Показникова функція та її графік

Q: Чому основа не може дорівнювати 1?

Вираз 1^x визначений, але дорівнює одиниці при будь-якому x. Це стала функція, її графік — горизонтальна пряма y = 1. Вона не зростає і не спадає, тому не має оберненої функції й не дає логарифма за основою 1. Виключення a = 1 гарантує, що кожна показникова функція строго монотонна.

Q: Чому графік показникової функції завжди проходить через точку (0; 1)?

Бо a^0 = 1 для будь-якої допустимої основи. Ця рівність не залежить від a, тому графіки y = 2^x, y = 10^x, y = 0,3^x перетинаються в одній спільній точці (0; 1). Це зручний орієнтир при побудові графіка: одну його точку ви знаєте завжди.

Q: Як порівняти 2^300 і 3^200 без калькулятора?

Звести числа до спільного показника. НСД(300; 200) = 100, тому 2^300 = (2^3)^100 = 8^100, а 3^200 = (3^2)^100 = 9^100. Показники однакові, отже порівняння зводиться до основ: 8 менше за 9, тому 8^100 менше за 9^100, тобто 2^300 менше за 3^200.

У 11 класі змінна вперше піднімається в показник степеня: не \(x^2\), а \(2^x\). Різниця здається дрібною, але саме вона описує складні відсотки, ріст популяції та радіоактивний розпад — усе, що росте або спадає «в стільки-то разів за однаковий проміжок часу». У цій статті розберемо означення показникової функції, її графік, дві принципово різні поведінки залежно від основи і те, як монотонність перетворюється на робочий інструмент порівняння чисел. Репетитори Tutor-Math радять починати цю тему з графіка: коли картинка в голові є, властивості не треба зубрити — вони зчитуються з малюнка.

Означення показникової функції

Означення. Показниковою функцією називають функцію виду \[ y=a^{x}, \] де \(a\) — задане число, причому \(a > 0\) і \(a \ne 1\). Число \(a\) називають основою показникової функції, а \(x\) — показником.

Приклади показникових функцій: \(y=2^{x}\), \(y=10^{x}\), \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\), \(y=0{,}8^{x}\). А от \(y=x^{2}\) показниковою не є — там змінна стоїть в основі, а не в показнику. Це різні функції з абсолютно різною поведінкою: \(x^2\) при великих \(x\) росте швидко, а \(2^x\) — незрівнянно швидше.

Запис \(a^x\) для довільного дійсного \(x\) спирається на весь ланцюжок означень степеня, який будувався з 7 класу: степінь з натуральним показником, потім нульовий і від'ємний показник, потім дробовий (через корені). Показникова функція просто «склеює» всі ці значення в одну неперервну лінію.

Чому \(a > 0\) і \(a \ne 1\)

Обмеження на основу — не примха підручника. Кожне з них закриває конкретну катастрофу.

Чому не \(a < 0\). Візьмемо \(a=-4\). Тоді \((-4)^{1}=-4\), \((-4)^{2}=16\) — поки що все гаразд. Але \((-4)^{0{,}5}=\sqrt{-4}\) не існує серед дійсних чисел. Так само не існує \((-4)^{1/4}\), \((-4)^{3/2}\) і безлічі інших значень. Замість суцільної кривої вийшла б «пилюка» з окремих точок, що стрибають то вгору, то вниз залежно від парності знаменника дробу. З таким об'єктом не працюють ані границі, ані похідні.
Чому не \(a = 0\). При \(x > 0\) маємо \(0^{x}=0\), при \(x=0\) вираз \(0^{0}\) невизначений, а при \(x < 0\) отримуємо \(0^{-2}=\frac{1}{0^{2}}=\frac{1}{0}\) — ділення на нуль. Функція існувала б лише на промені \(x > 0\) і була б там тотожним нулем. Користі нуль.
Чому не \(a = 1\). Тут усе визначено, але нецікаво: \(1^{x}=1\) для будь-якого \(x\). Це горизонтальна пряма \(y=1\), звичайна стала функція. Вона не зростає і не спадає, тому не має оберненої — а саме обернена до показникової функція і є логарифмом. Прибрати \(a=1\) означає гарантувати, що будь-яка показникова функція строго монотонна.

Підсумок: умови \(a > 0\), \(a \ne 1\) залишають рівно ті основи, при яких \(a^x\) визначений для всіх дійсних \(x\), неперервний і строго монотонний.

