується на одиницю й одночасно стає множником — це видно саме з виведення за означенням.

Висновок

Похідна — це границя різницевого відношення, тобто швидкість зміни функції. Геометрично вона дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, фізично — миттєвій швидкості. Рівняння дотичної \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) варто знати напам'ять: воно потрібне і на контрольних, і на НМТ. Обчислення за означенням у практичних задачах майже не використовують, але один раз пройти цей шлях для \(x^2\) і \(x^3\) обов'язково — інакше таблиця похідних лишиться незрозумілим списком.

Якщо тема «попливла» вже на етапі границь, найшвидший спосіб це виправити — розібрати її з викладачем на конкретних задачах. Запишіться на пробне заняття: за одну зустріч ми перевіримо, де саме розірвався ланцюжок, і складемо план, як його відновити.

Що таке похідна простими словами?

Це швидкість зміни функції в конкретній точці. Якщо функція описує шлях, похідна — це швидкість; якщо дивитися на графік — це нахил дотичної. Формально похідна дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Чому похідна дорівнює саме кутовому коефіцієнту дотичної?

Різницеве відношення \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) — це кутовий коефіцієнт січної, проведеної через точки з абсцисами \(x_0\) і \(x_0 + h\). Коли \(h\) прямує до нуля, друга точка наближається до першої, а січна повертається й переходить у дотичну. Тому границя нахилів січних і є нахилом дотичної.

Чи може неперервна функція не мати похідної?

Так. Класичний приклад — \(y = |x|\) у точці \(x_0 = 0\): функція неперервна, але односторонні границі різницевого відношення дорівнюють \(-1\) і \(1\), тому похідної немає. У точках зламу графіка похідна не існує. Зворотне твердження правильне: якщо похідна в точці існує, функція там неперервна.

Навіщо шукати похідну за означенням, якщо є таблиця?

У звичайних задачах користуються таблицею й правилами диференціювання — це швидше. Але означення потрібне у двох ситуаціях: коли треба довести, що похідної в точці немає, і коли функція задана нестандартно, наприклад різними формулами на різних проміжках. До того ж завдання «знайти похідну за означенням» регулярно трапляється в шкільних контрольних, бо перевіряє розуміння, а не пам'ять.