Графік при \(a > 1\): зростання

Побудуємо \(y=2^{x}\) за точками:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \end{array} \]

З'єднавши точки плавною лінією, отримуємо криву, яка зліва майже притискається до осі \(Ox\), проходить через \((0;\,1)\) і далі стрімко злітає вгору. Ключові риси:

функція зростає на всій числовій прямій: більшому \(x\) відповідає більше \(y\);
при \(x > 0\) значення більші за одиницю, при \(x < 0\) — між нулем і одиницею;
ліворуч графік необмежено наближається до осі \(Ox\), але ніколи її не перетинає.

Графік при \(0 < a < 1\): спадання

Тепер \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\):

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \end{array} \]

Порівняйте обидві таблиці: значення ті самі, лише прочитані у зворотному порядку. Причина в тотожності \[ \left(\frac{1}{a}\right)^{x}=a^{-x}, \] тобто графік \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) — це дзеркальне відображення графіка \(y=2^{x}\) відносно осі \(Oy\). Функція спадає на всій прямій, а до осі \(Ox\) притискається праворуч.

Властивості: коротко і повністю

Для функції \(y=a^{x}\) при \(a > 0\), \(a \ne 1\):

область визначення \(D(y)=(-\infty;\,+\infty)\) — степінь означений для будь-якого дійсного \(x\);

область значень \(E(y)=(0;\,+\infty)\) — функція набуває тільки додатних значень, причому кожного рівно один раз;

графік завжди проходить через точку \((0;\,1)\), бо \(a^{0}=1\) для будь-якої допустимої основи;

пряма \(y=0\) (вісь \(Ox\)) — горизонтальна асимптота;

при \(a > 1\) функція зростає, при \(0 < a < 1\) — спадає;

функція не є ні парною, ні непарною; нулів не має.

Два пункти варто пояснити окремо. Область значень. Рівняння \(a^{x}=0\) не має розв'язків: добуток додатних множників додатний, а перехід до дробових і від'ємних показників теж дає лише додатні числа. Тому графік цілком лежить вище осі \(Ox\). Водночас будь-яке додатне число досягається — це і є існування логарифма.

Асимптота. Для \(y=2^{x}\) при \(x=-10\) маємо \(2^{-10}=\frac{1}{1024}\), при \(x=-20\) — уже менше за мільйонну частку. Значення стають як завгодно малими, але лишаються строго додатними: крива нескінченно наближається до осі, не торкаючись її. Саме тому вісь \(Ox\) називають асимптотою, а не частиною графіка.

Монотонність як інструмент порівняння

Це найпрактичніший наслідок. Оскільки функція строго монотонна, з нерівності між значеннями однозначно випливає нерівність між показниками — і навпаки.

Якщо \(a > 1\), то \(a^{m} > a^{n}\) тоді й лише тоді, коли \(m > n\) (знак нерівності зберігається).
Якщо \(0 < a < 1\), то \(a^{m} > a^{n}\) тоді й лише тоді, коли \(m < n\) (знак нерівності змінюється на протилежний).

Ця пара правил — фундамент для розв'язування показникових рівнянь і нерівностей. Але й без рівнянь вона дозволяє порівнювати числа, які калькулятор просто не покаже.

Приклади з розв'язанням

Приклад 1. Порівняти \(2^{300}\) і \(3^{200}\).

Основи різні, показники різні — напряму правило монотонності не застосуєш. Зведемо числа до спільного показника. Найбільший спільний дільник показників: \(\text{НСД}(300;\,200)=100\).
Перетворюємо: \(2^{300}=2^{3\cdot 100}=(2^{3})^{100}=8^{100}\).
Аналогічно: \(3^{200}=3^{2\cdot 100}=(3^{2})^{100}=9^{100}\).
Тепер показники однакові, і залишилося порівняти основи. Функція \(y=x^{100}\) на додатному промені зростає, а \(8 < 9\), отже \(8^{100} < 9^{100}\).
Повертаємось до вихідних чисел: \(2^{300} < 3^{200}\).

Перевірка масштабу: \(3^{200}\) приблизно в \(130\,000\) разів більше за \(2^{300}\) — обидва числа мають близько дев'яноста цифр, тому «на око» різницю не побачити, а прийом зі спільним показником дає відповідь за два рядки.

Відповідь: \(2^{300} < 3^{200}\).

Приклад 2. Порівняти, не обчислюючи: а) \(0{,}7^{2{,}5}\) і \(0{,}7^{3}\); б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5}\) і \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\).

а) Основа \(0{,}7\), і \(0 < 0{,}7 < 1\) — функція спадна. Показники: \(2{,}5 < 3\). При спаданні менший показник дає більше значення, тому \(0{,}7^{2{,}5} > 0{,}7^{3}\). Контроль калькулятором: \(0{,}7^{2{,}5}\approx 0{,}410\), \(0{,}7^{3}=0{,}343\).
б) Основа \(\frac{1}{3} < 1\) — знову спадання. Показники від'ємні, і треба акуратно: \(-2 < -1{,}5\). Менший показник дає більше значення, тому \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5}\). Контроль: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9\), а \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5}=3^{1{,}5}=3\sqrt{3}\approx 5{,}196\).

Відповідь: а) \(0{,}7^{2{,}5} > 0{,}7^{3}\); б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1{,}5} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\).

Приклад 3. Графік функції \(y=a^{x}\) проходить через точку \(\left(-2;\,\frac{1}{9}\right)\). Знайти основу \(a\) і обчислити \(y(3)\).

Підставляємо координати точки в рівняння функції: \(a^{-2}=\frac{1}{9}\).
За означенням від'ємного показника \(a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}\), тому \(\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{9}\), звідки \(a^{2}=9\).
Формально \(a=3\) або \(a=-3\), але за означенням основа має бути додатною, тож \(a=3\).
Перевірка: \(3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}\) — точка справді лежить на графіку.
Оскільки \(a=3 > 1\), функція зростає. Обчислюємо: \(y(3)=3^{3}=27\).

Відповідь: \(a=3\), \(y(3)=27\).

Приклад 4 (складні відсотки). Вкладник поклав на депозит \(20\,000\) грн під \(12\%\) річних із капіталізацією раз на рік. Яка сума буде на рахунку через 5 років?

Щороку сума множиться на один і той самий коефіцієнт: \(1+\frac{12}{100}=1{,}12\).
Це геометрична прогресія, а формула суми через \(n\) років — показникова: \(S(n)=20\,000\cdot 1{,}12^{n}\). Спорідненість тем не випадкова: значення показникової функції в цілих точках утворюють саме геометричну прогресію.
Обчислюємо покроково: \(22\,400\), \(25\,088\), \(28\,098{,}56\), \(31\,470{,}39\), \(35\,246{,}83\) грн.
Перевірка формулою: \(1{,}12^{5}=1{,}7623416832\), тоді \(20\,000\cdot 1{,}7623416832=35\,246{,}83\) грн.

Для порівняння: за простими відсотками нарахували б \(20\,000\cdot 0{,}12\cdot 5=12\,000\) грн, тобто \(32\,000\) грн разом. Різниця в \(3\,246{,}83\) грн — це і є ефект показникового росту.

Відповідь: \(35\,246{,}83\) грн.

Приклад 5 (ріст популяції). Культура бактерій подвоюється кожні 20 хвилин. Спочатку було 500 клітин. Скільки їх буде через 3 години?

Кількість подвоєнь: \(3\) год \(=180\) хв, \(180:20=9\).
Модель: \(N(t)=500\cdot 2^{\,t/20}\), де \(t\) — час у хвилинах. При \(t=180\): \(N=500\cdot 2^{9}\).
Рахуємо: \(2^{9}=512\), тому \(N=500\cdot 512=256\,000\).

Відповідь: \(256\,000\) клітин.

Приклад 6 (період піврозпаду). Період піврозпаду ізотопу — 8 діб. Скільки залишиться від початкових \(100\) г через 24 доби?

Тут основа менша за одиницю: за кожні 8 діб маса множиться на \(\frac{1}{2}\). Модель \(m(t)=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}\) — спадна показникова функція.
Кількість періодів: \(24:8=3\).
Обчислюємо: \(m=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=100\cdot\frac{1}{8}=12{,}5\) г.
Контроль по кроках: \(100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5\) — три послідовні поділи навпіл.

Зверніть увагу: маса ніколи не стане рівною нулю — це та сама горизонтальна асимптота \(y=0\), тільки з фізичним змістом.

Відповідь: \(12{,}5\) г.

Типові помилки

Плутають \(y=a^{x}\) і \(y=x^{a}\). Перша — показникова, друга — степенева. У \(2^{x}\) змінна в показнику, у \(x^{2}\) — в основі. Графіки різні: парабола симетрична, показникова крива — ні.
Забувають про обмеження на основу. Запис \(y=(-2)^{x}\) або \(y=1^{x}\) показниковою функцією не є. У завданнях типу «при яких \(a\) функція \(y=(a-3)^{x}\) є показниковою» відповідь має враховувати обидві умови: \(a-3 > 0\) і \(a-3 \ne 1\), тобто \(a > 3\) і \(a \ne 4\).
Вважають, що функція може набувати нульового чи від'ємного значення. Рівняння \(2^{x}=0\) і \(2^{x}=-5\) розв'язків не мають — область значень лише \((0;\,+\infty)\). Це рятує від фіктивних коренів у показникових рівняннях.
Не змінюють знак нерівності при \(0 < a < 1\). З \(0{,}5^{m} > 0{,}5^{n}\) випливає \(m < n\), а не \(m > n\). Найпоширеніша помилка теми на НМТ.
Порівнюють степені з різними основами напряму. Із того, що \(3 > 2\), не випливає \(3^{200} > 2^{300}\) автоматично — потрібне зведення до спільної основи або спільного показника. Тут відповідь збіглася, але \(2^{10}=1024 > 3^{6}=729\) при більшій основі другого числа.
Плутають напрямок нерівності для від'ємних показників. \(-2 < -1{,}5\), а не навпаки. Помилка на числовій прямій ламає правильно застосоване правило монотонності.
Малюють графік, що перетинає вісь \(Ox\). Крива підходить до осі як завгодно близько, але не торкається її й не переходить нижче.

Висновок

Показникова функція \(y=a^{x}\) описується трьома фактами, які варто тримати в голові як єдине ціле: область значень \((0;\,+\infty)\), обов'язкова точка \((0;\,1)\) і строга монотонність — зростання при \(a > 1\), спадання при \(0 < a < 1\). Із цих трьох фактів виводяться і асимптота, і правила порівняння, і подальша теорія логарифмів. А обмеження \(a > 0\), \(a \ne 1\) — не формальність, а умова того, що функція взагалі існує на всій прямій і має обернену.

Якщо учень плутає \(2^{x}\) зі \(x^{2}\) або губить знак нерівності при спадній основі, річ зазвичай не в 11 класі, а в непрокачаних діях зі степенями. Репетитори Tutor-Math починають із діагностики цієї прогалини, а не з переказу параграфа. Запишіться на пробне заняття — і тема закриється до того, як почнуться показникові рівняння.

Питання та відповіді

Чому основа показникової функції має бути додатною?

Бо при від'ємній основі степінь із дробовим показником часто не існує серед дійсних чисел. Наприклад, \((-4)^{0{,}5}=\sqrt{-4}\) не визначений. Замість неперервної кривої вийшов би набір окремих точок, для якого не працюють ні монотонність, ні границі, ні похідна. Основа \(a=0\) теж не годиться: \(0^{-2}\) означає ділення на нуль.

Чому \(a=1\) виключають, адже \(1^{x}\) чудово визначений?

Визначений, але дорівнює одиниці при будь-якому \(x\). Це стала функція, її графік — горизонтальна пряма \(y=1\). Вона не зростає і не спадає, тому не має оберненої функції й не дає логарифма за основою 1. Виключення \(a=1\) гарантує, що кожна показникова функція строго монотонна.

Чому графік \(y=a^{x}\) завжди проходить через точку \((0;\,1)\)?

Бо \(a^{0}=1\) для будь-якого \(a \ne 0\). Ця рівність не залежить від основи, тому графіки \(y=2^{x}\), \(y=10^{x}\), \(y=0{,}3^{x}\) перетинаються в одній спільній точці \((0;\,1)\). Це зручний орієнтир при побудові: одну точку графіка ви знаєте завжди.

Як порівняти \(2^{300}\) і \(3^{200}\) без калькулятора?

Звести до спільного показника. \(\text{НСД}(300;\,200)=100\), тому \(2^{300}=(2^{3})^{100}=8^{100}\), а \(3^{200}=(3^{2})^{100}=9^{100}\). Показники стали однаковими, і порівняння зводиться до основ: \(8 < 9\), отже \(8^{100} < 9^{100}\), тобто \(2^{300} < 3^{200}\).

Показникова функція та її графік